2019高中数学 第1章 立体几何初步 第三节 空间几何体的表面积和体积学案 苏教版必修2.doc

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1、1几何体的有关计算问题几何体的有关计算问题【考点精讲考点精讲】1. 表面积公式（1）圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底面积为2rS侧，侧面积为rlS2侧。表面积为)(22222rlrrrlSSS侧侧侧。（2）圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的底面积为 S底2r，侧面积为 S侧rl，表面积 S表2r)(lrrrl。（3）圆台：圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为l， 2Sr上底，S下底2r，则其侧面积为 S侧()l rr，表面积为 22()Srrr lrl表。 （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系。2. 体积公式（1）柱体：柱体的底面积为S，高为h

2、，则ShV 。（2）锥体：锥体的体积等于与它等底等高的柱体的体积的31。即ShV31。（3）台体：台体的上、下底面积分别为 S、S，高为 h，则 V （SS）1 3SSh。（4）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：2【典例精析典例精析】例题例题 1 1 如图 1，ACB45，3BC ，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC90（如图 2 所示） 。当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大。思路导航：思路导航：本题考查立体几何线面的基本关系，及如何取到最值，用均值不等式求最值。 答案：答案：在如图 1 所示的ABC中，设(03)BDxx，则

3、3CDx。由ADBC，ACB45知，ADC为等腰直角三角形，所以3ADCDx。 由折起前ADBC知，折起后（如图 2） ，ADDC，ADBD，且BDDCD， 所以AD 平面BCD。又BDC90，所以11(3)22BCDSBD CDxx。于是 1111(3)(3)2 (3)(3)33212A BCDBCDVAD Sxxxxxx 312(3)(3)2 1233xxx， 当且仅当23xx，即1x 时，等号成立， 故当1x ，即1BD 时，三棱锥ABCD的体积最大。例题例题 2 2 如下图所示，在长方体ABCDA B C D 中，截下一个棱锥 CA DD，求3棱锥 CA DD的体积与剩余部分的体积之比

4、。思路导航：思路导航：剩余部分几何体不是规则几何体，可利用长方体和棱锥体积的差来求得剩余部分的体积。答案：答案：已知长方体可以看成直四棱柱BBCCAADD，设它的底面AADD的面 积为 S，高为h，则它的体积为ShV 。而棱锥 CADD的底面积为侧 S21高为h，故棱锥 CADD的体积为ShShVDDAC61 21 31。余下的体积是ShShSh65 61 。所以棱锥 CADD的体积与剩下部分的体积之比为5:1。随堂练习：随堂练习：正六棱锥 P-ABCDEF 中，G 为 PB 的中点。则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC体积之比为（ ）A.1:1 B.1:2 C.2:1 D. 3:2解析

5、：解析：由于 G 是 PB 的中点，故 P-GAC 的体积等于 B-GAC 的体积，于是可以求出 D-GAC的体积=2B-GAC 的体积=2P-GAC 的体积。故答案选 C。【总结提升总结提升】求几何体的体积问题：（1）计算柱体、锥体、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题。（2）利用等积法求体积，也可称为转换法，通过选择合适的底面来求体积的一种方法。（3）在求两个空间几何体的体积比问题，尽量找到这两个几何体的底面与高之间的关系，有相同的高或底面积将对解题大有裨益。微课程微课程 2 2：立体几何中线与面所成角问题：

6、立体几何中线与面所成角问题【考点精讲考点精讲】1. 定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所夹的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。平面的垂线和这个平面所成的角规定为直角。在平面内的直线或与平面平行的直线和这个平面所成的角规定为 0。2. 求直线与平面所成的角，一般分为两大步：（1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；（2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解。3. 直线和平面所有角的范围：090。4【典例精析典例精析】例题例题 1 1 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上。（1）求证：平面AEC平面PDB；（2）当PD

7、AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小。2思路导航：思路导航：（1）将问题转化为证明 AC平面 PDB；（2）AE 与平面 PDB 所成的角即为AE 与它在平面 PDB 上的射影所成的角。答案：答案：（1）证明：四边形ABCD是正方形，ACBD.PD底面ABCD，PDAC.又PDBDD，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB。（2）解：设ACBDO，连接OE。由（1）知，AC平面PDB于点O，AEO为AE与平面PDB所成的角。点O、E分别为DB、PB的中点，OEPD，且OEPD。1 2又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO。在 RtAOE中，OEPDA

8、BAO，AEO45。1 222即AE与平面PDB所成的角为 45。例题例题 2 2 如图，已知 DC平面 ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P、Q 分别为 AE、AB 的中点。（1）证明：PQ平面 ACD；（2）求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值。5思路导航：思路导航：（1）转化为 PQDC；（2）AD 与平面 ABE 所成角即为 AD 与它在平面 ABE上的射影所成的角。答案：答案：（1）证明：因为 P、Q 分别为 AE、AB 的中点，所以 PQEB。又 DCEB，因此 PQDC，PQ平面 ACD，DC平面 ACD，从而 PQ平面 ACD。（2）解：如图，连接 CQ

9、、DP。因为 Q 为 AB 的中点，且 ACBC，所以 CQAB。因为 DC平面 ABC，EBDC，所以 EB平面 ABC。因此 CQEB，又 ABEBB，故 CQ平面 ABE。由（1）有 PQDC，又 PQ EBDC，1 2所以四边形 CQPD 为平行四边形，故 DPCQ，因此 DP平面 ABE，DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角，在 RtDCA 中，DC1，AC2，5AD ，在ACB 中，ACCB2，ACB120，CQ1，DP1。在 RtDPA 中，AD，DP1，sinDAP。555因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为。55例题例题 3 3 如图，在如图所示的圆锥中，已知

10、PO，O 的直径 AB2，点 C 在AB上，2且CAB30，D 为 AC 的中点。（1）证明：AC平面 POD；（2）求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值。6思路导航：思路导航：本题考查垂直关系的证明，线面角的求解及逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力。试题的难点是第二问的线面角，其中作出线面角是解题的关键。答案：答案：（1）证明：如图，因为 OAOC，D 是 AC 的中点，所以 ACOD。又 PO底面O，AC底面O，所以 ACPO，而 OD，PO 是平面 POD 内的两条相交直线，所以 AC平面 POD。（2）解：由（1）知，AC平面 POD，又 AC平面 PAC，所以平面 PO

11、D平面 PAC。在平面 POD 中，如图，过 O 作 OHPD 于 H，则 OH平面 PAC，连接 CH，则 CH 是 OC 在平面PAC 上的射影，所以OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角。在 RtODA 中，ODOAsin 30 。1 2在 RtPOD 中，OH 22PO ODPOOD。2 1 221423在 RtOHC 中，sinOCH。OH OC23故直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值为。23【总结提升总结提升】高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题，难度为中低档，大多数考生会做而得不到全分，往往是因为推理不严密，跳步作答所致。解题过程要表达准确、格式要符合要求.

12、每步推理要有理有据。计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点。引入数据要明确、要写明“已知” 、 “设”等字样，要养成良好的书写习惯。求线面夹角常用的方法如下：作出线在面内的射影，根据线面夹角定义来求。有时可以转化为面面夹角来求。 （如果线所在的面与待求夹角的那个面相交，且交线正好垂直于待求夹角的那条线，就可以使用此法。 ）关于线线夹角和线面夹角，下面两个结论经常用到： 如图 1，PA平面，PBB，BC，则cosPBCcosABP cosABC。7如图 2，过ABC的顶点B引射线BH和BA、BC成相等的锐角时，则BH在平面ABC内的射影BK是ABC的平分线（或平分线的反向延长线）

13、 。图 1图 2微课程微课程 3 3：立体几何中求二面角问题：立体几何中求二面角问题【考点精讲考点精讲】1. 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中每一部分都叫做半平面.2. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。学习二面角要注意以下三点：（1）二面角的大小是用平面角来度量的；（2）二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与棱上点的选择无关；（3）平面角的两边分别在二面角的两个面内。【典例精析典例精析】例题例题 1 1 已知ABC 是正三角形，PA平面 ABC，且 PAABa，求二面角 APCB 的正切值

14、大小。思路导航：思路导航：要求二面角的大小，首先要在图形中构造出二面角的平面角，然后利用其平面角度量二面角的大小.过棱上一点，分别在两个面内作（或证）棱的垂线，即可产生二面角的平面角，要充分利用三角函数定义求得具体值。答案：答案：取 AC 的中点 M，连接 BM，作 MNPC 于 N，连接 BN（如图） 。PA平面 ABC，平面 PAC平面 ABC。易证 BMAC，AC平面 PAC平面 ABC。BM平面 PAC（面面垂直的性质） 。MNPC，NBPC。MNB 是二面角 APCB 的平面角。易知 MN42a，BM23a。8tanMNB64223aaMNBM。MNBarctan6，即二面角 APC

15、B 的正切值大小为6。例题例题 2 2 在平面四边形 ABCD 中，已知 ABBCCDa，ABC90，BCD135，沿 AC 将四边形折成直二面角 BACD。（1）求证：平面 ABC平面 BCD；（2）求平面 ABD 与平面 ACD 所成角的大小。思路导航：思路导航：本题中BACD90在折叠前后不变，四边形的四条边的长也不变，所以 BE、sinDAC 均可在平面四边形中求得。答案：答案：如图，其中图（1）是平面四边形，图（2）是折后的立体图。（1）证明：平面 ABC平面 ACD，交线为 AC，又ABBC，ABC90，ACD90，CDAC。 BCDCDABCCD平面平面平面 ABC平面 BCD。

16、（2）解：过点 B 作 BEAC，E 为垂足，则 BE平面 ACD。又过点 E 在平面 ACD 内作 EFAD，F 为垂足，连接 BF。由三垂线定理可知 BFAD。BFE 是二面角 BADC 的平面角。点 E 为 AC 中点，BE21AC22a。又 sinDAC33ADCD，EF33AE，EF236 236aa，tanBFE3EFBE。BFE60，即平面 ABD 与平面 ACD 所成的二面角为 60。【总结提升总结提升】（1）二面角的平面角是用来刻画二面角大小的一个概念.它和两条异面直线所成的角以及直线和平面所成的角一样，都可化归为用平面内两条相交直线所成的角来表示，但必9须注意二面角的平面角

17、所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内，而且二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱上的位置无关。（2）二面角的计算方法利用定义作二面角的平面角在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点，学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。用垂面法作二面角的平面角作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为 ，则 cos原多边形面积射影多边形面积 SS。二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但如何度量二面角的大小是一难点。