第10讲胡不归最值模型(原卷版).pdf

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1、中考数学几何模型中考数学几何模型 1010：胡不归最值模型胡不归最值模型名师点睛名师点睛拨开云雾拨开云雾开门见山开门见山在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆【故事介绍】【故事介绍】从前有个少年外出求学， 某天不幸得知老父亲病危的消息， 便立即赶路回家 根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置 A 到家 B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭 邻居告诉小伙子说， 老人弥留之际不断念叨着“胡不归

2、？胡不归？” （“胡”同“何”）而如果先沿着驿道而如果先沿着驿道 ACAC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？BV1V1驿道砂石地AV2C- 1 -【模型建立】【模型建立】如图，一动点P 在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线MN 上运动的速度为V2，且V1 1如图，平行四边形 ABCD 中，DAB=60，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则PB小值等于_3PD的最2C- 3 -DPCAB例题例题 2.2. 如图，AC 是圆 O 的直径，AC4，弧 BA120，点 D 是弦 AB 上的一个动点，那么 OD+BD 的最小值为（）A变

3、式练习变式练习 2 如图， ABC 中， BAC30且 ABAC， P 是底边上的高 AH 上一点 若 AP+BP+CP 的最小值为 2则 BC，BCD- 4 -例题例题 3.3. 等边三角形 ABC 的边长为 6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC 边在 x 轴上，BC边的高 OA 在 Y 轴上一只电子虫从 A 出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GC 到达 C 点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在 GC 上运动速度的 2 倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G 的坐标为变式练习变式练习 3如图，ABC 在直角坐标系中，ABAC，A（0，2），C（1，0），D 为射线 AO 上

4、一点，一动点 P从 A 出发， 运动路径为 ADC， 点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的 3 倍， 要使整个运动时间最少，- 5 -则点 D 的坐标应为（）A（0，例题例题 4. 4. 直线 y与抛物线 y（x3）24m+3 交于 A，B 两点（其中点 A 在点 B 的左侧），与抛物线）B（0，）C（0，）D（0，）的对称轴交于点 C，抛物线的顶点为 D（点 D 在点 C 的下方），设点 B 的横坐标为 t（1）求点 C 的坐标及线段 CD 的长（用含 m 的式子表示）；（2）直接用含 t 的式子表示 m 与 t 之间的关系式（不需写出t 的取值范围）；（3）若 CDCB求点 B

5、的坐标；在抛物线的对称轴上找一点F，使 BF+CF 的值最小，则满足条件的点 F 的坐标是- 6 -变式练习变式练习 4如图 1，在平面直角坐标系中将y2x+1 向下平移 3 个单位长度得到直线l1，直线 l1与 x 轴交于点 C；直线 l2：yx+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，且与直线 l1交于点 D（1）填空：点 A 的坐标为，点 B 的坐标为；（2）直线 l1的表达式为；（3）在直线 l1上是否存在点 E，使S AOE2S ABO？若存在，则求出点E 的坐标；若不存在， 说明理由（4）如图 2，点 P 为线段 AD 上一点（不含端点），连接CP，一动点 H 从 C 出发，沿线

6、段 CP 以每秒1 个单位的速度运动到点P，再沿线段PD 以每秒个单位的速度运动到点 D 后停止，求点H 在整个运动过程中所用时间最少时点P 的坐标- 7 -例题例题 5. 5. 已知抛物线 ya（x+3）（x1）（a0 ），与 x 轴从左至右依次相交于A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，经过点 A 的直线 yx+b 与抛物线的另一个交点为D（1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上的一点（不含端点），连接BE一动点 Q 从点

7、 B 出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点E，再沿线段 ED 以每秒止，问当点 E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？个单位的速度运动到点D 后停- 8 -变式练习变式练习 5如图，已知抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于点 A（2，0）、B（8，0），交 y 轴于点 C，过点 A、B、C 三点的M 与 y 轴的另一个交点为 D（1）求此抛物线的表达式及圆心M 的坐标；（2）设 P 为弧 BC 上任意一点（不与点B，C 重合），连接 AP 交 y 轴于点 N，请问：AP AN 是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段 BD 交抛物线

8、于点 E，设点 F 是线段 BE 上的任意一点（不含端点），连接AF动点 Q从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到点F，再沿线段 FB 以每秒个单位的速度运动到点 B 后停止，问当点 F 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？- 9 -达标检测达标检测领悟提升领悟提升强化落实强化落实1. 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A 3, 3，点 P 为 x 轴上的一个动点，当AP 标为_.1OP最小时，点 P 的坐22. 2. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且ABC=60，点 M 为对角线 BD（不含点 B）上的一动点，则AM 1BM的最小值为_.2

9、3. 3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（0，0），其对称轴与 x 轴交于点 D），C（2，- 10 -（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点 M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，求点 M 的坐标；（3）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD 的最小值4. 4. 【问题提出】如图，已知海岛A 到海岸公路 BD 距离为 AB 的长度，C 为公路 BD 上的酒店，从海岛A到酒店 C， 先乘船到登陆点 D， 船速为 a， 再乘汽车， 车速为船速的 n 倍， 点

10、 D 选在何处时， 所用时间最短？【特例分析】 若 n2， 则时间 t+， 当 a 为定值时， 问题转化为： 在 BC 上确定一点 D， 使得+的值最小如图，过点 C 做射线 CM，使得BCM30（1）过点D 作 DECM，垂足为E，试说明：DE；（2）请在图中画出所用时间最短的登陆点D【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图，抛物线 yx2+x+3 与 x 轴分别交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，E 为OB 中点，设F 为线段 BC 上一点（不含端点），连接EF一动点P

11、 从 E 出发，沿线段EF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F， 再沿着线段 FC 以每秒个单位的速度运动到C 后停止 若点 P 在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F 的坐标- 11 -5. 5. 如图， ABC 是等边三角形（1）如图 1，AHBC 于 H，点 P 从 A 点出发，沿高线 AH 向下移动，以 CP 为边在 CP 的下方作等边三角形 CPQ，连接 BQ求CBQ 的度数；（2）如图2，若点D 为 ABC 内任意一点，连接DA，DB，DC证明：以DA，DB，DC 为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P 点的移动过程中，设xAP+2PC，点 Q 的运动路

12、径长度为 y，当 x 取最小值时，写出 x，y 的关系，并说明理由- 12 -6. 6. 如图，已知抛物线y（x+2）（x4）（k 为常数，且k0）与x 轴从左至右依次交于A，B 两点，与y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 yx+b 与抛物线的另一交点为D（1）若点 D 的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 k 的值；（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的

13、速度运动到D 后停止，当点 F的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？- 13 -7. 7. 已如二次函数 yx2+2x+3 的图象和 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，（1）如图1，P 是直线 BC 上方抛物线上一动点（不与B、C 重合）过P 作 PQx 轴交直线 BC 于 Q，求线段 PQ 的最大值；（2）如图 2，点 G 为线段 OC 上一动点，求 BG+CG 的最小值及此时点G 的坐标；（3）如图 3，在（2）的条件下，M 为直线 BG 上一动点，N 为 x 轴上一动点，连接 AM，MN，求 AM+MN的最小值8. 8. 如图，在 RtA

14、BC 中，ACB90，B30，AB4，点 D、F 分别是边 AB，BC 上的动点，连接 CD，- 14 -过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E，垂足为 G，连接 GF，则 GF+FB 的最小值是（）A9. 9. 抛物线y 622 3x x 6与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边），与y 轴交于点 C点 P 是直63BCD线 AC 上方抛物线上一点，PFx 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于点 E；将线段 OB 沿 x 轴左右平移，线段1OB 的对应线段是 O1B1，当PE EC的值最大时，求四边形 PO1B1C 周长的最小值，并求出对应的点 O12的坐标yPEA FCO1B1O Bx- 15 -