2019高中数学 第二章 平面向量 第三讲 向量的坐标表示1 平面向量基本定理学案 苏教版必修1.doc

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1、1平面向量基本定理平面向量基本定理一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明平面向量基本定理1. 了解平面向量基本定理及其意义；2. 了解基底的含义；3. 会用任意一组基底表示指定的向量；4. 能应用平面向量基本定理解决一些实际问题选择填空平面向量基本定理体现了平面内向量的“统一”思想，是向量坐标表示的基础，注意认真掌握二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：平面向量基本定理及其意义；难点：难点：平面向量基本定理的应用。考点一：基底的概念考点一：基底的概念基底：基底：不共线不共线的向量e e1，e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底。【要点诠释要点诠释】1. 对基底的理解基底的特

2、征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线不共线向量；基底的选择是不唯一不唯一的，平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件。2. 零向量与任意向量共线，故不能作为基底。考点二：平面向量基本定理考点二：平面向量基本定理定理：如果e e1，e e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一任一向量a a，有且只有一对实数1，2，使a a1e e1 12e e2 2。其中当e e1 1，e e2 2所在直线互相垂直垂直时，这种分解也称为向量a a的正交分解。【难点剖析难点剖析】准确理解平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解向量的分解，即平面

3、内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一唯一的。（2）平面向量基本定理中，实数1、2的唯一性是相对于基底e e1，e e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一唯一的。（3）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个向量之间的关系是：其中任意一个向量都可以作为其他两个不共线的向量的线性组合。【核心突破核心突破】关于基底的一个结论 设设e e1 1，e e2 2是平面内的一组基底，当是平面内的一组基底，当11e22e0 0 时，恒有时，恒有120。2注意：注意：这个结论很有用，可以实

4、现向量向代数值的转化。这个结论很有用，可以实现向量向代数值的转化。【随堂练习随堂练习】已知向量e e1，e e2不共线，实数x，y满足（3x4y）e e1（2x3y）e e26e e13e e2，则xy的值为_。 思路分析：思路分析：利用结论：“若e1，e2是平面内的一组基底，当11e22e0 0 时，恒有120”解决。答案：答案：3（3x4y）e e1（2x3y）e e26e e13e e2，且e e1，e e2不共线， , 332, 643 yxyx解得 , 3, 6 yxxy633。技巧点拨：技巧点拨：向量是数形结合的知识交汇，注意掌握从向量向代数转化的这个重要结论： “设设e e1 1

5、，e e2 2是平面内的一组基底，当是平面内的一组基底，当11e22e0 0 时，恒有时，恒有120。 ”例题例题 1 1 （用基底表示向量）（用基底表示向量）如图所示，以向量OAa a，OBb b为邻边作AOBD，又BCBM31，CNCD31，用a a，b b表示OM，ON，MN。思路分析：思路分析：OMONMNCNOCONBMOBOM,，再将各量转化为OA，OB。答案：答案：OBOABAa ab b，BCOBBMOBOM3161 61BAOBa a65b b，又ODa ab b，ODODCNOCON61 2132 32ODa a32b b，OMONMN32a a32b b61a a65b

6、b21a a61b b。技巧点拨：技巧点拨：1. 若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系。32. 若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解。例题例题 2 2 （平面向量基本定理的应用）（平面向量基本定理的应用）如图，已知在OAB中，延长BA到C，使ABAC，D是将OB分成 21 的一个分点（靠近B点） ，DC和OA交于点E，设OAa a，OBb b，（1）用a a，b b表示向量OC，DC；（2）若OAOE，求实数的值。思路分析：思路分析：（1）由题意可知

7、A是BC的中点，利用平行四边形法则求OC，利用三角形法则求DC；（2）利用C，D，E三点共线，结合共线向量定理求解。答案：答案：（1）A为BC中点，OCOCOBOA),(212a ab b；OBOCODOCDC322a ab b32b b2a a35b b，（2）设OAOE，则OCOAOCOECEa a2a ab b（2）a ab b，CE与CD共线，存在实数m，使得CDmCE ，即（2）a ab bm（2a a35b b） ，即（2m2）a a（135m）b b0，a a，b b不共线且为非零向量， , 0351, 022mm解得54。技巧点拨：技巧点拨：1. 此类问题要结合图形条件与所求证

8、的问题，寻求解题思路。本题充分利用三点共线，即共线向量定理，共面向量定理，建立方程组求解，同时要恰当选择基底简化运算。2. 应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法是：先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题。4【例证例证】用向量法证明三角形的三条中线交于同一点。思路分析：思路分析：令ABC的中线AD与中线BE交于点G1，中线AD与CF交于点G2，利用向量说明G1与G2重合，证得三条中线交于一点。答案：答案：如图，AD，BE，CF是ABC的三条中线。令ACa a，BCb b，则BCACCACBABa ab b，ACAD CDa a21b b，CEBCBE21a ab b，令AD与BE交于点G1，并假设ADAG1，BEBG1，则有1AGa a2b b，21BGa ab b，1AG1BGAB （12）a a（1）b b， , 12,21由此可得32，ADAG321，再令AD与CF相交于G2，同样的方法可得322AGAD，G1与G2重合，即AD，BE，CF相交于同一点，三角形三条中线交于一点。 技巧点拨：技巧点拨：向量方法证明三线共点的思路思路为：设三条直线 l1，l2，l3中 l1与 l2的交点为 G1，l2与 l3的交点为 G2，在图形中选择两个简单的不共线的向量作为基底，证明共起点的向量表示唯一，如证21AGAG ，则得 G1，G2重合。