2019高中数学 第二章2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理学案4.doc

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1、12.3.12.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角(易混点)自 主 预 习探 新 知1平面向量基本定理条件e e1，e e2是同一平面内的两个不共线的向量结论对于这一平面内的任意向量a a，有且只有一对实数1，2，使a a1e e12e e2基底不共线的向量e e1，e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考：(1)0 0 能与另外一个向量a a构成基底吗？(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示 (1)不

2、能基向量是不共线的，而 0 0 与任意向量是共线的(2)不是平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示2向量的夹角条件两个非零向量a a和b b产生过程作向量a a，b b，则AOB叫做向量a a与b b的夹角OAOB范围0，0a a与b b同向90a a与b b垂直，记作a ab b特殊情况 180a a与b b反向基础自测1思考辨析(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底( )(2)若e e1，e e2是同一平面内两个不共线向量，则1e e12e e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量( )(3)若ae

3、 e1be e2ce e1de e2(a，b，c，dR R)，则ac，bd.( )解析 (1)错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向2量的基底(2)正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e e1，e e2线性表示(3)错误当e e1与e e2共线时，结论不一定成立答案 (1) (2) (3)2若ABC是等边三角形，则与的夹角的大小为_ABBC120 由向量夹角的定义知与的夹角与B互补，大小为 120.ABBC3如图 231 所示，向量可用向量e e1，e e2表示为_OA图 2314e e13e e2 由图可知，4e e13e e2.OA合 作 探 究攻

4、 重 难用基底表示向量(1)D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB上的中点，且a a，b b，给出BCCA下列结论：a ab b；a ab b；AD1 2BE1 2a ab b；a a.CF1 21 2EF1 2其中正确的结论的序号为_(2)如图 232，已知梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a a，b b，试用a a，b b表示， ，.ADABDCEFFC图 232思路探究 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则(1) (1)如图，b bb ba a，正ADACCD1 2CB1 23确；a ab b，正确；BEBCCE

5、1 2b ba a，b b (b ba a)ABACCBCFCA1 2AB1 2b ba a，正确；1 21 2a a，不正确EF1 2CB1 2(2)因为DCAB，AB2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以a a，b b.FCADDCAF1 2AB1 2EFEDDAAF1 2DCAD1 2AB b ba ab bb ba a.1 21 21 21 4规律方法 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘向量的几何意义(2)模型：跟踪训练1在ABC中，EFBC，EF交AC于F，设a a，b b，则等于( ) AE1 5AB

6、ABACBF图 233Aa ab b Ba ab b1 51 54Ca ab b Da ab b2 31 31 32 3A A ，.AE1 5ABBE4 5AB又EFBC， ()，EF1 5BC1 5ACAB ()BFBEEF4 5AB1 5ACABa ab b.1 5ACAB1 5向量的夹角(1)已知向量a a，b b，c c满足|a|a|1 1，|b|b|2 2，c ca ab b，caca，则a a，b b的夹角等于_(2)若a0a0，b0b0，且|a|a|b|b|a|ab|b|，求a a与a ab b的夹角. 思路探究 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决(1)120 作

7、a a，b b，则c ca ab b(如图所示)，BCCABA则a a，b b夹角为 180C.|a|a|1 1，|b|b|2 2，caca，C60，a a，b b的夹角为 120.(2)解 由向量运算的几何意义知a ab b，a ab b是以a a，b b为邻边的平行四边形两条对角线如图，|a a|b b|a ab b|，BOA60.又a ab b，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA，OCa a与a ab b的夹角是 30.规律方法 两向量夹角的实质与求解方法：1两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.2求解方法：利用平移的方法使两

8、个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.跟踪训练2在ABC中，若A120，ABAC，则与夹角的大小为_ABBC5150 如图所示，因为A120，ABAC，所以B30，所以与的夹角为 180B150.ABBC平面向量基本定理的唯一性及其应用探究问题若存在实数1，2，1，2及不共线的向量e e1，e e2，使向量a a1e e12e e2，a a1e e12e e2，则1，2，1，2有怎样的大小关系？提示：由题意1e e12e e21e e12e e2，即(11)e e1(22)e e2，由于e e

9、1，e e2不共线，故11，22.如图 234 所示，在OAB中，a a，b b，点M是AB上靠近B的一个三OAOB等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求. OP图 234思路探究 可利用t及s两种形式来表示，并都转化为OPOMOPONNPONNBOP以a a，b b为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而得.OP解 AOMOAMOA2 3AB ()a ab b.OA2 3OBOA1 32 3因为与共线，OPOM故可设ta ab b.OPOMt 32t 3又与共线，可设s，ss() (1s)a asb b，NPNBNPNBOPONNB3 4OAOB

10、ON3 4所以Error!解得Error!所以a ab b.OP3 103 5母题探究：1.将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点” ， “点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点” ，求BPPN的值6图 235解 a ab b，BNONOB1 2 ()a ab b，OMOAAMOA1 3ABOA1 3OBOA2 3OA1 3OB2 31 3因为O，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数，使a ab b，BPBN 2a ab b，OPOM2 3 3所以a ab b，OBOPPBOPBP(2 32)( 3)又b b，所以Error!解得Err

11、or!OB所以，即BPPN41.BP4 5BN2将本例中点M，N的位置改为“，N为OA中点” ，其他条件不变，试用OM1 2MBa a，b b表示.OP图 236解 b ba a，AMOMOA1 3OBOA1 3a ab b，BNONOB1 2OAOB1 2因为A，P，M三点共线，所以存在实数使得b ba a，APAM 3所以(1)a ab b.OPOAAP 3因为B，P，N三点共线，所以存在实数使得a ab b，BPBN 2所以a a(1)b b.OPOBBP 27即Error!解得Error!所以a ab b.OP2 51 5规律方法 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一

12、向量a a和同一平面内两个不共线向量e e1，e e2条件二a a1e e11e e2且a a2e e12e e2结论Error!2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e e1，e e2的线性组合1e e12e e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解当 堂 达 标固 双 基1已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A.， B.，ABDCADBCC.， D.，BCCBABDAD D

13、由于，不共线，所以是一组基底ABDA2已知ABCD中DAB30，则与的夹角为( )ADCDA30 B60C120D150D D 与的夹角与DAB互补，其大小为 18030150.ADCD3设D为ABC所在平面内一点，若3，则( )BCCDA.AD1 3AB4 3ACB.AD1 3AB4 3ACC.AD4 3AB1 3ACD.AD4 3AB1 3ACA A 因为3，BCCD所以3()33，ACABADACADAC8所以 34，ADACAB所以.AD4 3AC1 3AB1 3AB4 3AC4已知向量a a，b b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a a(2x3y)b b6a a3b b，则xy的值为_3 3 因为a a，b b是一组基底，所以a a与b b不共线，因为(3x4y)a a(2x3y)b b6a a3b b，所以Error!解得Error!所以xy3.5已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a a，b b，用ABACa a，b b表示， ，. ADAEAF图 237解 ADABBDAB1 2BCa a (b ba a)a ab b；1 21 21 2a a (b ba a)a ab b；AEABBEAB1 3BC1 32 31 3a (ba) a b.AFABBFAB23BC231323