计数原理(1).ppt

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1、数学是锻炼思想的体操。数学是锻炼思想的体操。加里宁加里宁思考下面的问题思考下面的问题:2006 2006年德国世界杯开幕式将于年德国世界杯开幕式将于6 6月月7 7日日在慕尼黑市的阿利安兹竞技场举行；决赛于在慕尼黑市的阿利安兹竞技场举行；决赛于7 7月月7 7日在德国首都柏林奥林匹亚体育场举行。日在德国首都柏林奥林匹亚体育场举行。现有现有3232只队伍参赛只队伍参赛,它们先分成它们先分成8 8个小组进个小组进行循环赛，决出行循环赛，决出1616强，按确定的程序进行淘强，按确定的程序进行淘汰赛产生汰赛产生8 8强后，仍进行淘汰赛产生强后，仍进行淘汰赛产生4 4强，最强，最后决出冠亚军，此外还决出

2、了第三、第四名。后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名。问一共安排了多少场比赛？问一共安排了多少场比赛？从学校地到你家，可以乘火车，也可以乘从学校地到你家，可以乘火车，也可以乘轮船。一天中，火车有轮船。一天中，火车有3班，轮船有班，轮船有2班。那么一班。那么一天中，乘坐这些交通工具从学校到家共有多少种天中，乘坐这些交通工具从学校到家共有多少种不同的走法？不同的走法？提问提问1：现现有有高高中中一一年年级级的的学学生生3 3名名，高高中中二二年年级级的的学学生生5 5名名，高高中中三三年年级级的的学学生生4 4名名。从从中中任任选选1 1人人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？参加接待外宾的

3、活动，有多少种不同的选法？提问提问2 2：提问提问3 3（一般化）：（一般化）：若完成一件事，有若完成一件事，有 类办法。在第类办法。在第1类办法中有类办法中有 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办法中有类办法中有 种不同的方法，种不同的方法，在第，在第 类办法中有类办法中有 种不同的方法，每一类中的种不同的方法，每一类中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事共有多每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事共有多少种不同方法？少种不同方法？特点特点：1、明确题目中所指的、明确题目中所指的“完成一件事完成一件事”是什么事，完成这件是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。

4、事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。2、完成这件事的、完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案的哪类方法是相互独立的，无论哪种方案的哪种方法都可以单独完成这件事。种方法都可以单独完成这件事。3、确立恰当的分类标准，准确地对、确立恰当的分类标准，准确地对“这件事这件事”进行分类，要求进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既是不同的方法，也就是分类时必须既“不重复不重复”也也“不遗漏不遗漏”。从学校到家，要从学校先乘火车到丙地，再于从学校到家，要从学校先乘火车到丙地，再于从丙地选

5、乘汽车到家。一天中，火车有从丙地选乘汽车到家。一天中，火车有3 3班，汽车有班，汽车有2 2班，那么两天中，从学校到家共有多少种不同走法班，那么两天中，从学校到家共有多少种不同走法？提问提问4 4：现现有有高高中中一一年年级级的的学学生生3 3名名，高高中中二二年年级级的的学学生生5 5名名，高高中中三三年年级级的的学学生生4 4名名。分分别别从从这这3 3个个年年级级中中各各选选1 1人人参参加加接接待待外外宾宾的的活活动动，有有多多少少种种不同的选法？不同的选法？提问提问5 5：提问提问6 6（一般化）：（一般化）：若完成一件事，需要分成若完成一件事，需要分成 个步骤。做第个步骤。做第1

6、1步有步有 种不种不同的方法，做第同的方法，做第2 2步有步有 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第 步有步有 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？特点特点：1、完成一件事需要分成若干个步骤，只有每个、完成一件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪能步，这步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪能步，这件事都不可能完成。件事都不可能完成。2、根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，、根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各

7、步骤之间不能重复也不能遗漏。各步之间是连续的步骤之间不能重复也不能遗漏。各步之间是连续的缺一不可。缺一不可。分类计数原理与分步计数原理有什么不同？分类计数原理与分步计数原理有什么不同？分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与分类计数原理与“分类分类”有关，有关，各种方法各种方法相互相互相互相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；独立，用其中任何一种方法都可以完成这件

8、事；分步计数原理与分步计数原理与“分步分步”有关，有关，各个步骤各个步骤相互相互相互相互依存依存依存依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成只有各个步骤都完成了，这件事才算完成只有各个步骤都完成了，这件事才算完成只有各个步骤都完成了，这件事才算完成10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理材料2：某班级有男学生某班级有男学生5人，女学生人，女学生4人。人。(1)从从中中任任选选一一人人去去领领奖奖,有有多多少少种种不不同同的的选选法法？(2)从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？分类时要做到不重

9、不漏分类时要做到不重不漏分步时要做到不缺步分步时要做到不缺步分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理区区区区别别别别一一一一每类办法都能独立地完成每类办法都能独立地完成每类办法都能独立地完成每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一这件事，它是独立的、一这件事，它是独立的、一这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后次的且每次得到的是最后次的且每次得到的是最后次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可结果，只需一种方法就可结果，只需一种方法就可结果，只需一种方法就可完成这件事完成这件事完成这件事完成这

10、件事每一步得到地只是中间结每一步得到地只是中间结每一步得到地只是中间结每一步得到地只是中间结果，任何一步都不能独立果，任何一步都不能独立果，任何一步都不能独立果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一完成这件事，缺少任何一完成这件事，缺少任何一完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只步也不能完成这件事，只步也不能完成这件事，只步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才有各个步骤都完成了，才有各个步骤都完成了，才有各个步骤都完成了，才能完成这件事。能完成这件事。能完成这件事。能完成这件事。区区区区别别别别二二二二各类办法之间是互斥的，各类办法之间是互斥的，各类办法之间是互斥的，各类办法之

11、间是互斥的，并列的、独立的。并列的、独立的。并列的、独立的。并列的、独立的。各步之间是关联的、独立各步之间是关联的、独立各步之间是关联的、独立各步之间是关联的、独立的的的的“关联关联关联关联”确保不遗漏，确保不遗漏，确保不遗漏，确保不遗漏，“独立独立独立独立”确保不重复。确保不重复。确保不重复。确保不重复。两个原理的区别：两个原理的区别：材料3：一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十十个数字组成个数字组成,可以设置多少种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码(各位上的数各位上的数字允许重复字允许重复)？变形变形1：首位数字不为首位数字不为

12、0的密码数是多少种？的密码数是多少种？变形变形2：首位数字是首位数字是0的密码数又是多少种？的密码数又是多少种？变变形形3 3：由由数数字字0，1，2，3，4可可以以组组成成多多少少个个三位数三位数(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)？一般的，一般的，完成一件事有完成一件事有n个步骤，每一步骤的方法个步骤，每一步骤的方法数相同，都数相同，都是是m,则完成这件事共有则完成这件事共有 种不同方法。种不同方法。（牢记：（牢记：步骤数步骤数n是指数！是指数！）mn10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理材料材料4：要要从从甲甲、乙乙、丙丙3 3名名工工人人中中选选出出2

13、2名名分分别别上上白班和晚班，有多少种不同的选法？白班和晚班，有多少种不同的选法？解解：从从3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，可名分别上日班和晚班，可以看成是经过先选以看成是经过先选1名上日班，再选名上日班，再选1名上晚班这名上晚班这两个步骤完成。先选两个步骤完成。先选1名上日班，共有名上日班，共有3种选法；种选法；上日班的工人选定后上日班的工人选定后再再选选1名上晚班，上晚班的名上晚班，上晚班的工人有工人有2种选法，根据分步计数原理种选法，根据分步计数原理,所求的不同所求的不同的选法数是的选法数是 答：有答：有6种不同的选法。种不同的选法。日班日班 晚班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相

14、应的排法相应的排法不同排法如下图所示不同排法如下图所示甲甲 乙乙 甲甲 丙丙乙乙 甲甲 乙乙 丙丙丙丙 甲甲丙丙 乙乙 日班日班 晚班晚班例：例：三边长均为整数，且最大边长为三边长均为整数，且最大边长为11的三的三角形有多少个？角形有多少个？练习：练习：三边长均为整数，且边长为三边长均为整数，且边长为11 边既不边既不是最大边也不是最小边的三角形有多少个？是最大边也不是最小边的三角形有多少个？例：例：已知已知a 3，4，6，b 1，2，7，8，r 8，9则方程则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的可表示不同的圆的个数有多少个个数有多少个？练习：练习：某商业大厦有某商业大厦有8个

15、门供顾客出入，某个门供顾客出入，某顾客从任一门进入，从另一门走出，则不同的走顾客从任一门进入，从另一门走出，则不同的走法种数为法种数为 例例：1、有、有5本书全部借给本书全部借给3名学生，有多少种不名学生，有多少种不同的借法？同的借法？例例：2、有、有3名学生分配到某工厂的名学生分配到某工厂的5个车间去参个车间去参加社会实践，则有多少种不同分配方案？加社会实践，则有多少种不同分配方案？变式训练变式训练：有三项体育运动项目，每个项目均设：有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军一名奖项。冠军和亚军一名奖项。（1）学生甲参加了这一个运动项目，但只获得）学生甲参加了这一个运动项目，但只获得一个奖项

16、，学生甲获奖的不同情况有多少种？一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？（2）有）有4名学生参加了这三个运动会项目，若一名学生参加了这三个运动会项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？的不同情况有多少种？例例：某外语组有：某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的人，每人至少会英语和日语中的一门，其中人会英语，一门，其中人会英语，3人会日语，从中选出会英人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？语和日语的各一人，有多少种不同的选法？变式训练变式训练1：集合：集合A=1，2，-3，B=-1，-2，3，4，现

17、从现从A、B中各取一个元素作为点中各取一个元素作为点P（x，y）的坐标。）的坐标。（1）可以得到多少个不同的点？）可以得到多少个不同的点？（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？）在这些点中，位于第一象限的有几个？变式训练变式训练2：在两条异面直线：在两条异面直线a与与b上分别有上分别有7个点，个点，8个点，经过这个点，经过这15个点可确定多少个不同的面？个点可确定多少个不同的面？练习练习练习练习:1.1.如图如图如图如图,要给地图要给地图要给地图要给地图A A、B B、C C、D D四个区域四个区域四个区域四个区域分别涂上分别涂上分别涂上分别涂上3 3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种

18、种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一允许同一允许同一允许同一种颜色使用多次种颜色使用多次种颜色使用多次种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的但相邻区域必须涂不同的但相邻区域必须涂不同的但相邻区域必须涂不同的颜色颜色颜色颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？解解:按地图按地图A A、B B、C C、D D四个区域依次分四个区域依次分四步完成四步完成,第一步第一步,m,m1 1=3 =3 种种,第二步第二步,m,m2 2=2 =2 种种,第三步第三步,m,m3 3=1 =1 种种,第四步第四步,m,m4 4=1 =1 种

19、种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案得到不同的涂色方案种数共有种数共有 N=3 N=3 2 2 1 11=61=6种。种。10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理3.用用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个8位号码；位号码；用用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个8位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的可以组成多少个无重复数字的4位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个4位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的可以组成多少个无重复数字的4位奇数；位奇数；用用0，1，2，9可以组成多少个有两个重复数字的可以组成多少个有两个重复数字的4位整位整数等等数等等101010101010101010891010101010101091079987453691010109000先定个位，再定千位，最后定百、十位先定个位，再定千位，最后定百、十位58872240整数个数有0无0 987330重复9860不重复339810.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理 两大原理妙无穷两大原理妙无穷,茫茫数理此中求茫茫数理此中求;万万千千说不尽万万千千说不尽,运用解题任驰骋运用解题任驰骋。结束语结束语: