第10讲-模型相似理论.pdf

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1、第六章 模型相似理论 1 动力学模型相似律基本原理 采用模型对结构的力学特性进行预测分析是复杂结构分析常用的方法 关键在于解决模型分析结果与实际结构力学特性之间的关系使模型分析有实际意义 模型研究中的相似有两种 几何相似和运动学相似 几何相似要求模型和原型的相应线性尺度之间具有同一比例关系 即形状相似 运动相似是指模型和原型上所有相应点的广义位移的变化量具有相同的方向和相同的比例常数 动力学相似除要求模型和原型上相应的动态力平行外还要求有一个相似的倍数这一倍数与几何相似系数有关为保证模型和原型的动力学相似通常根据 Buckingham 的定理求取无量纲关系组或称因子从而建立各变量之间的关系 1

2、.1 定理 假定系统中有n个变量nuuu,21L涉及的基本物理单位有 N 个 系统特性方程为 0),(21=nuuufL.(1)则系统特性方程总可以变为无量纲形式 0),(21=NnL (2)式中为无量纲参数i称为无量纲因子独立的因子数目不多于 n-N 个 可由若干个变量u的幂乘表示i且每一个因子中不多于 N+1 个变量即 nanaaiiuuucL2121=(3)其中为一常数ic通常可令其等于 1Ria不为零系数的数目不大于 N+1 1.2 因子的求法量纲矩阵和因子的幂次矩阵 定理模型动力学相似的适用情况(1)不知道物理方程但可判断问题所涉及的变量(2)知道物理方程但无法用解析法求解通过模型分

3、析和定理导出原型特性 针对第一种情况 方程未知 设结构动力学问题可用下式表示其应力与各物理量之间的函数关系),(FlgaEtdf=(4)该式可改写为 0),(=FlgaEtdf (5)其中d位移t时间密度泊松比E弹性模量a加速度g重力常数l特征长度F力应力共 10 个物理量而基本物理量单位只有 3 个 1 即质量 长度和时间的单位 它们的量纲分别为M=kg L=m 和T=s 于是能组成 10-3=7个因子 i12340),(721=L (6)的形式如下 10987654321aaaaaaaaaaiFlgaEtd=(7)上述 10 个物理量的量纲可排列成如下的量纲矩阵表中的数值表示有关量纲的幂次

4、例如第三列密度的量纲为ML-3 第五列弹性模量的量纲为MLE-1T-2 这与的单位为牛顿/米E2一致 d t E a g l F M 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 L 1 0-3 0-1 1 1 1 1-1 T 0 1 0 0-2-2-2 0-2-2 根据因子无量纲的要求对应 3 个基本物理量量纲MLT系数为零利用量纲矩阵由方程(7)可得到如下代数方程组=0002202220010111111030111000101001021aaaM (8)上式的解有无穷多组但由定理知只需找到 10-3=7 组解而每组解中涉及的参数不应多于 3+1=4 个每次任意给定 7 个未知量可利用(8)式解

5、出其余 3 个未知量 无量纲因子往往可以由判断 先得到若干个然后应用方程(8)求取其余各组解从而得到全部的因子例如可根据判断组成如下 4 个因子 Egald 其余 3 个因子可由(8)式解出 EltEgl2ElF 因子的表达形式不是唯一的 上述 7 个因子可列表表示如下 d t E a g l F 0 0 0 0-1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1-1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0-1 0 0 2 5 0 1-1/2 0 1/2 0 0-1 0 0 6 0 0 1 0-1 0 1 1 0 0 7 0 0 0 0-1 0 0-2 1

6、0 上表称为因子的幂次矩阵表中的数值表示有关物理量的幂次例如由第 5 行得 EltlEt=121215 3 2 动力学分析中的模型相似问题 对于复杂弹性结构一般难以列出其解析的运动方程 但可以判断振动问题与下列物理量有关 H,da l F v E其中H位移传递函数d位移圆频率密度泊松比a加速度l特征长度F力v速度E弹性模量此处未考虑重力加速度g考虑的情况将在后面讨论g 系统的特性方程可写成以下形式 0),(=EvFladHf (9)可建立各参数的量纲矩阵如下 H d a l F v E M-1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 L 0 1 0-3 0 1 1 1 1-1 T 2 0-1 0

7、0-2 0-2-1-2 根据定理能组成 10-3=7 个因子利用判断和解方程组(8)式相结合的方法可以得到下列 7 个因子 ld2ElFEl1dHFda2dv 根据上述各因子可研究动力学相似要求的模型和原型各物理量之间的关系 2.1 模型设计条件 1 =(10)pm其中下标m分别表示模型和原型p,该式要求模型和原型的泊松比必须相同只要模型与原型的材料相同就能满足该式的要求 2 pmldld=(11)设模型和原型特征尺寸之比为=mpll (12)则由(11)式可知模型和原型变形位移之比须满足=mpdd (13)4 3 pmElFElF=22 (14)设模型和原型由同一材料制成只有这样(10)式最

8、容易满足则由上式得 2222)()(=mpmpmpllElElFF (15)上式说明如果模型比原型小即1作用在缩尺模型上的力应比原型上的小 4 pmElEl=11 (16)模型材料与原型相同时上式化为 1=pmmpll (17)上式说明缩尺模型的频率与原型满足特征尺寸的线性关系 2.2 运动量换算关系 5 pmdada=22 (18)由此式得 11)()()()(22222=mpmpmpmpddddaa (19)在上述模型设计条件下缩尺模型比原型的加速度大 6 pmdvdv=(20)由上式 11)()(=mpmpmpmpddddvv (21)说明模型的速度和原型速度一样 7 pmdHFdHF=

9、(22)112=mppmmpddFFHH (23)上式给出的是原型和模型位移频响函数的比例关系 对速度频响函数和加速度频响函数可推论如下 5 21=VmVpHH 31=AmApHH (24)2.3 考虑重力加速度 因素 g可组成另一个因子ga即要求 8 pmgaga=(25)即 1=mpmpaagg (26)即要求模型和原型处于不同的重力场中 这在实际工程研究中难以满足 模型和原型一般都处于同一重力场中由于因子不是唯一的因此有人采用Egl作为考虑重力的因子于是 pmEglEgl=(27)即=mpmpmpllglglEE)()()/()/(28)即模型和原型不能使用同一种材料满足(28)式后必然

10、导致apma=(17)式也将改变为 1)/()/(=pmmppmmppmmpllllllEEll (17)其它关系也随之改变 事实上很难找到满足(28)式的材料而实际工程研究中则常常不得不根据实际采用的模型材料根据(28)式选取模型和原型的特征尺寸比例尺但10式=则难以保证pm g的影响一般只在考虑静应变时才重要在动特性问题上往往可以不加考虑简化问题 2.4 考虑阻尼因素 按照粘性阻尼理论阻尼力与速度成正比rc是一比例常数因此可建立如下因子 Fvcr 6 由此要求 2)()(=mppmmrprFvFvcc (29)由于下一节中证明 3)()(=mrprmm=mrprkk)()(30)根据阻尼比

11、的定义 rrrrkmc2=111)()()()(22)()(32=prrmrrmrprmrrrprrrmrprkmkmcckmckmc 即要求模型和原型有相同的阻尼比 这一要求对外加阻尼情况可以满足 对于实际结构的结构阻尼则难以控制 由于阻尼的作用在于限制共振时的振幅 对其它模态参数并无重大影响 因此阻尼条件不完全满足动力学相似律要求不会对其它参数造成严重影响尤其对于弱阻尼和实模态情况 7 3 动力学参数的换算 (1)模态振型模态振型.设模型和原型第阶振型分别为和rmr)(pr)(对应主振动振幅分别为和mrA)(prA)(由于模态振型与对应主振动的振幅成正比而模型和原型振幅之比与位移之比相同即

12、=mpmirpirddAA)()(imirpirimirpirkAAk=)()()()(由于模态振型表示的是各测点振幅比如果模型和原型的模态振型采用相同的归一化方法则模型和原型的振型相同即 mr)(=pr)(2)模态频率模态频率.根据式(17)得 1)()(=pmmrprll (17)(3)模态质量模态质量.根据频响函数表达式=+=NrrrrjrirNrijrijkcjmHH121)()(当 时r rjririjrmH2)(=()()mpmijrpijrmrjrirprjrirHHHHmm=(22 mpprmrHHmm=)()(22 3222111)()()()(=pmpmmrprHHmm 说

13、明模型的模态质量与原型的模态质量之比等于它们的体积比 (4)模态刚度模态刚度.由rrrmk=2得=32221)()()()(mrrprrmrprmmkk 说明缩尺模型的模态刚度按原型的几何缩比减小 8 4 采用微分方程进行模型相似律设计 采用定理进行动力学相似模型律设计无需了解系统的物理方程 是进行动力学相似模型律设计最常用方法该方法唯一的弱点是各无量纲变量因子可能因选择的随意性较大 而使其不具有明显的物理意义 采用微分方程进行模型相似律的设计则可解决上述问题但该方法的主要弱点则正在于要求模型设计人员掌握问题物理概念 并能列出完整的微分方程组准确描述问题的物理关系 本节以线性振动系统中最常见的

14、二阶常微分方程和方程组组为例介绍模型相似律的设计的方法和步骤本节方法同样适用于偏微分方程组 4.1 单自由度系统 无阻尼单自由度系统运动方程1 TtPetpKxxM=+)(&(1)系统的初始条件为 0)0(,0)0(=xx&(2)则原型(prototype)的系统方程为 ppTtppppppePtpxKxM=+)(&(3)系统的初始条件为 0)0(,0)0(=ppxx&(4)则模型(model)的系统方程为 mmTtmmmmmmePtpxKxM=+)(&(5)系统的初始条件为 0)0(,0)0(=mmxx&(6)欲使模型和原型具有动力学相似性 则模型和原型的系统方程和初始条件经变换后应具有相同

15、的形式模型和原型系统的 6 个对应变量的相似变换关系假设为 xmpxx=MmpMM=KmpKK=PmpPP=TmpTT=(7)tmptt=则 mxpxx=mtxmtmxpppxtxtx&=ddddx mtxmtmxpppxtxtxx&22dddd=(8)将(7)(8)式代入(3)式中得 mTmtTtmPmxmKmtxmMePxKxM=+&2 (9a)1 本例参照 W E Baker,P S Westine and F T Dodge,Similarity Methods in Engineering Dynamics:Theory and Practice of Scale Modeling,

16、Revised Edition,ELSEVIER Science Publishers B.V.,1991,pp33-45.解法不同 9 变为 mTmtTtmmmPxKmmPtxMePxKxM=+&2 (9b)将(7)(8)式代入(4)式中得 0)0(,0)0(=mtxmxxx&(10)为使原型的等价变换系统方程(9b)(10)式与模型系统方程(5)(6)式等价应要求下列相似律成立 12=PtxM (11a)1=PxK (11b)1=Tt (11c)1=tx (11d)假定模型和原型采用相同的材料 则模型和原型的密度相同 在几何相似性xmpxx=的保证下应有 3xM=(11e)则可解出模型和原

17、型的相似律为 2xP=xK=xt=(12)xT=3xM=此时原型的相似变换系统方程与9a与模型系统方程(5)完全相同初始条件(9b)与(6)完全等价因此上述相似律能够保证模型与原型的动力学相似性 4.2 多自由度系统 10 多自由度阻尼系统运动方程)(tfKxxCxM=+&(1)系统的初始条件为 0)0(,0)0(=xx&(2)则原型(prototype)的系统方程为)(tfxKxCxMppppppp=+&(3)系统的初始条件为 0)0(,0)0(=ppxx&(4)则模型(model)的系统方程为)(tfxKxCxMmmmmmmm=+&(5)系统的初始条件为 0)0(,0)0(=mmxx&(6

18、)欲使模型和原型具有动力学相似性 则模型和原型的系统方程和初始条件经变换后应具有相同的形式模型和原型系统的 6 个对应变量的相似变换关系假设为 mMpMM=mCpCC=mKpKK=mxpxx=mfpff=(7)mtptt=则 mxpxx=mtxmtmxpppxtxtx&=ddddx mtxmtmxpppxtxtxx&22dddd=(8)将(7)(8)式代入(3)式中得 mfmxmKmtxmCmtxmMfxKxCxM=+&2 (9a)变为 mmmfxKmmftxCmmftxMfxKxCxM=+&2 (9b)将(7)(8)式代入(4)式中得 0)0(,0)0(=mtxmxxx&(10)为使原型的等

19、价变换系统方程(9b)(10)式与模型系统方程(5)(6)式等价应要求下列相似律成立 12=ftxM (11a)11 1=ftxC (11b)1=fxK (11c)1=tx (11d)假定模型和原型采用相同的材料 则模型和原型的密度相同 在几何相似性的保证下mxpxx=应有 3xM=(11e)则可解出模型和原型的相似律为 2xf=2xC=xK=(12)xt=3xM=此时原型的相似变换系统方程与9a与模型系统方程(5)完全相同初始条件(9b)与(6)完全等价因此上述相似律能够保证模型与原型的动力学相似性 现研究其动力学参数的相似律系统广义特征方程为 KM=2 (13)原型系统广义特征方程为 pp

20、pppKM=)(2 (14)模型系统广义特征方程为 mmmmmKM=)(2 (15)假定对原型各变量进行如下相似变换 mp=mMpMM=mKpKK=(16)mp=代入(14)式中得原型等价相似变换方程为 mmmmmKMKM=)(22 (17)由上式知可以取非零的任意数为保证(17)式与模型特征方程(15)完全相同应取如下相 12 似律=1 (18a)12=KM (18b)将(12)式代入(18b)中得 x1=(18c)系统的模态质量刚度和阻尼的相似关系为 mrxmrMmrmmrMprpprprmmMMm)()()()()()()(3TT=mrxmrKmrmmrKprpprprkmKKk)()()()()()()(TT=mrxmrCmrmmrCprpprprcmCCc)()()()()()()(2TT=位移频响函数的相似关系为 mijxNrprpprpprpjrpirpijHcjmkH)(1)()()()()()()(12=+=13