概率统计总复习 (1)(精品).ppt

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1、地点地点理学院理学院A座座309下午晚上下午晚上期末答疑安排期末答疑安排6月月1717日日6月月1919日日全天全天概率统计基础概率统计基础 复习复习各各 章章 比比 重重第第一一章章(20)第第二二章章(15)第第三三章章(30)第第四四章章(10)第第五五章章(5)第第六六章章(5)第第七七章章(15)概率概率(80)统计统计(20)题题 型型 题题 量量选择题选择题(5)填空题填空题(5)计算题计算题(56)证明题证明题(01)各各 章章 要要 点点第第一一章章1.概率性质概率性质古典概率古典概率2.条件概率条件概率乘法公式乘法公式全全、贝公式贝公式3.事件独立性事件独立性第第二二章章1

2、.分布律分布函数定义性质分布律分布函数定义性质2.七个常用分布七个常用分布3.随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布例例1(1)在古典概型的随机试验中,()(2)若事件 A,B,C,D 相互独立,则与也相互独立.()事件q 若事件 A1,A2,An 相互独立,将它 们任意分成 k 组,同一事件不能同时 属于两个不同的组,则对每组事件进 行求和、积、差、逆 等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.(3)若事件 A 与 B独立,B 与 C独立,则事件 A与 C 也相互独立.()q 事件相互独立不具有传递性.例例2对任意事件对任意事件A,B下列结论正确的是下列结论正确的是()(a)(b)(c)(d

3、)解解选选b.d,c 显然错显然错,可证可证 b 是对的是对的.b例例3 3 小王忘了朋友家电话号码的最后一位小王忘了朋友家电话号码的最后一位数数,故只能随意拨最后一个号故只能随意拨最后一个号,则他拨三次则他拨三次由乘法公式由乘法公式设事件设事件表示表示“三次拨号至少一次拨通三次拨号至少一次拨通”表示表示“第第i次拨通次拨通”则解解可拨通朋友家的概率为可拨通朋友家的概率为0.3例例4 4 小王忘了朋友家电话号码的最后一位小王忘了朋友家电话号码的最后一位数数,他只能随意拨最后一个号他只能随意拨最后一个号,他连拨三次，他连拨三次，由乘法公式设表示“第 i 次拨通”解一求第三次才拨通的概率求第三次才

4、拨通的概率.解二从题目叙述看要求的是无条件概率从题目叙述看要求的是无条件概率.产生误解的原因是未能仔细读题，产生误解的原因是未能仔细读题，未能分清条件概率与无条件概率的区别未能分清条件概率与无条件概率的区别.本题若改叙为：本题若改叙为：他连拨三次，已他连拨三次，已知前两次都未拨通知前两次都未拨通,求第三次拨通的概率求第三次拨通的概率.此时，求的才是条件概率此时，求的才是条件概率.例例5 510件产品中有件产品中有3件次品件次品,从中任取从中任取2件件.在所取在所取2件中有一件是次品的条件下件中有一件是次品的条件下,求求另一件也是次品的概率另一件也是次品的概率.解解1 1设事件设事件表示表示“所

5、取所取2件中有一件次品件中有一件次品”事件事件表示表示“另一件也是次品另一件也是次品”.则则解解2 2“所取所取2件中至少有一件次品件中至少有一件次品”“2件都是次品件都是次品”某厂卡车运送防某厂卡车运送防“非典非典”用品下乡，用品下乡，顶层装顶层装10个纸箱，其中个纸箱，其中5箱民用口罩、箱民用口罩、2箱医用口罩、箱医用口罩、3箱消毒棉花箱消毒棉花.到目的地时到目的地时发现丢失发现丢失1箱，不知丢失哪一箱箱，不知丢失哪一箱.现从剩现从剩下下9箱中任意打开箱中任意打开2箱，结果都是民用口箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.例例6 6表表示示事

6、事件件“丢丢失失的的一一箱箱为为 k”表示事件表示事件“任取任取2箱都是民用口罩箱都是民用口罩”解解分别表示民用口罩，医用分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花口罩，消毒棉花.由全概率公式由全概率公式由贝叶斯公式由贝叶斯公式解二解二（缩减样本空间法）（缩减样本空间法）去掉去掉打开的打开的2箱民用口罩，箱民用口罩，解二比解一简单十倍！解二比解一简单十倍！基本事件总数基本事件总数有利的基本事件数有利的基本事件数例例7 7(1)是是的密度函数的密度函数则则.()(2)若若,则则()事实上由事实上由2.4得得 非均匀分布函数非均匀分布函数(3)若若,则则()内任一子区间上取值的条件概率内任一子区间上取值

7、的条件概率例例8 8设随机变量设随机变量的绝对值不大于的绝对值不大于1；在事件在事件出现的条件下，出现的条件下，与该子区间的长度成正比与该子区间的长度成正比.(1)(1)的分布函数的分布函数 (2)(2)取负值的概率取负值的概率 解解(1)(1)(2)(2)在在试求试求的三性质都不满足的三性质都不满足单调减单调减右不连续右不连续未定义未定义分布函数分布函数 三性质三性质的单调不减的单调不减 右连续右连续解解当当当当推导较复杂先做准备工作推导较复杂先做准备工作.由题设知由题设知设设于是于是当当(1)(1)上式中令上式中令得得还可另还可另法求法求k又又于是当于是当时，时，(2)(2)由题设由题设得

8、得附附k 的另一求法的另一求法落入区间落入区间(1,3)的概率最大的概率最大.例例9 9 设设当当时时,令令解解第第三三章章2.边缘分布边缘分布条件分布条件分布3.随机变量的独立性随机变量的独立性第第四四章章1.期望期望方差定义方差定义性质性质2.相关系数相关系数相关性相关性3.期望的应用期望的应用1.联合分布律联合分布律分布函数定义性质分布函数定义性质4.随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布例例1010设设独立同分布独立同分布,且已知且已知求行列式求行列式的概率分布的概率分布.解解令令则则独立同分布独立同分布,可能取值为则可能取值为则练练4设设i.i.d.几何分布几何分布求求的概率分布的

9、概率分布.答案答案具具体体推推导导 设A,B 为随机试验 E 的两个事件，0P(A)1,0P(B)1,例例 证明证明:若若 XY=0,则随机变量则随机变量X,Y 相互独立相互独立.证证由由 XY=0而而令令错误原因错误原因而这并不表明而这并不表明X,Y 相互独立相互独立.？事件事件A,B 相互独立相互独立X,Y 相互独立相互独立.X Y pij 1 0 10p1 p2p3 p4 pip1+p3 p2+p4p jp1+p2p3+p4即本题要本题要证明离散证明离散随机变量随机变量X,Y 相互相互独立独立,必需证明如下四个等式都成立：必需证明如下四个等式都成立：正确证明正确证明由题设得由题设得(X,

10、Y)的联合分布：的联合分布：由由同理可证同理可证:故故X,Y 相互独立相互独立.由于事件由于事件A,B 相互独立相互独立,必有必有也相互独立，即也相互独立，即二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布的 p.d.f.或练习练习设随机变量设随机变量 (均匀分布均匀分布)，(指数分布指数分布),),且它们相互独立，且它们相互独立，试求试求 的密度函数的密度函数 答案答案判断独立性的简便方法判断独立性的简便方法已知联合分布已知联合分布判断判断是否独立需要做是否独立需要做次次加法和乘法加法和乘法.共需运算共需运算1313次次.例例1111 求求值值独立独立.使使解解（一眼看出）（一眼看出）1 2

11、 3 1 2 1/3 a b 1/6 1/9 1/18 命命题题相互独立联合分布矩阵秩为1求表内各练习练习字母值,使独立.1 2 3 1 2 3 0.03 0.02 d a 0.14 e b c 0.10 解解由题意应有：从而有右表由归一性得(3)(1)1 2 3 1 2 3 0.03 0.02 d 0.21 0.14 7d 0.15k 0.1k 0.10 由(1)得(2)联立(2)(3)得或设 1 2 3 1 2 3 0.03 0.02 0.05 0.21 0.14 0.35 0.06 0.04 0.10 1 2 3 1 2 3 0.03 0.02 0.0125 0.21 0.14 0.08

12、75 0.24 0.16 0.10 或或0.48 0.32 0.20 0.0625 0.43750.5经检验经检验正确！正确！例12 设随机变量 X、Y 相互独立,且都服.求从解解当 时，由独立性当 时，所以()由于由于X、Y 的随机性的随机性,故不能保证恒有故不能保证恒有或或解解由于相互独立的正态变量的线性组合仍是正态变量，故本题设本题设 是关键是关键.若不然若不然虽能算出 但很难算例例1313卡车装运水泥卡车装运水泥,设每袋重量设每袋重量(gk)X 服从服从问装多少袋水泥问装多少袋水泥,使总重量使总重量超过超过2000的概率不大于的概率不大于0.05.解一解一设装设装m 袋水泥袋水泥,总重

13、量为总重量为mX,据题设有据题设有所以至多装所以至多装43袋水泥袋水泥.?要学会对答案的粗略检验要学会对答案的粗略检验解二解二设装设装m 袋水泥袋水泥,总重量为总重量为mX,据题设有据题设有所以至多装所以至多装37袋水泥袋水泥.?要彻底的随机！要彻底的随机！解解设装设装m 袋水泥袋水泥,表示第表示第袋水泥重量袋水泥重量.于是总重量为于是总重量为所以至多装所以至多装39袋水泥袋水泥.第第五五章章1.切贝雪夫不等式切贝雪夫不等式2.中心极限定理的应用中心极限定理的应用第第六六章章1.统计量统计量总体总体样本及其空间样本及其空间2.常用常用“三抽样分布三抽样分布”定义定义性质性质各分布分位点定义各分

14、布分位点定义及及相互相互关系关系例例1414某大卖场某种商品价格波动为随机某大卖场某种商品价格波动为随机变量变量.设第设第i天天(较前一天较前一天)的价格变化为的价格变化为独立同分布独立同分布,为为(元元/斤斤)为现在的为现在的价格价格.用切贝雪夫不等式估计用切贝雪夫不等式估计再用中心极限定理估计再用中心极限定理估计第第n天的价格，天的价格，解解(应用题应用题)备一笔现金备一笔现金,已知这批债券共发放了已知这批债券共发放了500张张每张须付本息每张须付本息1000元元,设持券人设持券人(一人一券一人一券)银行为支付某日即将到期的债券须准银行为支付某日即将到期的债券须准到期日到银行领取本息的概率

15、为到期日到银行领取本息的概率为0.4,问银问银行于该日应准备多少现金才能以行于该日应准备多少现金才能以99.9%的的把握满足客户的兑换把握满足客户的兑换.解解设设1第第i 个持券人到期日来兑换个持券人到期日来兑换0 第第i 个持券人到期日未兑换个持券人到期日未兑换则到期日来银行兑换的总人数为则到期日来银行兑换的总人数为设银行需准备设银行需准备1000 m 元元,兑换总额为兑换总额为,由由中心极限定理中心极限定理所以银行需准备所以银行需准备23.4万元万元.例例1515 一本书有一本书有1000000个印刷符号个印刷符号,排版排版时每个符号被排错的概率为千分之一时每个符号被排错的概率为千分之一.

16、校校对时对时,每个排版错误被改正的概率为每个排版错误被改正的概率为0.99，求在校对后错误不多于求在校对后错误不多于15个的概率个的概率.解解设设1第第i 个印刷符号被排错个印刷符号被排错0第第i个印刷符号未排错个印刷符号未排错则总的被排错的印刷符号个数则总的被排错的印刷符号个数且且设校对后错误个数为设校对后错误个数为,则近似有则近似有由由中心极限定理中心极限定理于是于是则则解解令令1第第i 个符号被排错校对后仍错个符号被排错校对后仍错0其其他他由于排版与校对是两个独立的工作由于排版与校对是两个独立的工作,因而因而设校对后错误个数为设校对后错误个数为,则则由由中心极限定理中心极限定理例例161

17、6 一保险公司有一保险公司有10000人投保，每人每年人投保，每人每年付付12元保险费，已知一年内投保人死亡率元保险费，已知一年内投保人死亡率为为0.006.若死亡公司给死者家属若死亡公司给死者家属1000元元.求求(1)保险公司年利润为保险公司年利润为0的概率；的概率；(2)保险公司年利润大于保险公司年利润大于60000元元的概率；的概率；解解设设 为投保的为投保的10000人中一年内死亡的人中一年内死亡的人数人数.则则利用泊松定理，取利用泊松定理，取(1)设保险公司年利润为设保险公司年利润为,则则(2)由中心极限定理由中心极限定理例例1717从正态总体从正态总体N(,2)中取容量为中取容量

18、为1616 的样本的样本,S2为样本方差为样本方差,则则D(S2)=()解解例例1818设设是来自正态总体是来自正态总体X的简单随机样本的简单随机样本.证明证明证证从而从而正态分布与由正态分布正态分布与由正态分布 导出的分布间的关系导出的分布间的关系间的关系间的关系推导推导（相仿相仿推导推导）上上分位点的关系分位点的关系例如例如证明证明设设X t(n),则则其中其中Z N(0,1)于是于是由由 t分布与分布与 F 分布分位点的定义分布分位点的定义由由 t分布的对称性分布的对称性从而有从而有第第七七章章点估计的两种方法（矩估计与点估计的两种方法（矩估计与极大似然估计）及评价标准极大似然估计）及评

19、价标准例例1919设总体设总体X 的分布密度函数为的分布密度函数为求求 的矩估计量的矩估计量 ,并计算并计算解解估计量估计量是样本是样本的函数的函数令令例例20 20 设总体设总体 X X 的密度函数为的密度函数为解解的极大似然估计量的极大似然估计量.为为 X X 的一个样本的一个样本,求参数求参数任一样本函数任一样本函数似然方程组为似然方程组为本题本题 的估计并不能通过似然方程求得的估计并不能通过似然方程求得解解由题设，若由题设，若 必须必须即即越大，越大，越大，故越大，故的极大的极大似然似然估计可通过似然方程求得估计可通过似然方程求得.是取自对数正态分布是取自对数正态分布例例2121设设总

20、体总体的一个样本，即的一个样本，即求求 的极大似然估计的极大似然估计.解解的密度函数的密度函数的密度函数的密度函数由极大似然估计的不变性得：由极大似然估计的不变性得：其中其中一般正态一般正态 参数的极大似然估计是：参数的极大似然估计是：则对数正态参数的极大似然估计是：则对数正态参数的极大似然估计是：例例2222设总体设总体X 服从服从,其其密度函密度函数为数为.对于容量为对于容量为n 的样本的样本,求使得求使得的点的点的极大似然估计的极大似然估计解解极大似然估计不变性极大似然估计不变性设设为总体为总体X N(,2)的一个样本，的一个样本，求常数求常数k,使使为为 的无偏估计量的无偏估计量.解解例例2323令令则则故解解注意到注意到是是X1,X2,Xn 的线性函数的线性函数,故