人教A版高中数学必修二2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件.ppt

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1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系ABCD平面内两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系相交直线相交直线平行直线平行直线相交直线相交直线（有一个公共点）（有一个公共点）平行直线平行直线（无公共点）（无公共点）两路相交两路相交立交桥立交桥立交桥中立交桥中,两条路线两条路线AB,CDaboab既不平行，又不相交既不平行，又不相交温故知新ABCD六角螺母六角螺母 两直线异面的判别二两直线异面的判别二:两条直线两条直线不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内.1.异面直线的定义异面直线的定义:不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。两直线异面

2、的判别一两直线异面的判别一:两条直线两条直线 既不相交、又不平行既不相交、又不平行.相交直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线共面直线 平行直线：平行直线：同一平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点；异面直线：异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。不同在任何一个平面内，没有公共点。空间中直线与直线之间的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种：空间两条直线的位置关系有且只有三种：按平面基本性质分按平面基本性质分同在一个平面内同在一个平面内相交直线平行直线 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内:异面直线 有一个公共点有一个公共点

3、:按公共点个数分按公共点个数分相交直线无无 公公 共共 点点平行直线异面直线空间中直线与直线之间的位置关系 a与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab合作探究2.异面直线的画法异面直线的画法说明说明:画异面直线时画异面直线时,为了为了体现体现 它们不共面的特点。它们不共面的特点。常借常借 助一个或两个平面来衬托助一个或两个平面来衬托.如图：aAbab(1)ba(3)

4、(2)下图是一个正方体的展开图，如果将它还原下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段这四条线段所在的直线是异面直线的有所在的直线是异面直线的有 对。对。DBACEFHG3直线直线EF和直线和直线HG直线直线AB和直线和直线HG直线直线AB和直线和直线CD合作探究 我们知道我们知道,在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢在空间这一规律是否还成立呢?公理：公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线

5、互相平行平行线的传递性平行线的传递性推广推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行3、平行公理的推导、平行公理的推导如图，长方体ABCD-ABCD中，BB/AA,DD/AA,那么BB与DD平行吗？例例1、已知已知空间四边形空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证四边形的中点，求证四边形EFGH是一个平行四边是一个平行四边形。形。解题思想：解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题解立体几何时最主要、最常用的一种方法。解立体几何时最主要、最常用的

6、一种方法。AB DEFGHC EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH=BD同理，同理，FG BD且且FG=BDEH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD 在例在例2 2中，如果再加上条件中，如果再加上条件AC=BD，那么四边，那么四边形形EFGH是什么图形？是什么图形？四边形四边形EFGH是菱形。是菱形。BCADEFHG合作探究在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线中，直线 AB与与C1D1 ，AD1与与 BC1 1 是什么位置关系？为什么？是什么位置关系？为什么？解解：C1ABCDA1B1D11）ABA1B1，C1D1 A1

7、B1，AB C1D1 2）AB C1D1，且，且AB=C1D1 ABC1D1为平行四边形为平行四边形故故AD1 BC1 练一练 在平面内在平面内,我们可以证明我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补两边分别平行，那么这两个角相等或互补”空间中这一结论是空间中这一结论是否仍然成立呢？否仍然成立呢？定理（等角定理）：定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补观察观察:如图所示如图所示,长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中中,ADC与与

8、 A1D1C1,ADC与与 A1B1C1两边分别对应平行两边分别对应平行,这两组角的大小这两组角的大小 关系如何关系如何?答答:从图中可看出从图中可看出,ADC=A1D1C1,ADC+A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD3.异面直线所成的角异面直线所成的角 在平面内在平面内,两条直线相交成四两条直线相交成四个角个角,其中不大于其中不大于90度的角称为它度的角称为它们的夹角们的夹角,用以刻画两直线的错开用以刻画两直线的错开程度程度,如图如图.在空间在空间,如图所示如图所示,正方体正方体ABCDEFGH中中,异面直线异面直线AB与与HF的错开程度可以怎样来刻的错开程度可以怎样来刻画呢画呢

9、?ABGFHEDCO(2)问题提出问题提出(1)复习回顾复习回顾如图所示，如图所示，a，b是两条是两条异面直线，异面直线，在空间中任选一点在空间中任选一点O，过过O点分别作点分别作 a，b的平行线的平行线 a和和 b，abPabO 则这两条线所成则这两条线所成的锐角的锐角（或直角），（或直角），称为称为异面直线异面直线a，b所成的角。所成的角。？Oa(3)解决问题解决问题思想方法思想方法:平移转化成相交直线所成的角平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题即化空间图形问题为平面图形问题思考思考:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗?即即O点位点位置不同时置

10、不同时,这一角的大小是否改变这一角的大小是否改变?如果两条异面直线如果两条异面直线 a,b 所成的角为直所成的角为直角，我们就称这两角，我们就称这两条直线互相垂直条直线互相垂直,记为记为a b异面直线所成的角的范围异面直线所成的角的范围(0,90 oo思考思考:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗?即即O点位置不同时点位置不同时,这一角的大小这一角的大小 是否改变是否改变?a a,a a a a(公理公理4),解答：解答：如图如图设设a 与与 b 相交所成的角为相交所成的角为 1,a 与与 b 所成的角为所成的角为 2,同理同理 b b,1=2(等角定理等角定理)b aO

11、 1aab 2 答答:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置点的位置无关无关.在求作异面直线所成的角时在求作异面直线所成的角时,O点点 常选在其中的一条直线上常选在其中的一条直线上 (如线段的如线段的端点端点,线段的线段的中点中点等等)下图长方体中下图长方体中平行平行相交相交异面异面 BD 和和FH是是 直线直线 EC 和和BH是是 直线直线BH 和和DC是是 直线直线BACDEFHG(2).与棱与棱 A B 所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条条?4分别是分别是：CG、HD、GF、HE课后思考课后思考:这个长方体的棱中共有多少对异面直线这个长方体的棱中共有多少对异面直线?(1)说出以

12、下各对线段的位置关系说出以下各对线段的位置关系?例例2ABGFHEDC例例3 如图，正方体如图，正方体ABCD-EFGH中中,O为侧面为侧面ADHE的中心，求的中心，求 (1)BE与与CG所成的角？所成的角？(2)FO与与BD所成的角？所成的角？（3）那些棱所在的直线与直线）那些棱所在的直线与直线EA垂直？垂直？解解:(1)如图如图:BF CG，EBF(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线 BE与与CG所成的角，所成的角，又又 BEF中中 EBF=45 ，所以所以BE与与CG所成的角是所成的角是45ooO连接连接HA、AF，依题意知依题意知O为为AH中点中点,HFO=30o(2)连接连接FH

13、，所以所以FO与与BD所成的夹角是所成的夹角是30o四边形四边形BFHD为平行四边形，为平行四边形，HFBD HFO(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线 FO与与BD所成的角所成的角 HD EA，EA FB HD FB=则则AH=HF=FA AFH为等边为等边 AB、BC、CD、DA、EF、FG、GH、HE 求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是:一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角三求：在一恰当的三角形中求出角例例4 4：长方体长方体AB

14、CDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AAAA1 1=2cm2cm，ADAD=1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值所成角的余弦值.如图，连B1D1与A1C1 交于O1，O1MDB1A1D1C1ACB解：解：例例4 4：长方体长方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AAAA1 1=2cm2cm，ADAD=1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值所成角的余弦值.如图，连B1D1与A1C1 交于O1，解：解：O1M

15、DB1A1D1C1ACBA1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳：平移法连A1M，在A1O1M中即根据定义，以即根据定义，以“运动运动”的观点，用的观点，用“平移平移转化转化”的方法，使之成为相交直线所成的角的方法，使之成为相交直线所成的角.解法二解法二：方法归纳：方法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系现两条异面直线的关系.F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的长方体的长方体B1F，如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中,AB=

16、,AD=,AE=2 (1)求求BC 和和EG 所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AE 和和BG 所成的角是多少度所成的角是多少度?解答：解答：(1)GF BC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.Rt EFG中，求得中，求得 EGF=45o(2)BF AE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,Rt BFG中，求得中，求得 FBG=60o5.课堂练习课堂练习ABGFHEDC2例例5、在正四面体、在正四面体ABCD（四个面是全等（四个面是全等的等边三角的等边三角的等边三角的等边三角形的几何体形的几何体形的几何体形的几何体）中，已知）中，已知E是棱是棱BC的中点，求异面直线

17、的中点，求异面直线AE与与BD所成角的余弦值。所成角的余弦值。ABCDEF不同在不同在任何任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义异面直线的定义:相交直线相交直线 平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系课堂小结公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行异面直线的求法异面直线的求法:一作一作(找找)二证三求二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补等角定理：等角定理：异面直线的画法异

18、面直线的画法用平面来衬托用平面来衬托异面直线所成的角异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角1、正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO900练一练ABDCA1B1D1C12、在正方体、在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角所成的角A1B和和B1C所所成的角为成的角为60和和A1B成角为成角为60的面对角线的面对角线共有共有 条。条。83 3、已知正方体的棱长为、已知正方体的棱长为a a,M M为为ABAB的中点的中点,N N 为为 B BB B1 1的中点，求的中点，求 A A1 1M M 与与 C C1 1 N N 所成角所成角的余弦值的余弦值.解：解：A1D1C1B1ABCDMNEG如图，取如图，取AB的中点的中点E,连连BE,有有BE A A1 1M M 取取CC1的中点的中点G，连，连BG.有有BG C C1 1N N 则则 EBG即为所求角即为所求角.BG=BE=a,，EG=a由余弦定理，由余弦定理，cosEBG=2/5F取取EB1的中点的中点F，连，连NF,有有BE NF则则 FNC为所求角为所求角.想一想：想一想：还有其他定角的方法吗？还有其他定角的方法吗？在在 EBG 中中