2019高中数学 第三章3.3.1 函数的单调性与导数学案 新人教A版选修1-1.doc

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1、13.3.13.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数学习目标：1.理解函数的单调性与导数的关系(重点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间(重点)3.能根据函数的单调性求参数(难点)自 主 预 习探 新 知1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)0 这个说法正确吗？提示 不正确，应该是f(x)0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较

2、“平缓”(向上或向下)基础自测1思考辨析(1)函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭” ( )(3)函数值在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大( )(4)在区间(a，b)内，f(x)0 是f(x)在此区间上单调递增的充要条件( )答案 (1) (2) (3) (4)2函数yx3x的单调递增区间为( )A(0，) B(，1)C(1，) D(，)D D y3x210，故选 D.3若在区间(a，b)内，f(x)0，且f(a)0，则在(a，b)内有( ) 【导学号：97792146】2Af(

3、x)0 Bf(x)0 知函数f(x)在区间(a，b)内是增函数，且f(a)0，故f(x)0.合 作 探 究攻 重 难函数的单调性与单调区间(1)函数f(x)3x22ln x的单调递减区间为_(2)设函数f(x)x aln x(aR R)，讨论f(x)的单调性1 x思路探究 (1)求f(x)解不等式f(x)0，故 00，g(x)0 的两根都小于 0.在(0，)上，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增当a2 时，0，g(x)0 的两根为x1，x2.aa242aa242当 00；当x1x2时，f(x)0.故f(x)分别在，上单调递增，在(0，aa242) (aa242，)3上单调递减(aa24

4、2，aa242)规律方法 求函数yf(x)的单调区间的步骤：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)；(3)解不等式f(x)0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f(x)0，得x1，所以函数的单调递增区间为1 3和(1，)，故选 A. (，1 3)(2)讨论函数f(x)x2aln x(aR R，a0)的单调性1 2解 函数定义域为(0，)，f(x)x .a x当a0 时，f(x)x 0 恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，)；a x当a0 时，由f(x)x 0，得x；由f(x)x 0，得 0xa xaa x，所以当a0 时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是a

5、(a，)(0，)a综上，当a0 时，单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当a0 时，单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)aa导数与函数图象的关系(1)f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图 331 所示，则函数yf(x)的图象可能是( )4图 331(2)已知函数yf(x)的图象如图 332 所示，则函数yf(x)的图象可能是图中的 ( )【导学号：97792147】图 332解析 (1)由f(x)0(f(x)0 且越来越大f(x)0 且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f(x)0(或f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)；.当a0，yxex在

6、(0，)内为增函数2在 R R 上可导的函数f(x)的图象如图 335 所示，则关于x的不等式xf(x)0 时，f(x)0，此时x1，因此xf(x)0 的解集为(，1)(0,1)3函数f(x)(x1)ex的单调递增区间是_(0，) f(x)(x1)ex(x1)(ex)xex，令f(x)0，解得x0，故f(x)的增区间为(0，)4若函数f(x)x3x2mx1 是 R R 上的单调增函数，则m的取值范围是_f(x)3x22xm，由题意知f(x)在 R R 上单调递增，1 3，412m0，m .1 35设f(x)，其中a为正实数若f(x)为 R R 上的单调函数，求a的取值范围. ex 1ax2【导学号：97792149】解 对f(x)求导得f(x)ex，1ax22ax 1ax22若f(x)为 R R 上的单调函数，则f(x)在 R R 上不变号，结合a0，知ax22ax10 在 R R 上恒成立，因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知 0a1.即 a 的取值范围为(0,1