11.4直接证明与间接证明.ppt

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1、按Esc键退出返回目录11.4直接证明与间接证明按Esc键退出返回目录按Esc键退出返回目录基础梳理自测基础梳理自测考点探究突破考点探究突破按Esc键退出返回目录基础梳理自测基础梳理自测构建能力大厦的奠基石构建能力大厦的奠基石按Esc键退出返回目录1.直接证明中最基本的两种证明方法是和.知识梳理答案：综合法分析法2.综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.综合法简称为:.答案：由因导果按Esc键退出返回目录3.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理

2、、定义、公理等)为止.分析法简称为:.答案：执果索因按Esc键退出返回目录应用反证法证明数学命题,一般有下面几个步骤:第一步,分清命题“pq”的;第二步,作出与命题结论q相矛盾的假设;第三步,由p与 q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果;第四步,断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设 q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题pq为真.4.反证法:假设原命题,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明,从而证明了,这样的证明方法叫反证法.答案：不成立假设错误原命题成立条件和结论 q按Esc键退出返回目录基础自测1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的().A.充分条件B.必要

3、条件C.充要条件D.等价条件答案：A按Esc键退出返回目录2.用反证法证明“如果ab,那么”假设内容应是().A.=B.C.=且D.=或SB.tSC.tq0.比较上述三种方案,提价最多的是().A.甲B.乙C.丙D.一样多按Esc键退出返回目录1.综合法与分析法有什么联系与差异?提示:综合法与分析法是直接证明的两种基本方法,综合法的特点是从已知看可知,逐步推出未知.在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.分析法是从未知看需知,逐步靠拢已知.当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接,证明中需要用哪些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻求使当

4、前命题成立的充分条件,把证明转化为判定这些条件是否具备的问题.思维拓展按Esc键退出返回目录2.综合法与分析法各有什么优点与缺点?提示:综合法与分析法各有优缺点,分析法思考起来比较简单,易找到解题的思路和方法,缺点是叙述烦琐;综合法从条件推结论,较简洁地解决问题,但不便于思考.因此,通常将它们结合起来使用,先用分析法探索证明途径,再用综合法叙述出来.3.在什么情况下可考虑利用反证法证明问题?提示:反证法是间接证明的一种方法,它适用于以下两种情形:(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;(2)若从正面证明,需要分成多种情形进行讨论,而从反面证明,只需研究一种或很

5、少的几种情形.按Esc键退出返回目录考点探究突破考点探究突破拓展升华思维的加油站拓展升华思维的加油站按Esc键退出返回目录一、综合法【例1】如图,四边形ABCD是正方形,PB平面ABCD,MA平面ABCD,PB=AB=2MA.求证:(1)平面AMD平面BPC;(2)平面PMD平面PBD.按Esc键退出返回目录证明:(1)因为PB平面ABCD,MA平面ABCD,所以PBMA.因为PB平面BPC,MA平面BPC,所以MA平面BPC.同理,DA平面BPC.又MA平面AMD,AD平面AMD,MAAD=A,所以平面AMD平面BPC.按Esc键退出返回目录(2)连接AC,设ACBD=E,取PD的中点F,连

6、接EF,MF.因为四边形ABCD为正方形,所以E为BD的中点.因为F为PD的中点,按Esc键退出返回目录所以EFPB.又AMPB,所以四边形AEFM为平行四边形.所以MFAE.因为PB平面ABCD,AE平面ABCD,所以PBAE.所以MFPB.因为四边形ABCD为正方形,所以ACBD.所以MFBD.按Esc键退出返回目录所以MF平面PBD.又MF平面PMD,所以平面PMD平面PBD.按Esc键退出返回目录方法提炼1.综合法是“由因导果”,它是从已知条件出发,顺着推证,经过一系列的中间推理,最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系是:AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理

7、,B为要证结论),它的常见书面表达是“,”或“”.按Esc键退出返回目录2.利用综合法证不等式时,是以基本不等式为基础,以不等式的性质为依据,进行推理论证的.因此,关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质.3.综合法是一种由因导果的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,这就是保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确性.请做针对训练1按Esc键退出返回目录a,b,c.求证:+=.二、分析法【例2-1】ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为按Esc键退出返回目录证明:要证+=,即证+=3,也就是+=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(

8、b+c),需证c2+a2=ac+b2,又ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60,由余弦定理,有b2=c2+a2-2accos60,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2得证.于是原等式成立.按Esc键退出返回目录证明:要证lg+lg+lglga+lgb+lgc,只需证lglgabc,即证abc.因为a,b,c为不全相等的正数,【例2-2】若a,b,c为不全相等的正数,求证:lg+lg+lglga+lgb+lgc.按Esc键退出返回目录所以0,0,0,且上述三式中等号不能同时成立.所以abc成立,所以lg+lg+lglga+lgb+lgc成立.按Esc键退出返回目录2.用分析法

9、证“若P,则Q”这个命题的模式是:为了证明命题Q为真,这只需证明命题P1为真,从而有这只需证明命题P2为真,从而有这只需证明命题P为真.而已知P为真,故Q必为真.特别警示:用分析法证题时,一定要严格按格式书写,否则极易出错.方法提炼1.分析法是“执果索因”,它是从要证的结论出发,倒着分析,逐渐地靠近已知.按Esc键退出返回目录3.在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用,根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P,若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.一般情况下,用分析法寻找思路,用综合法完成证明.请做针对训练2按Esc键退出返回目

10、录三、反证法【例3】设an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列Sn不是等比数列;(2)数列Sn是等差数列吗?为什么?(1)证明:若Sn是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1a1(1+q+q2),a10,(1+q)2=1+q+q2,解得q=0,这与q0相矛盾,故数列Sn不是等比数列.按Esc键退出返回目录（2）解:当q=1时,Sn是等差数列.当q1时,Sn不是等差数列.假设q1时,S1,S2,S3成等差数列,即2S2=S1+S3,2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于a10,2(1+q)=2+q+q2,即q=q2,q1,q=0,这与q0相矛盾.综上可知,

11、当q=1时,Sn是等差数列;当q1时,Sn不是等差数列.按Esc键退出返回目录方法提炼反证法是间接证明问题的一种常用方法,它不是从已知条件去直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上进行演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性.用反证法证明要把握三点:(1)反设:必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)归谬:必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证.推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的;(3)结论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.请做针对训练3按Esc键退出返回目录本课结束本课结束谢谢谢观看谢观看