2019八年级数学上册 专题突破讲练 轻松证全等试题 （新版）青岛版.doc

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1、1轻松证全等轻松证全等一、全等变换一、全等变换全等变换是进行全等三角形综合应用时要重点掌握的内容。全等变换是进行全等三角形综合应用时要重点掌握的内容。全等变换是指将一个图形通过平移、旋转、翻折等方法改变图形位置，但形状、大小均不改变。平移：将图形平行移动到另一位置。相关定理：平行线间的平行线段相等，平行线间的距离相等。旋转：图形绕某一点向某一方向旋转一定的角度。通常为 60 度或 90 度或 180 度。翻折：将图形沿某一条线折叠。二、全等三角形常用的辅助线二、全等三角形常用的辅助线1. 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。倍长中线法通常是全等变换中的旋转思想的应用。

2、常用以下形式作辅助线2. 分析证明一条线段等于两条线段和（差）的基本方法有两种：（1）补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段，使其为求证中的两条线段之和，再证明所构造的线段与求证中那一条线段相等。如图：延长 AB，使 BE=BD，连接 DE，则 AC=AB+BD。EDABC延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BEFEDCBA间接倍长作 CFAD 于 F，作 BEAD 的延长线于 E，连接 DE2（2）截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等。如图：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，则 AC=AE+EC=AB+BD

3、。方法归纳：方法归纳：1. 注意图形是如何变换后全等的，特别注意旋转与翻折的区别。2. 应用辅助线解决问题时，注意重新绘制图形，不要在习题上直接作线，这样不方便后面改动。3. 认真读题目、分析已知是关键，注意题干中的条件变化，如中点是否始终在图形的变化中存在，直接影响到证明时是否使用中点这一条件。技巧归纳：技巧归纳：（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，证明两个三角形全等的条件比较充分。只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等。（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开

4、放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件。解这类问题的基本思路是：逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案。（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等。（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法在近年中考中出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视。3总结：1. 充分理解全等变换的内容，理

5、解图形变化前后的关系为全等。2. 使用辅助线证明是解题的关键，需要通过不断的训练提高分析能力，掌握不同图形添加不同的辅助线作法。例题例题 1 1 如图，有一块边长为 4 的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角ABCD顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点。则四边形的面ACDFCBEAECF积是 。A D C B F E 解解析析：根据全等三角形的判定可知ADF 与ABE 全等，所以四边形的面积等于原正方AECF形的面积。答答案案：解：FAE=90，DAB=90，DAF=BAE，90ADFABEADABDAFBAE ADFABE（ASA）四边形的面积正方形 ABCD 的面积

6、，AECF正方形边长为 4ABCD四边形的面积16AECF点拨：点拨：本题主要考查全等三角形的判定以及图形转化的应用。例题例题 2 2 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数。 FEDCBA解析解析：延长 EB 到 G，使得 BG=DF，易证ABGADF（SAS） ，可得 AF=AG，进而求证AEGAEF，可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解题。4答答案案：解：延长 EB 到 G，使得 BG=DF，在ABG 和ADF 中，由90ABAD ABGADF BGDF 可得ABGADF（SAS），BAG=DAF，AG=A

7、F，又EF=BE+DF=EB+BG=EG，AE=AE，在AEG 和AEF 中，AEAE GEFE AGAF AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90，EAG+EAF=90，EAF=45。故答案为：EAF=45。点拨：点拨：本题是截长补短类证明的典型例题，考查了全等三角形的判定及全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF 是解题的关键。倍长中线证明全等倍长中线证明全等中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来

8、解决问题的方法。下面举例说明。拓展拓展 如图，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线。已知 AC=5，AD=4，则 AB 的取值范围是_。5解解析析：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 CE，利用“边角边”证明ABD 和ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等可得 CE=AB，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解答。答案答案：解：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 CE，则 AE=2AD=24=8，AD 是 BC 边上的中线，BD=CD，在ABD 和ECD 中，BDCD ADBECD ADED ABDECD（SAS） ，AB=EC，又AC=5，AE=8

9、5+8=13，85=3，3CE13，即 AB 的取值范围是：3AB13。故答案为：3AB13。6（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟）一、选择题1. 如图，在ABC中，AD为BC边上的中线。则AB+AC（ ）2AD。DABCA. C. = D. 无法比较2. 如图，将两根钢条、的中点 O 连在一起，使、可以绕着点 O 自由转动，就AABBAABB做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽 AB，那么判定AOB的理由是（ ）A BA OBA. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 *3. 已知：如图，在ABC、ADE 中，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，点 C，D，E

10、 三点在同一条直线上，连接 BD，BE。以下四个结论：BD=CE；BDCE；ACE+DBC=45；其中结论正确的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3*4. 如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）A. 相等B. 不相等C. 相等或互余D. 相等或互补*5. 在锐角三角形 ABC 中，AH 是 BC 边上的高，分别以 AB、AC 为一边，向外作正方形 ABDE 和ACFG，连接 CE、BG 和 EG，EG 与 HA 的延长线交于点 M，下列结论：BG=CE BGCE AM 是AEG 的中线 EAM=ABC，其中正确结论的个

11、数是（ ）7A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个二、填空题：*6. 如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过正方形的顶点 B、D 作 BFa 于点F，DEa 于点 E，若 DE=8，BF=5，则 EF 的长为 *7. 如图，ACB=90，AC=BC，BECE 于 E，ADCE 于 D，下面四个结论：ABE=BAD；CEBADC；AB=CE；ADBE=DE。正确的是 （将你认为正确的答案序号都写上）。*8. 如图，在ABC 和ADE 中，有以下四个论断：AB=AD，AC=AE，C=E，BC=DE，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个真命题（用序号“

12、JJJJ”的形式写出）： 8*9. 已知：如图，AD 是ABC 的中线，点 E 在 AD 上，BE=AC，延长 BE 交于 AC 于 F，则图中与AF 相等的线段是 三、解答题：*10. ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。ADBCE*11. 如图，ABC 中，D 是 BC 的中点，DEDF，试判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论。*12. 如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置。F，G 分别是 BD，BE 上的点，BF

13、=BG，延长 CF 与 DG交于点 H。9（1）求证：CF=DG；（2）求FHG 的度数。*13. 已知四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN 绕 B点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E、F，（1）当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），试猜想 AE，CF，EF 之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： + = （不需证明）（2）当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上问的结论分别是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，那么这三条线段又有怎样的数量

14、关系？请写出你的猜想，不需证明。101. B 解析：如图延长 AD 至 E，使 AD=DE，连接 BE。在ACD 和EBD 中：DCDB，ADCEDB，ADED，ACDEBD（SAS），AC=EB（全等三角形的对应边相等），在ABE 中，由三角形的三边关系可得 AEAB+BE，即 2ADAB+AC，AB+AC2 AD。2. A 解析：OA=OA，AOB=AOB，OB=OB，OABOAB（SAS） ，所以理由是 SAS。3. D 解析：BAC=DAE=90，BAC+CAD=DAE+CAD，即BAD=CAE，在BAD 和CAE 中，ABAC，BADCAE，ADAE，BADCAE（SAS），BD=C

15、E，本选项正确；BADCAE，ABD=ACE，ABD+DBC=45，ACE+DBC=45，DBC+DCB=DBC+ACE+ACB= 90，则 BDCE，本选项正确；ABC 为等腰直角三角形，ABC=ACB=45，ABD+DBC=45，ABD=ACE，ACE+DBC=45，本选项正确；综上，正确的个数为 3 个。故选 D4. D 解析：解：当两个三角形都是锐角三角形时，如图 1，AM，DN 分别是ABC 和DEF 的高，且 BC=EF，AM=DN，图 1AC=DF，AMCDNF90，在 RtAMC 和 RtDNF 中，ACDF，AMDN，AMCDNF（HL），MCA=NFD，即这两个三角形的第三

16、条边所对的角也相等；当两个三角形都是钝角三角形时，同样有两个三角形的第三条边所对的角也相等；当两个三角形都是直角三角形时，同样有两个三角形的第三条边所对的角相等且互补；当两个三角形一个是钝角三角形，另一个是锐角三角形时，如图 2，AM，DN分别是ABC 和DEF 的高，且 BC=EF，AM=DN，AC=DF，易证得 RtAMCRt11DNF，ACM=DFN，而ACB+ACM=180，ACB+DFE =180，即这两个三角形的第三条边所对的角互补。所以如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角相等或互补。故选 D。图 25. A 解析：在正方形 ABD

17、E 和正方形 ACFG 中，AB=AE，AC=AG，BAE=CAG=90，BAE+BAC=CAG+BAC，即CAE=BAG，在ABG 和AEC 中，ABAE CAEBAG ACAG，ABGAEC（SAS），BG=CE，故正确；设 BG、CE 相交于点 N，ABGAEC，ACE=AGB，NCF+NGF=ACF+AGF =90+90=180，CNG=360（NCF+NGF+F）=360（180+90）=90，BGCE，故正确；过点 E 作 EPHA的延长线于 P，过点 G 作 GQAM 于 Q，AHBC，ABH+BAH=90，BAE=90，EAP+BAH=18090=90，ABH=EAP，EAM=

18、ABC，故正确，在ABH 和EAP 中，AHBP90，ABHEAP，ABAE，ABHEAP（AAS），EP=AH，同理可得 GQ=AH，EP=GQ，在EPM和GQM 中，PMQG90，EMPGMQ，EPGQ，EPMGQM（AAS），EM=GM，AM 是AEG 的中线，故正确。综上所述，结论都正确。故选 A。6. 13 解析：四边形 ABCD 是正方形（已知），AB=AD，ABC=BAD=90；又FAB+FBA=FAB+EAD=90，FBA=EAD（等量代换）；BFa 于点 F，DEa 于点E，在 RtAFB 和 RtDEA 中，AFBDEA90，FBAEAD，ABDA，AFBDEA（AAS），

19、AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13。故答案为：13。7. 、解析：BEC=ADC=90，BCE=CAD，ABE=BAD 正确；BCE+ECA=90，ECA+CAD=90，BCE=CAD，又E=ACB=90，AC=BC，CEBADC 正确；CE=AD，BE=CD，ADBE=DE 正确；而不能证明，故答案为12、。故填、。8. 或 解析：根据 SSS，可知由，可得出ABCADE，由全等三角形的对应角相等可得出，故真命题是；根据 SAS，可知由，可得出ABCADE，由全等三角形的对应边相等可得出，故真命题是。故填或。9. EF 解析：

20、如图，延长 AD 至 M，使 DM=AD，连接 BM，AD 是ABC 的中线，BD=CD，在ACD 和MBD 中，ADDM，ADCMDB，CDBD，ACDMBD（SAS），M=CAD，AC=BM，BE=AC，BM=BE，M=BEM，BEM=CAD，BEM=AEF（对顶角相等），AEF=CAD，AF=EF（等角对等边）。即与 AF 相等的线段是 EF。10. 证明：如图在CD上截取CF=BC，FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在FDE与ADE中，3=4，DE=DE，FDE=ADE。FDEADE（ASA），

21、DF=DA，13CD=DF+CF，CD=AD+BC。11. BE+CFFP=EF。证明：延长 ED 至 P，使 DP=DE，连接 CP、FP，D 是 BC 的中点，BD=CD，在BDE 和CDP中，DPDE，EDBCDP，BDCD，BDECDP（SAS），BE=CP，DEDF，DE=DP，EF=FP，在CFP 中，CP+CF=BE+CFFP=EF。12. （1）证明：在CBF 和DBG 中，BCBD，CBFBDG60，BFBG，CBFDBG（SAS） ，CF=DG；（2）解：CBFDBG，BCF=BDG，又CFB=DFH，DHF=CBF=60，FHG=180DHF=18060=120。13.

22、（1）AE+CF=EF，（2）如图 2，（1）中结论不成立。证明：（1）延长 FC 到 H，使 CH=AE，连接 BH，ABAD，BCCD，A=BCH=90，在BCH 和BAE 中BCAB，BCHA，CHAE，BCHBAE（SAS），BH=BE，CBH=ABE，ABC=120，MBN=60，ABE+CBF=12060=60，HBC+CBF=60，HBF=60=MBN，在HBF 和EBF 中，BHBE，HBFEBF，BFBF，HBFEBF（SAS），HF=EF，HF=HC+CF=AE+CF，EF=AE+CF。（2）证明：（1）中的结论不成立，线段 AE、CF，EF的数量关系是 AE=EF+CF，证明：在 AE 上截取 AQ=CF，连接BQ，ABAD，BCCD，A=BCF=90，在BCF 和BAQ 中，BCAB，BCFA，CFAQ，BCFBAQ（SAS），BF=BQ，CBF=ABQ，MBN=60=CBF+CBE，CBE+ABQ=60，ABC=120，QBE=12060=60=MBN，在FBE 和QBE 中BFBQ FBEQBE BEBE，FBEQBE（SAS），EF=QE，AE=QE+AQ=EF+CF，AE=EF+CF，即（1）中的结论不成立，线段 AE、CF，EF 的数量关系是 AE=EF+CF。14