2019八年级数学下册 专题突破讲练 一次函数中的分段函数试题 （新版）青岛版.doc

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1、1一次函数中的分段函数一次函数中的分段函数分段函数的基本模型分段函数的基本模型1.1. 分段记费问题（如收取水费、电费、通信费等类型）：分段记费问题（如收取水费、电费、通信费等类型）：我国是世界上严重缺水的国家之一。为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费，即一月用水 10 吨以内（包括 10 吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过 10 吨的用户，10 吨水仍按每吨元收费，超过 10 吨的部分，a 按每吨元（ba）收费。设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关bxyyx系如图所示。求出 a 和 b 值。解析：解析：根据图中的相关数据利用解析式分析求值

2、，解题关键是弄清函数图象的意义。答案：，2。1.5a b 2.2. 行程中的分段计算问题：行程中的分段计算问题：由速度或时间的不同而产生的不同计算。如图是小明从学校到家里行进的路程 s（米）与时间 t（分）的函数图象，观察图象，从图中能得到什么信息呢？（结合背景对图象含义进行理解）解析：解析：考查函数图象的读图能力要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论。答案：小明行进总路程为 1000 米，行进时间为 20 分钟，前 10 分钟的行进速度比后10 分钟的行进速度慢。3.3. 与几何图形有关的分段函数与几何图形有关的分段函数：由图形的运动

3、变化所产生的线段、面积等的不同产生的分段计算。如图 1，在矩形ABCD 中，AB3，BC4，动点 P 从点 A 开始按 A BCD 的方向运动到 D。如图 2，设动点 P 所经过的路程为 x，APD 的面积为 y。（当点 P 与 A 或 D 重合时，y0），写出 y与 x 的函数关系式并画出图象。2解析：解析：利用点运动到不同位置产生对应值解决问题。图象如图。203 637 220710xx yx xx 4.4. 商品销售中的分段计算：商品销售中的分段计算：根据数量将商品进行分段销售。如：某书定价 25 元，如果一次购买 20 本以上，超过20 本的部分打八折，试写出付款金额 y（单位：元）与

4、购书数量 x（单位：本）之间的函数关系。解析：解析：考查了分段函数，理解分段收费的意义，明确每一段购书数量及相应的购书单价是解题的关键，要注意 x 的取值范围。25020 50020(20)20xxyxx总结：总结：（1）要特别注意相应的自变量变化区间，在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围；（2）分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线。其中每条线段（射线）代表某一个阶段的情况；（3）分析分段函数的图象，要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解，尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义。（4）本节运用的数学思想有分类讨论思想、转化思想、数形结合思想。例题例题 甲、乙两人在一

5、段长为 1200 米的笔直路上匀速跑步，甲、乙的速度分别为4m/s 和 6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面 100 米处。若同时起跑，甲、乙两人在从起跑至其中一人先到达终点的过程中，他们之间的距离 y（m）与时间 t（s）的函数图象如图所示。则 t1 s，y2 m。解析：解析：根据图象可知，当 t1时，y0，即 6t4t100，求出即可；分为两种情况：3甲在乙的前面，y（4t100）6t，乙在甲的前面，y6t（4t100），求出即可。答案：答案：解：当 y0 时，6t4t100，解得：t50，即 t150，当 0t50 时，甲在乙的前面，y4t1006t2t100，12006200，当 50

6、t200 时，乙在甲的前面，y6t（4t100）2t100，当 t200 时，y22200100300。故答案为：50s，300m。点拨：点拨：考查了分段函数与函数的图象的应用，主要考查学生的阅读能力和观察图象的能力，用的数学思想是转化思想和数形结合思想。几何图形几何图形中的分段计算中的分段计算例题例题 如图，在矩形 MNPQ 中，MN6，PN4，动点 R 从点 N 出发，沿 NPQM 方向运动至点 M 处停止。设点 R 运动的路程为 x，MNR 的面积为 y，（1）当 x3 时，y ；当 x12 时，y ；当 y6 时，x ；（2）分别求当 0x4、4x10、10x14 时，y 与 x 的函

7、数关系式。解析：解析：（1）利用当 x3 时，yMNRN，当 x12 时，yRMMN 以及当 y621 21时分别求出即可；（2）利用当 0x4、4x10、10x14 时，根据 R 不同的位置，分别求出 y 与 x 的函数关系式即可。答案：答案：解：（1）如图 1，点 R 运动的路程为 x，MNR 的面积为 y，当 x3 时，yMNRN639，21 21如图 2，当 x12 时，yRMMN266，21 214根据以上计算可以得出当 y6 时，x2 或 12，故答案为：9，6，2 或 12；（2）当 0x4 时，R 在 PN 上运动，yMNRN6x3x；21 21当 4x10 时，R 在 QP

8、上运动，yMNPN6412；21 21当 10x14 时，R 在 QM 上运动，yMNRM64（x10）423x。21 21收费问题中的分段计算收费问题中的分段计算例题例题 （徐州中考）（徐州中考）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自 1 月 1 日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：每月用气量单价（元/m3）不超出 75m3的部分2.5 超出 75m3不超出 125m3的部分a 超出 125m3的部分a0.25（1）若甲用户 3 月份的用气量为 60m3，则应缴费 元；（2）若调价后每月支出的燃气费为 y（元） ，每月的用气量为 x（m3

9、） ，y 与 x 之间的关系如图所示，求 a 的值及 y 与 x 之间的函数关系式；解析：解析：（1）根据单价数量总价，就可以求出 3 月份应该缴纳的费用；（2）结合统计表的数据，根据单价数量总价的关系建立方程就可以求出 a 值，再从0x75，75x125 和 x125 运用待定系数法分别表示出 y 与 x 的函数关系式即可。答案答案：解：（1）由题意，得 602.5150（元） ；（2）由题意，得 a（325752.5）（12575） ，a2.75，a0.253， 设 OA 的解析式为 y1k1x，则有 2.57575k1，k12.5，1(0)k 线段 OA 的解析式为 y12.5x（0x7

10、5） ；5设线段 AB 的解析式为 y2k2xb，由图象，得，解得：2(0)k ，22.7518.75kb 线段 AB 的解析式为：y22.75x18.75（75x125） ；（385325）320，故 C（145，385） ， 设 BC 的解析式为 y3k3xb1，由图象，得3(0)k ，解得：，BC 的解析式为 y33x50（x125）（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟）一、选择题1.（永州中考）某市打市话的收费标准是：每次 3 分钟以内（含 3 分钟）收费 0.2 元，以后每分钟收费 0.1 元（不足 1 分钟按 1 分钟计） 。某天小芳给同学打了一个 6 分钟的市话，所用电话

11、费为 0.5 元；小刚现准备给同学打市话 6 分钟，他经过思考以后，决定先打 3 分钟，挂断后再打 3 分钟，这样只需电话费 0.4 元。如果你想给某同学打市话，准备通话 10分钟，则你所需要的电话费至少为（ ）A. 0.6 元B. 0.7 元C. 0.8 元D. 0.9 元2.（泸州中考）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：（1）若每户居民每月用电量不超过 100 度，则按 0.50 元/度计算；（2）若每户居民每月用电量超过 100 度，则超过部分按 0.80 元/度计算（未超过部分仍按每度电 0.50 元计算） 。现假设某户居民某月用电量是 x（单位：度） ，

12、电费为 y（单位：元） ，则 y与 x 的函数关系用图象表示正确的是（ ）*3. 在一次远足活动中，小聪和小明由甲地步行到乙地后原路返回，小明在返回途中的丙地时发现物品可能遗忘在乙地，于是从丙地返回乙地，然后沿原路返回。两人同时出发，步行过程中保持匀速。设步行的时间为 t（h） ，两人离甲地的距离分别为 s1（km）和s2（km） ，图中的折线分别表示 s1、s2与 t 之间的函数关系。则下列说法中正确的是（ ）6A. 甲、乙两地之间的距离为 20km B. 乙、丙两地之间的距离为 4kmC. 小明由甲地出发首次到达乙地的时间为小时65D. 小明乙地到达丙地用 了小时81*4.（黄冈模拟）如图

13、所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 x（h） ，两车之间的距离为 y（km） ，图中的折线表示 y 与x 之间的函数关系。下列说法中错误的是（ ）A. 甲，乙两地相距 1000kmB. B 点表示此时两车相遇C. 快车的速度为 166km/h32D. BCD 段表示慢车先加速后减速最后到达甲地*5.（哈尔滨道里区一模）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地 480 千米的目的地，甲出发不久因故停车检修，修好后甲车继续向前行驶。乙车比甲车晚出发（从甲车出发时开始计时） 。图中折线 OABC、线段 DE 分别表示甲、乙两车所行路程 y（千米）与时间

14、x（小时）之间的函数关系对应的图象。根据图象中所提供的信息，有下列说法：乙车比甲车晚 2 小时出发；甲车修好后行驶了 1.5 小时与乙车在途中第二次相遇；乙车行驶的平均速度为每小时 48 千米；甲、乙两车到达目的地所用的时间相同。符合图象描述的说法有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个7二、填空题：*6. （孝感模拟）某市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：月用水量不超过 40 吨的部分，按每吨 1 元收取水费，超过 40 吨的部分，按每吨 1.5 元收取水费。另外每吨用水加收 0.2 元的城市污水处理费。若某户水表有故障，每次用水只有 60%记入用水量，这样在

15、 3 月份交水费 43.2 元，该用户 3 月份实际应交水费 元。*7. （秀洲区二模）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过 20 吨，按每吨 2.5 元收费。如果超过 20 吨，未超过的部分按每吨 2.5 元收费，超过的部分按每吨3.3 元收费。设某户每月用水量为 x 吨，应收水费为 y 元。（1）分别写出每月用水量未超过 20 吨和超过 20 吨，y 与 x 间的函数关系式。 （2）若该城市某户 4 月份水费平均为每吨 2.8 元，求该户 4 月份用水 吨。*8. （黄陂区模拟）在一条直线上依次有 A、B、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B 港口出发，沿直线匀速驶向

16、C 港，最终达到 C 港。设甲、乙两船行驶 x（h）后，与 B港的距离分别为 y1、y2（km），y1、y2与 x 的函数关系如图所示，若两船的距离不超过10km 时能够相互望见，则甲、乙两船可以相互望见时 x 的取值范围为 。*9. 已知正方形 ABCD 的边长是 2，E 是 CD 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿 ABCE运动，到达 E 点即停止运动，若点 P 经过的路程为 x，APE 的面积记为 y，试求出 y 与 x之间的函数解析式 ，并求出当 y时，x 的值为 。31三、解答题：*10. 下图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，各时间段的平均速度 v（千米/小时）随时间 t（

17、分）变化的图象（全程） ，根据图象提供的信息：（1）求这次比赛全程是多少千米；（2）求比赛开始后多少分钟两人相遇。8*11.（衡阳中考）为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从 2012 年7 月 1 日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价” ，分三个档次收费，第一档是用电量不超过 180 千瓦时实行“基本电价” ，第二、三档实行“提高电价” ，具体收费情况如下折线图，请根据图象回答下列问题；（1）当用电量是 180 千瓦时时，电费是 元；（2）第二档的用电量范围是 ；（3） “基本电价”是 元/千瓦时；（4）小明家 8 月份的电费是 328.5 元，这个月他家用电多少千瓦时？

18、*12.（荆州中考）某个体户购进一批时令水果，20 天销售完毕。他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示。（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）分别求出第 10 天和第 15 天的销售金额；（3）若日销售量不低于 24 千克的时间段为“最佳销售期” ，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？3020150y克 克 克 克x克 克 克81020100y克 克 克 克x克 克 克图甲图乙91. B

19、解析：由已知通过分析可得：根据小刚通话的方式进行，需要电话费最少，即先打 3 分钟，挂断后再打 3 分钟，再挂断打 10334 分钟，则费用为：0.20.20.20.10.7。故选 B。2. C 解析：根据题意，当 0x100 时，y0.5x，当 x100 时，y1000.50.8（x100）500.8x800.8x30，所以，y 与 x 的函数关系为，纵观各选项，只有 C 选项图形符合。故选 C。0.50100 y0.830100xx xx （）（）3. C 解析：根据图中信息，甲、乙两地之间的距离为 10km，乙、丙两地之间的距离为2km；故选项 A、B 错误；根据小明到达丙时所用时间为

20、1 小时，所行路程为（102）km，即 v2（102）112km/h，t11012（小时） ，t2212（小时） ，故小明65 61由甲地出发首次到达乙地用了小时，故选项 C 正确，由乙地到达丙地用了小时，故 D65 61选项错误。故选 C。4. D 解析：解：A、由图象知 x0 时，y1000，即甲、乙两地的距离为 1000km。故A 正确；B. B 点表示此时两车在此处相遇，所用时间是 4 小时，故 B 正确；C. 快车速度为：166。故 C 正确；D. BCD 段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车41000 121000 32到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了 12 小时到达甲地，故本选

21、项错误。故选 D。5. C 解析：结合图象即可得出：D 点即是乙车比甲车晚出发的时间，乙车比甲车晚2 小时出发，故此说法正确；根据两函数图象交点坐标 F 的横坐标为 6，B 点横坐标为4.5，即可得出甲车修好后行驶了 1.5 小时与乙车在途中第二次相遇，故此说法正确；乙车行驶的平均速度为每小时 48 千米；根据乙行驶时间为：1028 小时，路程为 480km，故 480860km/h，故此说法错误；甲、乙两车到达目的地所用的时间相同，根据两车所用时间均为 8 小时，故此说法正确。故正确的有：3 个。故选 C。6. 82 解析：设实际用水 x 吨，根据题意得 60%x1.243.2 解得：x60

22、 故 实际缴费401.2201.7483482 元，故答案为 82。7. （1） （2）32 解析：（1）当 x20 时，y2.5x，当2.5(20)y3.316 (20)xxxx x20 时，y3.3（x20）50，y3.3x16；（2）该户 4 月份水费平均为每吨 2.8元，该户 4 月份用水超过 20 吨。设该用户 4 月份用水 a 吨，得 2.8a3.3a16，解得a32。 8. x 解析：由图象可知，甲船的速度为：300.560 千米/时，乙船的速度32 34为：90330 千米/时，由此可得：所以，甲、乙两船离 A 港口的距离为 s甲60x，s乙30x30，当甲船在乙船前面 10

23、千米时，s甲s乙10，即：60x（30x30）10，解得 x ，当甲船在乙船前面 10 千米时，s乙s甲10，34即：30x3060x10，解得 x ，所以，当两船的距离不超过 10km 时，x32 3210。349. x31或 解析：当 P 在 AB 上，即 0x2 时，如(02) 13 (24)2 5 (45)xxyxxxx 14 3图 1，y21APAD21x2x；当 P 在 BC 上，即 2x4 时，如图 2，yS正方形ABCDSADESCEPSABP，222121211（4x）212（x2）21x3；当 P 在 CE 上，即 4x5 时，如图 3，y21EPAD21（61x）2x5；

24、。当 y31时，31x 或21x3 或(02) 13 (24)2 5 (45)xxyxxxx 1 331x5，解得：x31或。14 310. 解：（1）这次比赛全程为 1512 千米；6048（2）设甲行驶的路程为 y甲，乙行驶的路程为 y乙，则 y甲31t（0t15） ，y甲91t310（15t33） ，y甲21t219（33t43） ，y乙41t，当 15t33 时，由91t31041t，解得 t24，当 33t43 时，由21t21941t，解得 t38，比赛 开始后 24 分钟和 38 分钟两人相遇。11. 解：（1）由函数图象，得当用电量为 180 千瓦时，电费为：108 元。故答案

25、为：108；（2）由函数图象，得设第二档的用电量为 x 千瓦时，则 180x450。故答案为：180x450；（3）基本电价是：1081800.6；故答案为：0.6；（4）设直线 BC 的解析式为 ykxb，由图象，得，解得：(0)k 364.5540283.5450kb kb 11，；y328.5 时，x500。答：这个月他家用电 500 千瓦时。0.9 121.5k b y0.9x121.512. 解：（1）分两种情况：当 0x15 时，设日销售量 y 与销售时间 x 的函数解析 式为 yk1x，直线 yk1x 过点（15，30），15k130，解得1(0)k k12，y2x（0x15）；

26、当 15x20 时，设日销售量 y 与销售时间 x 的函数解析式为 yk2xb，点（15，30），（20，0）在 yk2xb 的图象上，2(0)k ，解得：，y6x120（15x20）；综上，可知 y 与 x221530 200kbkb26 120kb 之间的函数关系式为：；2 015 y6120 1520xx xx （）（）（2）第 10 天和第 15 天在第 10 天和第 20 天之间，当 10x20 时，设销售单价 p（元/千克）与销售时间 x（天）之间的函数解析式为 pmxn，点(0)m （10，10），（20，8）在 pmxn 的图象上，解得：1010 208mn mn ，px12（

27、10x20），当 x10 时，p10，y21020，销售金15 12mn 51额为：1020200（元），当 x15 时，p15129，y30，销售金额为：51930270（元）。故第 10 天和第 15 天的销售金额分别为 200 元、270 元；（3）若日销售量不低于 24 千克，则 y24。当 0x15 时，y2x，解不等式2x24，得 x12；当 15x20 时，y6x120，解不等式6x12024，得x16，12x16，“最佳销售期”共有：161215（天）；px12（10x20），0，p 随 x 的增大而减小，当 12x16 时，51 51x 取 12 时，p 有最大值，此时 p12129.6（元/千克）。故此次销售过程中51“最佳销售期”共有 5 天，在此期间销售单价最高为 9.6 元。