2019高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法学案.doc

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1、12.2.12.2.1 综合法和分析法综合法和分析法学习目标：1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点(重点、易混点)2.会用综合法、分析法解决问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法PQ1Q1Q2Q2Q3(P表示已知条件、已有的QnQ定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2分析法定义框图表示特点一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件

2、、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法思考 1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 思考 2: 综合法与分析法有什么区别？提示综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因基础自测1思考辨析(1)综合法是执果索因的逆推证法( )(2)分析法就是从结论推向已知( )(3)所有证明的题目均可使用分析法证明( )答案 (1) (2) (3) 2

3、命题“对于任意角，cos4 sin4 cos 2 ”的证明：“cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 )cos2 sin2 cos 2 ” ，其过程应用了( )2A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证法B B 从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路3要证明AB，若用作差比较法，只要证明_解析 要证AB，只要证AB0. 答案 AB04将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b2 2a2b2 2a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立. 【导学号：31062143】解析 用分析法证明

4、ab的步骤为：要证ab成立，只需证a2b2 2a2b2 2a2b22ab，也就是证a2b22ab0，即证(ab)20.由于(ab)20 显然成立，所以原不等式成立答案 a2b22ab0 (ab)20 (ab)20合 作 探 究攻 重 难综合法的应用(1)已知a，b是正数，且ab1，证明： 4.1 a1 b(2)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.求证：A的大小为； 3若 sin Bsin C，证明ABC为等边三角形3解 (1)法一：a，b是正数且ab1，ab2， ，abab1 2 4.1 a1 bab ab1 ab3法二

5、：a，b是正数，ab20，ab 20，1 a1 b1 ab(ab)4.(1 a1 b)又ab1， 4.1 a1 b法三： 1 11 a1 bab aab bb aa b224.当且仅当ab时，取“”号b aa b(2)由 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得 2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，所以 cos A ，b2c2a2 2bc1 2所以A. 3因为ABC180，所以BC18060120，由 sin Bsin C，3得 sin Bsin(120B)，3sin B(sin 120cos Bcos 120sin B)，3sin Bcos B，3 2323

6、即 sin(B30)1.因为 0B120，所以 30B30150，所以B3090，B60，所以ABC60，即ABC为等边三角形规律方法 综合法的解题步骤4跟踪训练1.如图 221，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)证明：CDAE；(2)证明：PD平面ABE.图 221证明 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，又PCCDC，AE

7、平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD.又ABAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.分析法的应用设a，b为实数，求证： (ab). a2b2225【导学号：31062144】证明 当ab0 时，0，a2b2(ab)成立a2b222当ab0 时，用分析法证明如下：要证(ab)，a2b222只需证()22.a2b222ab即证a2b2 (a2b22ab)，即证a2b22ab.1 2a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立a2b222综上所述，不等式得证规律方法 用分析法证明不等式的三个关注点1分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、

8、基本不等式、已知的重要不等式等.2分析法是综合法的逆过程，即从“未知” “看” “需知” ，执果索因，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件.3分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性，其格式一般为“要证，只要证.只需证，显然成立，所以成立”.跟踪训练3已知a，b是正实数，求证：.abbaab证明 要证，abbaab只要证ab()ababab即证(ab)()()，abababab因为a，b是正实数，即证ab，abab也就是要证ab2，ab即()20.ab而该式显然成立，所以.abbaab综合法和分析法的综合应用6探究问题1在实际解题时，综合法与分析法能否

9、可以结合起来使用？提示：在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程2你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路？提示：用框图表示如下：其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论已知a、b、c是不全相等的正数，且 0abc.ab 2bc 2ac 2由公式0，0，0，ab 2abbc 2bcac 2ac又a，b，c是不全相等的正数，abc.ab 2bc 2ac 2a2b2c2即abc成立ab 2bc 2ac 2logxlogxlogx0，所以 cos C0，求证：3a32b33a2b2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)证明 法一：(综合法)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为ab0，所以ab0,3a22b20，从而(3a22b2)(ab)0，所以 3a32b33a2b2ab2.法二：(分析法)要证 3a32b33a2b2ab2，只需证 3a2(ab)2b2(ab)0，只需证(3a22b2)(ab)0，ab0.ab0,3a22b22a22b20，上式成立