新高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程教师用书文新人教A版.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1/12新高考数学一轮复习第 2 章函数导数及其应用第 8 节函数与方程教师用书文新人教 A 版 考纲传真 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数 1 函数的零点(1)定义：对于函数 y f(x)(xD)，把使 f(x)0 成立的实数 x叫做函数 y f(x)(xD)的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x)0 有实根函数 y f(x)的图象与 x 轴有交点函数 y f(x)有零点(3)零点存在性定理：如果函数 y f(x)在区间a，b 上的图象

2、是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么函数 y f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 x0(a，b)，使得 f(x0)0.2 二次函数 y ax2 bxc(a 0)的图象与零点的关系 b24ac 0 0 0 二次函数yax2bxc(a0)的图象 与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点 零点个数 2 1 0 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点()欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2/12(2)函数 y f(x)，xD 在区间(

3、a，b)D 内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0.()(3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在a，b 上有且只有一个零点()(4)二次函数 y ax2bxc 在 b24ac 0 时没有零点()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数 f(x)ex 3x 的零点个数是()A 0 B 1 C 2 D3 B f(1)30，f(0)10，f(x)在(1,0)内有零点，又 f(x)为增函数，函数 f(x)有且只有一个零点 3(2015安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A y cos x B y sin x C y ln x

4、Dy x21 A 由于 y sin x是奇函数；y ln x是非奇非偶函数，y x21 是偶函数但没有零点，只有 y cos x是偶函数又有零点 4(2016江西赣中南五校联考)函数 f(x)3xx2 的零点所在区间是()A(0,1)B(1,2)C(2，1)D(1,0)D f(2)，f(1)，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！3/12f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，故选D.5 函数 f(x)ax 12a 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取

5、值范围是_ 【导学号：31222059】13，1 函数 f(x)的图象为直线，由题意可得 f(1)f(1)0，(3a 1)(1a)0，解得a 1，实数 a 的取值范围是.函数零点所在区间的判断 (1)设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(2)函数 f(x)x2 3x18 在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点.【导学号：31222060】(1)B(2)存在(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围作图如下：可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)

6、(2)法一：f(1)12 3118200，f(8)82 38 18220，f(1)f(8)0，又 f(x)x2 3x18，x1,8的图象是连续的，故 f(x)x2 3x18 在 x1,8上存在零点 法二：令 f(x)0，得 x2 3x180，(x6)(x 3)0.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！4/12x6 1,8，x3 1,8，f(x)x23x 18 在 x1,8上存在零点 规律方法 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根

7、据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断 变式训练 1 已知函数 f(x)ln xx2 的零点为 x0，则 x0所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)C f(x)ln xx2 在(0，)上是增函数，又 f(1)ln 11ln 120，f(2)ln 200，f(3)ln 310，x0(2,3)，故选 C.判断函数零点的个数 (1)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为()A 1 B 2 C 3 D 4(2)(2017秦皇岛模拟)函数 f(x)的零点个数是_(1)B(2)3(1)令 f(x)2x|log0.5x|10，可得|log

8、0.5x|x.设 g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！5/12数 f(x)有 2 个零点(2)当 x0 时，作函数 y ln x和 y x22x 的图象，由图知，当 x0 时，f(x)有 2 个零点；当 x0 时，由 f(x)0 得 x，综上，f(x)有 3 个零点 规律方法 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程 f(x)0 有几个不同的实数解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用零点

9、存在性定理并结合函数的性质进行判断(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数 变式训练 2(2015湖北高考)函数 f(x)2sin xsinx2 的零点个数为_ 2 f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2，由f(x)0，得 sin 2xx2.设 y1 sin 2x，y2 x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示 由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数 f(x)有两个零点 函数零点的应用 (2017昆明模拟)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x4)f(x

10、)，且在区间0,2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的实根，求 a 的取值范围 思路点拨 先作出函数 f(x)的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！6/12解 由 f(x 4)f(x)知，函数的周期为 4，又函数为偶函数，所以 f(x 4)f(x)f(4 x)，3 分 所以函数图象关于 x 2 对称，且 f(2)f(6)f(10)2，要使方程 f(x)logax有三个不同的根，则满足 8 分 如图，即解得a.故 a 的取值范围是(，).12 分 规律方法 已知函数有零

11、点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 变式训练 3(1)函数 f(x)2x a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(2)(2016山东高考)已知函数 f(x)其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x的方程 f(x)b有三个不同的根，则 m的取值范围是_(1)C(2)(3，)(1)函数 f(x)2x a在区

12、间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即 a(a3)0，0a3.(2)作出 f(x)的图象如图所示当 xm时，x2 2mx4m(x 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！7/12m)24mm2，要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则有 4mm20.又 m0，解得 m3.思想与方法 1 转化思想在函数零点问题中的应用 方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 2 判断函数零点个数的常用方法(1)通

13、过解方程来判断(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断(3)将函数 y f(x)g(x)的零点个数转化为函数 y f(x)与 y g(x)图象公共点的个数来判断 3 利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法 易错与防范 1 函数的零点不是点，是方程 f(x)0 的实根 2 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件 课时分层训练(十一)函数与方程 A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题 1 若函数 f(x)axb有一个零点是 2

14、，那么函数 g(x)bx2ax 的零点是()【导学号：31222061】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！8/12A 0,2 B 0，12 C 0，D 2，12 C 由题意知 2a b 0，即 b 2a.令 g(x)bx2ax0，得 x 0 或 x.2函数 f(x)exx 2 的零点所在的区间为()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)C 因为f(0)e0 0210，f(1)e1 12e 10，故 f(0)f(1)0，故选 C.3 函数 f(x)2x x32 在区间(0,2)内的零点个数是()A 0 B 1 C 2 D 3

15、B 由指数函数、幂函数的性质可知，f(x)2x x32 在区间(0,2)内单调递增，且 f(0)10，f(2)100，所以 f(0)f(2)0，即函数 f(x)2x x32 在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.4 已知函数 f(x)则使函数 g(x)f(x)x m 有零点的实数 m的取值范围是()A 0,1)B(，1)C(，1(2，)D(，0(1，)D 函数 g(x)f(x)x m 的零点就是方程 f(x)x m 的根，画出 h(x)f(x)x 的大致图象(图略)观察它与直线 y m 的交点，得知当 m0 或 m1 时，有交点，即函数 g(x)f(x)x m 有零点 5(2016湖北七校

16、 2 月联考)已知 f(x)是奇函数且是 R 上的单欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！9/12调函数，若函数 y f(2x21)f(x)只有一个零点，则实数 的值是()A.B.C D 38 C 令 y f(2x21)f(x)0，则 f(2x21)f(x)f(x)，因为 f(x)是 R 上的单调函数，所以 2x21x 只有一个实根，即 2x2x1 0 只有一个实根，则 18(1 )0，解得 .故选 C.二、填空题 6已知关于 x 的方程 x2mx 60 的一个根比 2 大，另一个根比 2 小，则实数 m 的取值范围是_ 【导学号：312

17、22062】(，1)设函数 f(x)x2mx 6，则根据条件有 f(2)0，即 4 2m 60，解得 m 1.7(2016浙江高考)设函数 f(x)x3 3x2 1，已知 a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实数 a_，b_.2 1 f(x)x3 3x2 1，则 f(a)a3 3a2 1，f(x)f(a)(xb)(xa)2(xb)(x22axa2)x3(2ab)x2(a22ab)xa2bx3 3x2 a3 3a2.由此可得 2ab3，a22ab0，a3 3a2 a2b.a0，由得 a2b，代入式得 b1，a2.8(2015湖南高考)若函数 f(x)|2x 2|b 有两个零点，则

18、实数 b 的取值范围是_ 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！10/12(0,2)由 f(x)|2x 2|b 0 得|2x 2|b.在同一平面直角坐标系中画出 y|2x 2|与 y b 的图象，如图所示，则当 0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数 f(x)|2x 2|b 有两个零点 三、解答题 9 已知函数 f(x)x3 x2.证明：存在 x0，使 f(x0)x0.证明 令 g(x)f(x)x.2 分 g(0)，g f，g(0)g 0.7 分 又函数 g(x)在上连续，存在 x0，使 g(x0)0，即 f(x0)x0.12 分 10

19、已知二次函数 f(x)x2(2a1)x12a，(1)判断命题：“对于任意的 aR，方程 f(x)1 必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若 y f(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，求实数 a 的取值范围 解(1)“对于任意的 aR，方程 f(x)1 必有实数根”是真命题 依题意，f(x)1 有实根，即 x2(2a1)x2a0 有实根.3 分 因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即 x2(2a1)x2a0 必有实根，从而 f(x)1 必有实根.5 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！11/12(2)依题

20、意，要使 y f(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，只需 7 分 即解得a.10分 故实数 a 的取值范围为.12 分 B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2017郑州模拟)已知函数 f(x)(aR)，若函数 f(x)在 R上有两个零点，则 a 的取值范围是()A(，1)B(，1 C 1,0)D(0,1 D 因为当 x0 时，f(x)2x1，由 f(x)0 得 x.所以要使 f(x)在 R 上有两个零点，则必须 2xa0 在(，0上有唯一实数解 又当 x(，0时，2x(0,1，且 y 2x 在(，0上单调递增，故所求 a 的取值范围是(0,1 2函数 f(x)则函数 y ff(x)

21、1 的所有零点所构成的集合为_ 【导学号：31222063】3，12，14，2 由题意知 ff(x)1，由 f(x)1 得 x2 或 x，则函数 y ff(x)1 的零点就是使 f(x)2 或 f(x)的 x的值 解 f(x)2 得 x3 或 x，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！12/12解 f(x)得 x 或 x，从而函数 y ff(x)1 的零点构成的集合为.3 若关于 x 的方程 22x 2xa a1 0 有实根，求实数 a 的取值范围 解 法一(换元法)：设 t 2x(t0)，则原方程可变为 t2 ata1 0，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根 令 f(t)t2 at a1.3分 若方程(*)有两个正实根 t1，t2，则解得1 a22；6 分 若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则 f(0)a1 0，解得 a1；9 分 若方程(*)有一个正实根和一个零根，则 f(0)0 且0，解得 a1.综上，a 的取值范围是(，22.12分 法二(分离变量法)：由方程，解得 a，3 分 设 t 2x(t0)，则 at 2t 11 2，其中 t 1 1，9 分 由基本不等式，得(t1)2，当且仅当 t 1 时取等号，故a22.12 分