2019高中数学 第1章 立体几何初步单元测试 苏教版必修2.doc

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1、1第第 1 1 章章 立体几何初步立体几何初步(时间：120 分钟，满分：160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案填在题中横线上) 1有下列四个结论，其中正确结论的个数为_ 互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；经过一点有且只有一条直线垂直于已知直 线；垂直于同一条直线的两条直线平行；两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也 垂直于此直线 解析：错误，异面直线也可能垂直 错误，应有无数条 错误，可能平行，相交或异面 正确 答案：1 2给出下列命题，其中正确的命题的序号是_ 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行； 直线m平面，直线nm，则n

2、； a、b是异面直线，则存在惟一的平面，使它与a、b都平行且与a、b距离相等 解析：错误，如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交； 错误，直线n可能在平面内；正确，如图，设AB是异面直 线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作aa，bb，则 a、b确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面， 并且它是惟一确定的 答案： 3P为ABC所在平面外一点，ACa，连结PA、PB、PC，得PAB和PBC都是边长为2 a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为_ 解析：如图所示，由题意知， PAPBPCABBCa， 取AC中点D，连结PD、BD， 则PDAC，BDAC，则BDP为

3、二面角P-AC-B的平面角，又ACa，PDBDa，222 在PBD中，PB2BD2PD2， PDB90. 答案：垂直 4如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿 SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样， 下面结论成立的是_SG平面EFG；SD平面EFG； GF平面SEF；GD平面SEF. 解析：在图甲中，SG1G1E，SG3G3F； 在图乙中，SGGE，SGGF， SG平面EFG. 答案： 5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比2为_解

4、析：设正方体的棱长为a，则S正方体6a2，正四面体D1AB1C的棱长为a，S正四面体24(a)22a2，3423所以 .S四面体 S正方体2 3633答案：33 6如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于_解析：设底面半径为r，则 2r2rS，故r，所以Vr22r.S 4S 4S 答案：S 4S 7.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与 圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是 _ cm. 解析：设球的半径为r cm，则 r28 r33r26r，4 3 解得r4. 答案：4 8在空间四边形ABCD中，ADBC2

5、，E，F分别是AB，CD的中点，EF，则异面直线3 AD与BC所成角的大小为_ 解析：取AC中点M，连结EM，FM，F为DC中点，M为AC中点，FMAD，且FMAD1，同理EMBC，且EMBC1.1 21 2EMF中作MNEF于N.RtMNE中，EM1，EN，32sinEMN，EMN60，32 EMF120，AD与BC所成角为 60. 答案：60 9.降水量是指水平地面上单位面积降雨的深度，用上口直径为 38 cm，底面直径为 24 cm，深3度为 35 cm 的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的 ，则本次降雨的降水量是_(精确到 1 m

6、m)1 7解析：桶内水的深度为 355(cm)，设水面半径为x cm，则有，解得x13.1 7x12 19125 35V水 5(1221213132)1 3.2 345 3 设单位面积雨水深度为h， 则V水192h，192h，2 345 3 h2.2 cm22 mm. 答案：22 mm 10在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点A1到截面AB1D1 的距离为_ 解析：利用三棱锥A1AB1D1的体积变换：VA1AB1D1VAA1B1D1，则24 6h，h .1 31 34 3答案：4 3 11在空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，且DA平面ABC，

7、则ABC的形状是 _ 解析：如图，在ABD内，作AHBD于H， 平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD， AH平面BCD. 又BC平面BCD. BCAH. 又DA平面ABC，BC平面ABC， DABC.又AHDAA， BC平面ABD，BCAB， 故ABC是以B为 90角的直角三角形 答案：直角三角形 12如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为 3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为 20 cm； 当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个简单几何体的总高度为 _解析：设上、下圆

8、柱的半径分别是r、R，高分别是h，H.由水的体积不变得 R2Hr2(20H)r2hR2(28h)，又r1，R3，故Hh29.则这个简单几 何体的总高度为 29 cm. 答案：29 13在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，若二面角CABC1的大小为 60，则点C到平 面ABC1的距离为_ 解析：如图，取AB中点为O，连结C1O和CO. 三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，COAB.4AC1BC1，C1OAB， 则C1OC即为二面角CABC1的平面角又AB1，CO，C1C ，OC1.323 23 下面用等体积法求距离 VC1ABCVCABC1，SABCCC1SABC1d，1 31 3即 1d.

9、d .343 21 233 4答案：3 4 14已知 RtABC的斜边在平面内，直角顶点C是外一点，AC、BC与所成角分 别为 30和 45，则平面ABC与所成锐角为_ 解析：如图所示，过点C作垂直于的直线CO，交于点O. CAO30，CBO45.设COa，RtACO中，AC2a， 在 RtBCO中，BCa.2 过C点在平面ABC内作CDAB，连结OD，则CDO为平面ABC与所成的锐角， ABa，6CDa，在 RtCDO中，sinCDO，23a 2a332 CDO60. 答案：60二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(本小题满分 14

10、分)(2014淄博高一检测)直三棱柱的高为 6 cm，底面三角形的边长 分别为 3 cm，4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值 解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆 时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径 为R，圆柱的高即为直三棱柱的高 6 cm. 在ABC中，AB3 cm， BC4 cm，AC5 cm， ABC为直角三角形 根据直角三角形内切圆的性质可得 72R5， R1 cm，V圆柱R2h6 cm3.而三棱柱的体积为V三棱柱 34636(cm3)，1 2 削去部分的体积为 3666(6)(cm3) 16(本小题满分 1

11、4 分)底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且 PEED21. 问：在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC? 证明你的结论 解：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，过点B作OE的平 行线交PD于点G，过点G作GFCE交PC于点F，连接BF.5BGOE，BG平面AEC，OE平面AEC， BG平面AEC. 同理GF平面AEC， 又BGGFG， 平面BFG平面AEC，BF平面BFG. BF平面AEC. 下面求点F在PC上的具体位置： BGOE，O是BD的中点， E是GD的中点 又PEED21， G是PE的中点 而GFCE.F为PC的中点 综上可知，存在点F，当点F是PC的中点

12、时，BF平面AEC. 17(本小题满分 14 分)如图，已知平面平面 AB，PC，PD，垂足分别是C，D. (1)求证：AB平面PCD； (2)若PCPD1，CD，试判断平面与平面的位置关系，并2 证明你的结论 解：(1)证明：因为PC，AB，所以PCAB.同理PDAB.又PCPDP，故AB平 面PCD. (2)设AB与平面PCD的交点为H，连结CH，DH. 因为 AB平面PCD，所以ABCH，ABDH，所以CHD是二面角 CABD的平面角 又PCPD1，CD，所以CD2PC2PD22，即CPD90.2 在平面四边形PCHD中，PCHPDHCPD90，所以CHD90，故平面平 面. 18(本小

13、题满分 16 分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之 用)，已建的仓库的底面直径为 12 m，高 4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放 更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变)；二是高度 增加 4 m(底面直径不变) (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成 16 m，则仓库的体积V1Sh 8241 31 3(m3)；256 3 如果按方案二，仓库的高变成 8 m，则仓库的体积V2Sh 628(m3)1 31 3

14、288 3 (2)如果按方案一，仓库的底面直径变成 16 m，半径为 8 m棱锥的母线长为 l4(m)，82425 则仓库的表面积 S18432(m2)；55 如果按方案二，仓库的高变成 8 m. 棱锥的母线长为l10(m)，8262 则仓库的表面积 S261060(m2) (3)V2V1，S2S1， 所以方案二比方案一经济 19(本小题满分 16 分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且6ADAA1，点F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点(1)求证：MF平面ABCD； (2)求证：平面AFC1平面ACC1A1. 证明：(1)如图，延长C1F交CB的延长线于

15、点N，连结AN. F是BB1的中点， F为C1N的中点，B为CN的中点 又M是线段AC1的中点， MFAN.又MF平面ABCD，AN平面ABCD， MF平面ABCD， (2)连结BD，由题意知A1A平面ABCD， 又BD平面ABCD，A1ABD. 四边形ABCD为菱形，ACBD. 又ACA1AA，AC平面ACC1A1，A1A平面ACC1A1， BD平面ACC1A1. 在四边形DANB中，DABN，且DABN， 四边形DANB为平行四边形 NABD，NA平面ACC1A1. 又NA平面AFC1， 平面AFC1平面ACC1A1. 20(本小题满分 16 分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形

16、，侧棱PD底面 ABCD，PDDC，E是PC的中点，过E作EFPB于点F. (1)求证：PA平面EDB； (2)求证：PB平面EFD； (3)求二面角CPBD的大小 解：(1)证明：连结AC，BD，交于点O，连结EO. 底面ABCD是正方形， O是AC的中点， 在PAC中，EO是中位线， PAEO. 又EO平面EDB，PA平面EDB，PA平面EDB. (2)证明：PD底面ABCD，且DC底面ABCD， PDDC. PDDC，PDC是等腰直角三角形 又DE是斜边PC的中线，DEPC. PD底面ABCD，PDBC. 底面ABCD是正方形，DCBC， BC平面PDC. 又DE平面PDC，BCDE. DE平面PBC. 又PB平面PBC，DEPB. 又EFPB，且DEEFE， PB平面EFD. (3)由(2)知，PBDF，EFPB， EFD是二面角CPBD的平面角7由(2)知DEEF，PDDB. 设正方形ABCD的边长为a，则PDDCa，BDa，2 PBa，PCa，PD2BD23PD2DC22在 RtPDB中，DFa.PDBD PBa 2a3a63又DEPCa，1 222在 RtEFD中，sinEFD，DE DF22a63a32 EFD60. 二面角 CPBD 的大小是 60.