高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数教师用书文新人教A版.doc

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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数及其章函数导数及其应用第应用第 4 4 节二次函数与幂函数教师用书文新人教节二次函数与幂函数教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a

2、0)，x1，x2 为 f(x)的零点(2)二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R R值域4acb2 4a，)(，4acb2 4a单调性在上减，(，b 2a在上增b 2a，)在上增，(，b 2a在上减b 2a，)2 / 14对称性函数的图象关于x对称b 2a2.幂函数(1)定义：形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数( )(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.( )(3)幂

3、函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)( )(4)当 n0 时，幂函数 yxn 在(0，)上是增函数( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)已知幂函数 f(x)x 的图象过点(4,2)，若f(m)3，则实数 m 的值为( )A. B3CD9D 由题意可知 4222，所以 .所以 f(x)x，故 f(m)3m9.函数特征性质yxyx2yx3yx1 2yx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)3 / 143已知函数 f(x)ax2x5 的图象在 x 轴上方，

4、则 a 的取值范围是( )A. B.(，1 20)C. D.(1 20，0)C 由题意知即得 a.4(2017贵阳适应性考试(二)二次函数 f(x)2x2bx3(bR)零点的个数是( )A0 B1 C2 D4C 因为判别式 b2240，所以原二次函数有 2 个零点，故选 C.5若二次函数 yax2bxc 的图象与 x 轴交于 A(2,0)，B(4,0)且函数的最大值为 9，则这个二次函数的表达式是_. 【导学号：31222037】yx22x8 设 ya(x2)(x4)，对称轴为 x1，当 x1 时，ymax9a9，a1，y(x2)(x4)x22x8.求二次函数的解析式已知二次函数 f(x)满足

5、 f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式【导学号：31222038】解 法一(利用一般式)：设 f(x)ax2bxc(a0).2 分由题意得 8 分解得Error!4 / 14所求二次函数为 f(x)4x24x7.12 分法二(利用顶点式)：设 f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图象的对称轴为 x.3 分m.又根据题意函数有最大值 8，n8.yf(x)a28.8 分f(2)1，a281，解得 a4，f(x)4284x24x7.12 分法三(利用零点式)：由已知 f(x)10 的两根为 x12，x21，2 分故可设 f(x)1a(x2)(x1)

6、，即 f(x)ax2ax2a1.6 分又函数的最大值是 8，即8，解得 a4，所求函数的解析式为 f(x)4x24x7.12 分规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下变式训练 1 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，求 f(x)的解析式解 f(2x)f(2x)对 xR 恒成立，f(x)的对称轴为 x2.2 分又f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2，f(x)0 的两根为 1 和 3.6 分5 / 14设 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)(x3)(a0

7、)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.10 分所求 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x3)，即 f(x)x24x3.12 分二次函数的图象与性质角度 1 二次函数图象的识别及应用(1)设 abc0，则二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是( )A B C D(2)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值范围是_(1)D (2) (1)由 A，C，D 知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴 x0，知 A，C 错误，D 符合要求由 B 知 f(0)c0，ab0，x0，B 错误(2)作出二次函数 f(x)的图象，对于任

8、意 xm，m1，都有f(x)0，则有Error!即解得m0.角度 2 二次函数的最值问题(1)(2017广西一模)若 xlog521，则函数 f(x)4x2x13 的最小值为( )A4B3C1D0(2)(2017安徽皖北第一次联考)已知函数 f(x)x22ax1a 在区间0,1上的最大值为 2，则 a 的值为( ) 【导学号：31222039】6 / 14A2B1 或3C2 或3D1 或 2(1)A (2)D (1)xlog521log52xlog5512x，令 t2x，则有 yt22t3(t1)24，当 t1，即 x0 时，f(x)取得最小值4.故选 A.(2)函数 f(x)(xa)2a2a

9、1 图象的对称轴为 xa，且开口向下，分三种情况讨论如下：当 a0 时，函数 f(x)x22ax1a 在区间0,1上是减函数，f(x)maxf(0)1a，由 1a2，得 a1.当 0a1 时，函数 f(x)x22ax1a 在区间0，a上是增函数，在a,1上是减函数，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由 a2a12，解得 a或 a.0a1，两个值都不满足，舍去当 a1 时，函数 f(x)x22ax1a 在区间0,1上是增函数，f(x)maxf(1)12a1a2，a2.综上可知，a1 或 a2.角度 3 二次函数中的恒成立问题已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3 在 x1,1

10、上恒小于零，则实数 a 的取值范围为_由题意知 2ax22x30 在1,1上恒成立(，1 2)当 x0 时，适合；当 x0 时，a2.7 / 14因为(，11，)，当 x1 时，右边取最小值，所以 a.综上，实数 a 的取值范围是.规律方法 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是 af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.幂函数的图象与性质(1)幂函数 yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数

11、 yf(x)的图象是( )A B C D(2)已知幂函数 f(x)xm22m3(mN*)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，则 m 的值为_(1)C (2)1 (1)令 f(x)x，则 42，f(x)x.(2)f(x)在(0，)上是减函数，m22m30，解得1m3.又 mN*，m1 或 m2.由于 f(x)的图象关于 y 轴对称m22m3 的值应为偶数，又当 m2 时，m22m3 为奇数，m2 舍去因此 m1.规律方法 1.幂函数的形式是 yx(R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式8 / 142若幂函数 yx(R)是偶函数，则 必为偶数当 是分数时，一般将其先

12、化为根式，再判断3若幂函数 yx 在(0，)上单调递增，则 0，若在(0，)上单调递减，则 0.变式训练 2 (1)设 a0.5，b0.9，clog50.3，则a，b，c 的大小关系是( )Aacb BcabCabcDbac(2)若(a1) (32a) ，则实数 a 的取值范围是_(1)D (2) (1)a0.50.25，b0.9，所以根据幂函数的性质知 ba0，而 clog50.30，所以 bac.(2)易知函数 yx 的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a.思想与方法1二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大

13、(小)值有关的量时，常使用顶点式(3)已知二次函数与 x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求 f(x)更方便2研究二次函数的性质要注意(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论3利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法9 / 14在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较4幂函数 yx(R)图象的特征0 时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0 时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立易错与防范1对于函数 yax2bxc，若是二次函数，就隐含着 a0，当题目条件中未说明 a0 时，就要分 a0，a0

14、两种情况讨论2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点课时分层训练课时分层训练( (七七) ) 二次函数与幂函数二次函数与幂函数A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1已知幂函数 f(x)kx 的图象过点，则 k( ) 【导学号：31222040】A. B1 C. D2C 由幂函数的定义知 k1.又 f，所以 ，解得 ，从而 k. 2函数 f(x)2x2mx3，当 x2，)时，f(x)是增函数，当 x(，2时，f(x)是减函数，则

15、f(1)的值为( )10 / 14A3 B13 C7 D5B 函数 f(x)2x2mx3 图象的对称轴为直线 x，由函数f(x)的增减区间可知2，m8，即 f(x)2x28x3，f(1)28313. 3若幂函数 y(m23m3)xm2m2 的图象不过原点，则m 的取值是( )A1m2Bm1 或 m2Cm2Dm1B 由幂函数性质可知 m23m31，m2 或 m1.又幂函数图象不过原点，m2m20，即1m2，m2 或 m1.4已知函数 yax2bxc，如果 abc 且 abc0，则它的图象可能是( ) 【导学号：31222041】A B C DD 由 abc0，abc 知 a0，c0，则0，排除B

16、，C.又 f(0)c0，所以也排除 A.5若函数 f(x)x2axa 在区间0,2上的最大值为 1，则实数 a 等于( )A1 B1 C2 D2B 函数 f(x)x2axa 的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得f(0)a，f(2)43a，或解得 a1.11 / 14二、填空题6(2017上海八校联合测试改编)已知函数 f(x)ax22ax1b(a0)若 f(x)在2,3上的最大值为 4，最小值为 1，则 a_，b_.1 0 因为函数 f(x)的对称轴为 x1，又 a0，所以 f(x)在2,3上单调递增，所以Error!即解方程得 a1，b0.7已知 P2，Q3，R3，则 P，

17、Q，R 的大小关系是_.【导学号：31222042】PRQ P23，根据函数 yx3 是 R 上的增函数且，得 333，即 PRQ.8对于任意实数 x，函数 f(x)(5a)x26xa5 恒为正值，则 a 的取值范围是_(4,4) 由题意可得Error!解得4a4.三、解答题9已知幂函数 f(x)x(m2m)1(mN*)经过点(2，)，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2a)f(a1)的实数 a 的取值范围解 幂函数 f(x)经过点(2，)，2(m2m)1，即 22(m2m)1，m2m2，解得 m1 或 m2.4 分又mN*，m1.f(x)x 则函数的定义域为0，)，12 / 14并且在定义

18、域上为增函数由 f(2a)f(a1)，得 10 分解得 1a.a 的取值范围为.12 分10已知函数 f(x)x2(2a1)x3，(1)当 a2，x2,3时，求函数 f(x)的值域；(2)若函数 f(x)在1,3上的最大值为 1，求实数 a 的值解 (1)当 a2 时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴 x2,3，2 分f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，值域为.5 分(2)对称轴为 x.当1，即 a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即 a满足题意；8 分当1，即 a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即 a1 满足题意综上可知 a或1.12 分B 组 能力提升

19、(建议用时：15 分钟)1(2017江西九江一中期中)函数 f(x)(m2m1)x4m9m51 是幂函数，对任意的 x1，x2(0，)，且x1x2，满足0，若 a，bR，且 ab0，ab0，则 f(a)f(b)的13 / 14值( ) 【导学号：31222043】A恒大于 0B恒小于 0C等于 0D无法判断A f(x)(m2m1)x4m9m51 是幂函数，m2m11，解得 m2 或 m1.当 m2 时，指数 4292512 0150，满足题意当 m1 时，指数 4(1)9(1)5140，不满足题意，f(x)x2 015.幂函数 f(x)x2 015 是定义域 R 上的奇函数，且是增函数又a，b

20、R，且 ab0，ab，又 ab0，不妨设 b0，则 ab0，f(a)f(b)0，又 f(b)f(b)，f(a)f(b)，f(a)f(b)0.故选 A.2设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数 yf(x)g(x)在 xa，b上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在a，b上是“关联函数” ，区间a，b称为“关联区间”若 f(x)x23x4 与 g(x)2xm 在0,3上是“关联函数” ，则 m 的取值范围为_由题意知，yf(x)g(x)(9 4，2x25x4m 在0,3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数 ym 与yx25x4(x0,3)的图象如图所示，

21、结合图象可知，14 / 14当 x2,3时，yx25x4，故当 m时，函数 ym 与 yx25x4(x0,3)的图象有两个交点3已知二次函数 f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数 f(x)的最小值为 f(1)0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk 在区间3，1上恒成立，试求 k 的范围解 (1)由题意知Error!解得 2 分所以 f(x)x22x1，由 f(x)(x1)2 知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.6 分(2)由题意知，x22x1xk 在区间3，1上恒成立，即 kx2x1 在区间3，1上恒成立，8 分令 g(x)x2x1，x3，1，由 g(x)2知 g(x)在区间3，1上是减函数，则 g(x)ming(1)1，所以 k1，即 k 的取值范围是(，1).12 分