2019学年高中数学 第三章导数在研究函数中的应用 3.3.1 单调性学案 苏教版选修1-1.doc

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1、13.3.13.3.1 单调性单调性学习目标：1.了解函数的单调性与导数的关系 2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法，会求函数的单调区间(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0增函数f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增( )(2)f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f(x)一定大于零( )(3)若f(x) (x0)，则f(x)0，所以f(x)是单调减函数( )1 x1 x2【解析】 (1).反例：f(x) ，f(x)0，但f(x)在其定义域上不是增函1 x1 x2数(2).反

2、例：f(x)x3在(1,1)上是增函数，但f(0)0.(3).f(x) 在(，0)，(0，)上是减函数，但在其定义域上不是减函数1 x【答案】 (1) (2) (3)2函数f(x)x3x的单调减区间是_1 3【解析】 f(x)x21，令f(x)0，即x210，得1x1，函数减区间(1,1)【答案】 (1,1)合 作 探 究攻 重 难2函数与其导函数图象之间的关系(1)如图 331，设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是_(填序号)图 331(2)已知函数yxf(x)的图象如图 332(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象

3、中，yf(x)的图象大致是_(填序号). 【导学号：95902215】图 332思路探究 (1)通过对各个选项中图象的变化判断是否符合题目的条件(2)根据yxf(x)函数图象中所反映的f(x)的符号，确定yf(x)的单调区间，确定yf(x)的图象【自主解答】 (1)，均有可能；对于，若C1为导函数，则yf(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则yf(x)应为减函数，也不符合(2)由题图知，当x1 时，xf(x)0，f(x)0，当x1 时，函数yf(x)单调递增；当1x0 时，xf(x)0，f(x)0，当1x0 时，函数yf(x)单调递减；当 0x1 时，xf(x)0，f(x)0，当 0x1

4、 时，函数yf(x)单调递减；当x1 时，xf(x)0，f(x)0，当x1 时，yf(x)单调递增综上可知，是yf(x)的大致图象【答案】 (1) (2)3规律方法 1利用原函数图象可以判断导函数的正负，原函数的单调增区间即为应为f(x)0的区间，原函数的减区间就是导函数应为f(x)0 的区间2利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间，导函数在x轴上方的区间就是原函数的增区间，导函数在x轴下方的区间就是原函数的减区间跟踪训练1.已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数f(x)图象如图 333 所示图 333(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的解析式. 【导学号：95902

5、216】【解】 (1)由函数f(x)的导函数图象知函数f(x)递增区间(，0)和(2，)；递减区间为(0,2)(2)f(x)3ax22bxc将(0,0)，(1，2)，(2,0)三点代入得Error!f(x)x32x2.2 3求函数的单调区间求下列各函数的单调区间：(1)f(x)2x33x2；(2)f(x).ln x x思路探究 求定义域求导数fx解fx0的增区间解fx0的减区间【自主解答】 (1)函数f(x)定义域为 R R，且f(x)6x26x.令f(x)0，即6x26x0，解得x1 或x0；令f(x)0，即 6x26x0，解得 0x1.所以f(x)的单调递增区间是(，0)和(1，)；单调递

6、减区间是(0,1)(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).1ln x x2令f(x)0，即0，得 0xe；令f(x)0，即0，得xe，1ln x x21ln x x24所以f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，)规律方法 1利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f(x)0 或f(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间2利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f(x)0(或f(x)0)时，要在定义域前提下求解如果函数的单调区间不止一个时，要用“和” “及”等连结，而不能写成两个区间并集形式跟踪训练2求下列各函数的单调区间：(1

7、)f(x)x33x；(2)f(x)3x22ln x. 【导学号：95902217】【解】 (1)函数f(x)的定义域为 R R，且f (x)3x233(x21)当f (x)0 时，x1 或x1，此时函数f(x)递增；当f (x)0 时，1 x1，此时函数f(x)递减函数f(x)的递增区间是(，1)和(1，)，递减区间是(1,1)(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)6x .2 x23x21 x令f(x)0，即0，23x21 xx0，x.33函数f(x)的递增区间是.(33，)令f(x)0，即0，x0，23x21 x0x.函数f(x)的递减区间是.33(0，33)函数f(x)的递增区间是

8、，递减区间是.(33，)(0，33)根据函数的单调性求字母参数的取值范围若函数f(x)x3x2mx1 是 R R 上的单调函数，求实数m的取值范围思路探究 5【自主解答】 f(x)3x22xm，由于f(x)是 R R 上的单调函数，所以f(x)0 或f(x)0 恒成立由于导函数的二次项系数 30，所以只能有f(x)0 恒成立方法一：由上述讨论可知要是f(x)0 恒成立只需使方程 3x22xm0 的判别式412m0，故m .1 3经检验，当m 时，只有个别点使f(x)0，符合题意所以实数m的取值范围是1 3m .1 3方法二：3x22xm0 恒成立，即m3x22x恒成立设g(x)3x22x3 ，

9、易知函数g(x)在 R R 上的最大值为 ，所以m .(x1 3)21 31 31 3经检验，当m 时，只有个别点使f(x)0，符合题意所以实数m的取值范围是1 3m .1 3规律方法 1可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子集内都不恒等于 0.2已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法通常将f(x)0(或f(x)0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参数的取值范围特别地，若f(x)为二次函数，可以由相应方程的根的判别式求出参数的取值范围跟踪训练3若

10、函数h(x)2x 在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是_. k xk 3【导学号：95902218】【解析】 根据条件，得h(x)20 在(1，)上恒成立，k x22x2k x2即k2x2在(1，)上恒成立，所以k2，)6【答案】 2，)求含参数函数的单调区间探究问题1函数f(x)x3x2ax的导数f(x)是什么？f(x)0 是否一定有实数根？1 3【提示】 f(x)x22xa，f(x)0 即x22xa0 不一定有实数根，当44a0，即a1 时，f(x)0 有不等实数根；当44a0，即a1 时，f(x)0 有两个相等的实数根；当44a0，即a1 时，f(x)0 没有实数根2根据探究 1

11、的讨论，求函数f(x)x3x2ax的单调区间1 3【提示】 由探究 1 知，当44a0，即a1 时，f(x)0 恒成立，函数f(x)x3x2ax在定义域(，)上单调递增，没有单调递减区间；1 3当44a0，即a1 时，令f(x)0，解得x1或x1，令1a1af(x)0，解得 1x1，所以函数f(x)x3x2ax的单调递增区间1a1a1 3是(，1)，(1，)，1a1a单调递减区间是.(1 1a，1 1a)3设f(x)x3 (a1)x2ax，f(x)0 一定有实数根吗？若有，它们的大小确1 31 2定吗？试求函数f(x)的单调递减区间【提示】 f(x)x2(a1)xa(x1)(xa)，所以f(x

12、)0 有实数根a和 1，但它们的大小不确定，所以求f(x)的单调区间要据此分类讨论：当a1 时，由f(x)0 解得 1xa，所以函数f(x)的单调递减区间是(1，a)；当a1 时，因为f(x)(x1)20，所以函数f(x)不存在单调递减区间；当a1 时，由f(x)0 解得ax1，所以函数f(x)的单调递减区间是(a,1)4设函数f(x)ax3ax22ax1(a0)，则f(x)ax23ax2aa(x1)1 33 2(x2)，不等式f(x)0 的解一定是 1x2 吗？试求函数f(x)的单调递减区间【提示】 不一定是，只有a0 时，不等式f(x)0 的解才是 1x2，当a0时，不等式f(x)0 的解

13、是x1 或x2，所以当a0 时，函数f(x)的单调递减区间为(1,2)，当a0 时，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(2，)5通过以上讨论，在求含参数函数的单调区间时，一般要对参数进行讨论，那么要从哪几个方面考虑这类问题呢？7【提示】 首先要确定f(x)0 是否有根，若不确定，要分类讨论；在f(x)0有根的情况下，如果根的大小不确定，则要按照其大小为分类标准进行讨论；如果f(x)0 的最高次幂的系数的正负不确定，那么还要按照其正负进行讨论已知函数f(x)x3ax2b(a，bR R)，试讨论f(x)的单调性思路探究 根据函数f(x)的导函数f(x)的零点的大小，来研究函数f(x)在各个区间

14、中的正负号，从而得到函数f(x)的单调区间及单调性【自主解答】 f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.2a 3当a0 时，因为f(x)3x20 恒成立，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0 时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)(，2a 3)(2a 3，0)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；(，2a 3)(2a 3，0)当a0 时，x(，0)时，f(x)0，x时，f(x)(2a 3，)(0，2a 3)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减(2a 3，)(0，2a 3)规律方法 1本题主要考查求函数单调性的一般方法以及函数求导

15、公式和法则的综合应用2当解题过程中含有参数时，一般要对参数进行分类讨论，此时需注意应准确确定分类标准和分类讨论的准确性跟踪训练4求函数f(x)exax(aR R)的单调区间. 【导学号：95902219】【解】 函数定义城为 R R，且f(x)exa.当a0 时，f(x)0 恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无减区间；当a0 时，由f(x)exa0，得xln a，由f(x)0，得xln a，所以f(x)在(ln a，)上单调递增，在(，ln a)上单调递减综上，当a0 时，f(x)的单调递增区间是(，)，无减区间；当a0 时，f(x)的单调递增区间是(ln a，)，单调递减区间是(，ln

16、 a)构建体系8当 堂 达 标固 双 基1函数f(x)2x39x212x1 的单调递减区间是_【解析】 f(x)6x218x12，令f(x)0，得 1x2，函数f(x)的单调递减区间是(1,2)【答案】 (1,2)2函数yx2ln x的单调递减区间为_. 1 2【导学号：95902220】【解析】 函数定义域为(0，)，yx 1 xx21 x当x(0，)时，令y0，得 0x1，仅f(1)0.【答案】 (0,13如图 334 所示，若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是_(填序号)图 334【解析】 yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则

17、从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的【答案】 4函数yax3x在 R R 上是减函数，则实数a的取值范围是 _. 【导学号：95902221】【解析】 因为y3ax21，函数yax3x在 R R 上是减函数，所以y3ax210 恒成立，即 3ax21 恒成立当x0 时，3ax21 恒成立，此时aR R；当x0 时，若a恒成立，则a0.综上可得a0.1 3x29【答案】 a05设函数f(x)(m1)x22ln xmx，mR R，且f(1)2，求函数的单调区间【解析】 由f(1)m1m2m12 得m ，3 2f(x)x22ln xx(x0)，1 23 2f(x)x ，由f(x)0 得x；由f(x)0 得：2 x3 22x23x4 2x3 4140x，3 414f(x)的单调增区间为，单调减区间为.(3 414，)(0，3 414)