2019高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修1-1.doc

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1、13.43.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例学习目标：1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题(重、难点)自 主 预 习探 新 知1生活中的优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值2用导数解决优化问题的基本思路思考：生活中的优化问题一定要用导数解决吗？提示 不一定例如表示数学问题的函数是一次函数或二次函数时，可不用导数求解基础自测1思考辨析(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题( )(2)生活中的优化问题必须运用导数解决( )(3)广告牌

2、的面积最小问题是生活中的优化问题( )答案 (1) (2) (3)2甲工厂八年来某种产品年产量y与时间t(单位：年)的函数关系如图 341 所示：图 341现有下列四种说法：前四年该产品产量增长速度越来越快；前四年该产品产量增长速度越来越慢；第四年后该产品停止生产；第四年后该产品年产量保持不变其中说法正确的有( )A B2C DB B 由图象可知，是正确的3电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x0)为使耗电1 339 2量最小则速度应定为_40 yx239x40，令y0 即x239x400，解得x40 或x1(舍)当 040 时，y0，所以当x40 时，函数yx3x240x

3、有最小值1 339 2合 作 探 究攻 重 难面积、体积的最值问题用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接而成(如图 342)问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？图 342思路探究 设自变量高为x解 设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)所以V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)令V(x)0，得x10 或x36(舍去)当 0x10 时，V(x)0，即V(x)

4、单调递增；当 10x24 时，V(x)0，即V(x)单调递减因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x10 时取得最大值，其最大值为V(10)19 600(cm3)3因此当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3.规律方法 1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值2实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等跟踪训练1已知矩形的两个顶点

5、位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽. 【导学号：97792167】解 设矩形边长AD2x(00，当0，故x5 时，为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.800 155当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元规律方法 解决优化问题时应注意的问题(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数

6、值进行比较跟踪训练2如图 343，要在边长为 100 m 的正方形ABCD内建一个交通“环岛” 以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于 9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m 的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于 60 m，绕岛行驶的1 5路宽均不小于 10 m.5图 343(1)求x的取值范围(取 1.4)；2(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为4 33元/m2，则当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？12a 11解 (1)由题意，得Error!，解得 9x15.即x的取值范围为9,15(2)记“环

7、岛”的整体造价为y元，则由题意得yaaxx2104x2(1 5x2)24 3312a 11(1 5x2)2a 1112104，(1 25x44 3x312x2)令f(x)x4x312x2，1 254 3则f(x)x34x224x4x，4 25(1 25x2x6)由f(x)0，解得x10 或 15 或 0(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x9,10)10(10,15)15f(x)00f(x)极小值225当x10 时，f(x)取得最小值，y取得最小值故当x10 时，可使“环岛”的整体造价最低利润最大(成本最低)问题探究问题求利润的方法有哪些？提示：(1)利润收入成本6(2)利

8、润每件产品的利润销售件数某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)，已知生产此产品的年3x1 x1固定投入为 3 万元，每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元若每件产品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和，则(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数如果年广告费投入 100 万元，那么企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？思路探究 (1)利用题中等量关系列出y与x的函数关系式，将x100 代入所求关系式判断y0 还是y0；当x

9、(7，)时，f(x)0，当t(8,9)时，y0)；生产总成本y2(万元)也是x的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产( )A9 千台 B8 千台C6 千台 D3 千台C C 利润函数yy1y218x22x3(x0)，求导得y36x6x2，令y0，得x6 或x0(舍去)因 06 时，y18x22x3递减，所以x6 时利润最大，故选 C.4方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为( )A4 B6 C4.5 D8A A 设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，h，256 x2S(x)x24xhx24xx2，256 x24 256 xS(x)2x.令S(x)0，解得x

10、8，h4.4 256 x2256 825一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时 10 千米时，燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问轮船的速度是多少时，航行 1 千米所需的费用总和最少？ 【导学号：97792169】解 设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知pkv3，因为v10 时，p6，所以k0.006.于是有p0.006v3.6 1039又设船的速度为每小时v千米时，行驶 1 千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v396)元，而行驶 1 千米所用时间为 小时，所以行驶 1 千米的总费用1 v为q (0.006v396)0.006v2.1 v96 vq0.012v(v38 000)，96 v20.012 v2令q0，解得v20.当v20 时，q0，所以当v20 时，q取得最小值即当速度为 20 千米/小时时，航行 1 千米所需费用总和最少