2019高中数学 第二章2.3.1 平面向量基本定理检测 新人教A版必修4.doc

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1、1第二章第二章 2.32.3 2.3.12.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理A 级 基础巩固一、选择题1e e1、e e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是( B )Ae e1e e2和e e1e e2 B3e e12e e2和 4e e26e e1Ce e12e e2和e e22e e1 De e2和e e1e e2解析 3e e12e e2与 4e e26e e1是共线向量，不能作为一组基底2若k1a ak2b b0，则k1k20，那么下列对a a、b b的判断正确的是( B )Aa a与b b一定共线 Ba a与b b一定不共线Ca a与b b一

2、定垂直 Da a与b b中至少一个为 0解析 由平面向量基本定理知，当a a，b b不共线时，k1k20.故选 B3在ABC中，已知D是AB边上一点，若 2，则等于( A )ADDBCD2 3CACBA B1 31 3C D2 32 3解析 方法一 由平面向量的三角形法则可知 ()CDCAADCA1 3ABCA1 3CBCA，所以 2 3CA1 3CB1 3方法二 因为A，B，D三点共线，所以 1，所以 CD2 3CACB2 31 34(2018湖南长沙市中学期末)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则( A )EBA B3 4AB1 4AC1 4AB3 4ACC D3 4AB1

3、 4AC1 4AB3 4AC解析 ()EBAEAB1 2ADAB1 21 2ABACAB3 4AB1 4AC5已知|a a|1，|b b|2，c ca ab b，c ca a，则a a与b b的夹角大小为( D )A B 65 62C D 32 3解析 如图，c ca ab b，c ca a，a a、b b、c c的模构成一个直角三角形，且，所以可推知a a与b b的夹角为.故 62 3选 D6如果e e1、e e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( C )A已知实数1、2，则向量1e e12e e2不一定在平面内B对平面内任一向量a a，使a a1e e12e e2的实数1

4、，2可以不唯一C若有实数1、2使1e e12e e2，则120D对平面内任一向量a a，使a a1e e12e e2的实数1、2不一定存在解析 选项 A 中，由平面向量基本定理知1e e12e e2与e e1、e e2共面，所以 A 项不正确；选项 B 中，实数1、2有且仅有一对，所以 B 项不正确；选项 D 中，实数1、2一定存在，所以 D 项不正确；很明显 C 项正确二、填空题7如图，平行四边形ABCD中，a a，b b，M是DC的中点，以a a、b b为基底表示ABAD向量 b ba a AM1 2解析 b ba aAMADDMAD1 2DCAD1 2AB1 28已知向量e e1，e e

5、2不共线，实数x，y满足(2xy)e e1(3x2y)e e20，则xy_0_解析 e e1，e e2不共线，Error!，解得Error!，xy0三、解答题9如图所示，D是BC边的一个四等分点试用基底、表示ABACAD3解析 D是BC边的四等分点， ()，BD1 4BC1 4ACAB ()ADABBDAB1 4ACAB3 4AB1 4AC10如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点若a a，b b，试以a a、b b为基底表示、 ABADDEBF解析 四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，2，2，ADBCBECDBACFb b，BE1 2

6、AD1 2a aCF1 2CD1 2BA1 2AB1 2DEDAABBEADABBEb ba ab ba ab b，1 21 2b ba aBFBCCFADCF1 2B 级 素养提升一、选择题1如果e e1，e e2是平面内所有向量的一组基底，那么( A )A若实数m、n使得me e1ne e20，则mn0B空间任一向量a a可以表示为a a1e e12e e2，其中1，2为实数C对于实数m、n，me e1ne e2不一定在此平面上D对于平面内的某一向量a a，存在两对以上的实数，m，n，使a ame e1ne e2解析 选项 B 中应为“平面内任一向量” ，C 中me e1ne e2一定在此

7、平面上，选项 D 中，m，n应是唯一的，只有 A 正确2设非零向量a a、b b、c c满足|a a|b b|c c|，a ab bc c，则a a与b b的夹角为( B )A150 B120C60 D30解析 |a a|b b|c c|0，且a ab bc c，4如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，OBC和OAC都是等边三角形a a与b b的夹角为 1203设D为ABC所在平面内一点，3，则( A )BCCDA BAD1 3AB4 3ACAD1 3AB4 3ACC DAD4 3AB1 3ACAD4 3AB1 3AC解析 由题意得，故选 AADACCDAC1 3BCAC1 3A

8、C1 3AB1 3AB4 3AC4若a a，b b，则( D )OP1OP2P1PPP2OPAa ab b Ba ab bCa a(1)b b Da ab b 1解析 ，P1PPP2()，OPOP1OP2OP(1)，OPOP2OP1OPb ba a 1二、填空题5向量a a与b b的夹角为 25，则 2a a与b b的夹角_155_3 2解析 作a a，b b，则AOB25，如图所示OAOB延长OA到C，使OAAC，则2a aOC延长BO到D，使ODBO，则b b3 2OD3 2则DOA，又DOAAOB180，则DOA18025155，则1556已知e e1、e e2是两个不共线的向量，a a

9、2e e1e e2，b bke e1e e2，若a a与b b是共线向量，5则实数k_2_解析 a ab b，则 2e e1e e2(ke e1e e2)又e e1、e e2不共线Error!解得：Error!三、解答题7已知e e1，e e2是平面内两个不共线的向量，a a3e e12e e2，b b2e e1e e2，c c2e e13e e2， ，试用a a，b b表示c c解析 设c cxa ayb b，则 2e e13e e2x(3e e12e e2)y(2e e1e e2)，即(3x2y)e e1(y2x)e e22e e13e e2又e e1，e e2是平面内两个不共线的向量，所

10、以Error!解得Error!所以c c4a a5b b8在梯形ABCD中，ABCD，M、N分别是、的中点，且k(k1)设DABCDC ABe e1，e e2，选择基底e e1，e e2，试写出下列向量在此基底下的分解式、 、 ADABDCBCMN解析 如图所示，e e2，且k，ABDC ABkke e2，DCAB又0，ABBCCDDABCABCDDAABDCADe e2ke e2e e1e e1(k1)e e2而0，MNNBBAAMMNNBBAAMBNABAMe e21 2BC1 2AD e e1(k1)e e2e e2e e1e e21 21 2k1 2C 级 能力拔高如图，点L、M、M分别为ABC的边BC、CA、AB上的点，且l，m，n，BL BCCM CAAN AB6若0ALBMCN求证：lmn证明 令a a，b b，c c，ABBCCA则由l得，lb；BL BCBL由m得mc c；CM CACM由n得na aAN ABAN0，ALBMCN()()()0ABBLBCCMCAAN即(a alb b)(b bmc c)(c cna a)0，(1n)a a(1l)b b(1m)c c0又a ab bc c0，a ab bc c，(1n)(b bc c)(1l)b b(1m)c c0，即(ln)b b(mn)c c0b b与c c不共线，ln0 且mn0，ln且mn，即 lmn