分步计数原理分类计数原理ppt课件.ppt

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1、分步计数原理分步计数原理 分类计数原理分类计数原理 一学生从外面进入教室有多少一学生从外面进入教室有多少种走法？若进来再出去，有多少种走法？若进来再出去，有多少走法？走法？引入课题引入课题要回答上述问题，就要用到计数原理的知识它是一要回答上述问题，就要用到计数原理的知识它是一个重要的数学方法，粗略地说，个重要的数学方法，粗略地说，计数原理计数原理就是研究就是研究按某一规则完成一种事时，一共有多少种不同的做按某一规则完成一种事时，一共有多少种不同的做法法在运用计数原理经常要用到在运用计数原理经常要用到分类加法计数原理分类加法计数原理与与分步乘法计数原理分步乘法计数原理。2010年6月11日7月1

2、0日在南非举行的第19届世界杯足球赛共有个队参赛它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚冠亚军，此外还决出了第三、第四名第三、第四名问一共安排了多少场比赛？问题问题1 1：用一个大写的英文字母或一个阿拉：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？出多少种不同的号码？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？问题问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车乘汽车.如果一天中火车有如果一天中火车有3班，汽

3、车有班，汽车有2班班.那那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？共有多少种不同的走法？分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有类方案中有m种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方类方案中有案中有n种不同的方法种不同的方法. 那么完成这件事那么完成这件事共有共有N=m+n种不同的方法种不同的方法.例例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：所大学各有一些自己感兴趣的强项

4、专业，具体情况如下：A大学大学B大学大学生物学生物学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？变式：变式：若还有若还有C C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学资源学. .那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？分类加法计数原理分类加法计数原理如果完成一件事情有如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如

5、何计数呢？都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：一般归纳：完成一件事情有完成一件事情有n类不同方案，类不同方案，在第在第1类方案中有类方案中有 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方类方案中有案中有 种不同的方法种不同的方法在第在第n类方案中有类方案中有 种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有1m2mnmN= m1+m2+ + mn 种不同的方法种不同的方法例例2、在例、在例1中，如果数学也是中，如果数学也是A大学的强项专业，大学的强项专业，则则A大学共有大学共有6个专业可以选择，个专业可以选择，B大学共有大学共有4个个专业可以选择，那么用分类加法计数

6、原理，得到专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有这名同学可能的专业选择共有 6+4=10种种 这种算法有什么问题？这种算法有什么问题？在分类加法计数原理中，各类方案中的方法不在分类加法计数原理中，各类方案中的方法不能出现相同的。能出现相同的。从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班那么两天中，从甲地到乙地共有多班那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法少种不同的走法 ？ 这个问题与前一个问题不同在前一个问题中，采用这个问

7、题与前一个问题不同在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地才能从甲地到乙地 这里，因为乘火车有这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2种走法，所以种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：326种不同的走法种不同的走法 思考思考？用前用前6 6个大写英文字母和个大写英文字母和1 19 9九个阿拉九个阿拉伯数字，以伯数字，以A A

8、1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？不同的号码？分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事完成一件事需要分二个步骤需要分二个步骤，在第，在第1步步中中有有m种不同的方法，在第种不同的方法，在第2步步中有中有n种不同种不同的方法的方法. 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法.nmN例例3 3：设某班有男生：设某班有男生3030名，女生名，女生2424名名. . 现要现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的

9、选法？赛，共有多少种不同的选法？探究：探究：如果完成一件事情需要如果完成一件事情需要n个步骤，做每个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？数呢？一般归纳一般归纳 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤。做第个步骤。做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法， ，做第做第n步有步有mn种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法，则完成这件事共有 N= m1m2 mn种不同的方法种不同的方法例例4：某区的部分电话号码是某区的部分电话号码是8776,后面后面每个数字来自每个数字来自

10、09这这10个数个数,问可以产生多少个问可以产生多少个不同的电话号码不同的电话号码?练习练习变式：变式： 2 2、如图、如图, ,要给下面要给下面A A、B B、C C、D D四个区域分别涂上四个区域分别涂上5 5种不同种不同颜色中的某一种颜色中的某一种, ,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次, ,但相邻区域必须但相邻区域必须涂不同的颜色涂不同的颜色, ,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？解：分三个步骤：解：分三个步骤：第一步：首位可放第一步：首位可放81=7个数；个数；第二步：十位可放第二步：十位可放6个数；个数；第三步：个位可放第三步：个位可放4个数个数.根据分步计

11、数原理，可以组成根据分步计数原理，可以组成N=764=168个数个数.1、分类加法计数原理、分类加法计数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办法，在类办法，在第第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种种不同的方法不同的方法在第在第n类办法中类办法中有有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那那么完成这件事共有么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法. .12nNmmm2 2、分步乘法计数原理、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步个步骤，做第骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,

12、做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的种不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件那么完成这件事共有事共有 种不同的方法种不同的方法. .12nNmmm分类加法计数原理和分步乘法计数原理的分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点：共同点：不同点：不同点：分类加法计数原理与分类有关，分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关。分步乘法计数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题分类计数原理分类计数原理 分步计数原理分步计数原理完成一件事，共有完成一件事，共有n类类办法

13、，关键词办法，关键词“分类分类”区别区别1完成一件事，共分完成一件事，共分n个个步骤，关键词步骤，关键词“分步分步”区别区别2区别区别3每类办法都能独立地完成每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是一次的、且每次得到的是最后结果，最后结果，只须一种方法只须一种方法就可完成这件事就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成事，缺少任何一步也不能完成这件事，这件事，只有各个步骤都完成只有各个步骤都完成了，才能完成这件事了，才能完成这件事。各类办法是互

14、相独立的。各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。各步之间是互相关联的。即：即：类类独立，步步关联类类独立，步步关联。例例4、 书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同的本不同的体育杂志体育杂志.(2)从书架的第从书架的第1、 2、 3层各取层各取1本书本书,有多少种有多少种 不同取法不同取法?(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多有多少种不同的取法少种不同的取法?（3）从书架上任取）从书架上任取2种不同类型的书各种不同类型的书各1本，本，有多少种不同的取法？有多少种不同的取法？

15、注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类分类”“”“分步分步”可以解决的，而要将可以解决的，而要将“分类分类”“”“分步分步”结合起来运用一般结合起来运用一般是先是先“分类分类”，然后再在每一类中，然后再在每一类中“分步分步”，综合应用分类，综合应用分类计数原理和分步计数原理计数原理和分步计数原理 例例5、要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2幅，幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？少种不同的挂法？例例6. (a1a2)(b1b2b3)(c1c2c3c4)的展开式中有

16、的展开式中有_项项.解解析析要得到项数分三步：要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有两种取法；第一步，从第一个因式中取一个因子，有两种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法种取法.由分步乘法计数原理知，共有由分步乘法计数原理知，共有23424(项项).例例7.由由0,1,2,3，4,5这这五五个数字，可组成多少个：个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？无重复数字的三位数？其中能被其中能被5整除共有几个？整除共有几个？(2)可以有重复

17、数字的三位数？可以有重复数字的三位数？跟踪训练跟踪训练 1用用0,1，9这十个数字，可以组成多这十个数字，可以组成多少个：少个：(1)三位整数？三位整数？(2)无重复数字的三位整数？无重复数字的三位整数？(3)小于小于500的无重复数字的三位整数？的无重复数字的三位整数？ 巩固练习巩固练习 1.1.填空：填空：一件工作可以用一件工作可以用2 2种方法完成，有种方法完成，有5 5人会用第人会用第1 1种方法完种方法完成，另有成，另有4 4人会用第人会用第2 2种方法完成，从中选出种方法完成，从中选出1 1人来完成这件人来完成这件工作，不同选法的种数是工作，不同选法的种数是 . .从从A A村去村

18、去B B村的道路有村的道路有3 3条，从条，从B B村去村去C C村的道路有村的道路有2 2条，从条，从A A村经村经B B村去村去C C村，不同的路线有村，不同的路线有 条条. .2. 2. 现有高中一年级的学生现有高中一年级的学生3 3名，高中二年级的学生名，高中二年级的学生5 5名，名，高中三年级的学生高中三年级的学生4 4名名. .从中任选从中任选1 1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？法？从从3 3个年级的学生中各选个年级的学生中各选1 1人参加接待外宾的活动，有多人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？少种不同的选法？3.3.从甲地到

19、乙地有从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有种走法，从乙地到丙地有4种走种走法，从甲地不经过乙地到丙地有法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有到丙地的不同的走法共有 种种.4.4.甲、乙、丙甲、乙、丙3 3个班各有三好学生个班各有三好学生3 3，5 5，2 2名，现准备名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有表大会，共有 种不同的推选方法种不同的推选方法.小结：小结： 分类加法计数原理与分步乘法计数原理体现了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导我们下面学的排列数与组合数计算公式的依据，它不仅是推导我们下面学的排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意“类类”间互相独立，间互相独立，“步步”间互相联系间互相联系