直接证明与间接证明 (2).ppt

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1、直接证明与间接证明现在学习的是第1页，共29页1直接证明综合法(1)_是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法分析法(2)_是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法现在学习的是第2页，共29页2间接证明反证法_是假设命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法，它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤：假设命题的结论不成立；根

2、据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；断言假设不成立；肯定原命题的结论成立现在学习的是第3页，共29页A现在学习的是第4页，共29页2用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，应假设()BA三个内角都不大于 60B三个内角都大于 60C三个内角至多有一个大于 60D三个内角至多有两个大于 603用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)存在有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数下列假设中正确的是_.假设 a，b，c 都是偶数；假设 a，b，c 都不是偶数；假设 a，b，c 至多有一个偶数；假设 a，b，c 至多有两个偶数现在学习的是第5页，共29

3、页4某个命题与正整数 n 有关，若 nk(kN*)时该命题成立，那么可推得 nk1 时该命题也成立，现在已知当 n5 时该命题不成立，那么可推得()CA当 n6 时该命题不成立B当 n6 时该命题成立C当 n4 时该命题不成立D当 n4 时该命题成立解析：用反证法，可证当n4 时，该命题不成立现在学习的是第6页，共29页考点1综合法例1：已知 a，b，c 为正实数，abc1.现在学习的是第7页，共29页现在学习的是第8页，共29页现在学习的是第9页，共29页现在学习的是第10页，共29页ab lgalgb【互动探究】1证明：若a，b0，则lg2 2 .现在学习的是第11页，共29页考点2分析法

4、现在学习的是第12页，共29页现在学习的是第13页，共29页【互动探究】现在学习的是第14页，共29页考点3反证法现在学习的是第15页，共29页现在学习的是第16页，共29页现在学习的是第17页，共29页现在学习的是第18页，共29页反证法主要适用于以下两种情形：要证的条件和结论之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从证明出发，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少几种情形现在学习的是第19页，共29页【互动探究】现在学习的是第20页，共29页考点4 信息给予题中的推理与证明例4：(2011年湖南醴陵测试)对于给定数列cn，如果存在实常数p，q使得cn

5、1pcnq对于任意nN*都成立，我们称数列cn是“M类数列”(1)若an2n，bn32n，nN*，数列an，bn是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；(2)证明：若数列an是“M类数列”，则数列anan1也是“M类数列”现在学习的是第21页，共29页解析：(1)因为an2n，则有an1an2，nN*.故数列是an是“M类数列”，对应的实常数分别为1,2.因为bn32n，则有bn12bn，nN*.故数列bn是“M类数列”，对应的实常数分别为2,0.(2)证明：若数列an是“M类数列”，则存在实常数p，q，使得an1panq对于任意nN*都成立，且有an2pan1

6、q对于任意nN*都成立因此(an1an2)p(anan1)2q对于任意nN*都成立，故数列anan1也是“M类数列”，对应的实常数分别为p,2q.现在学习的是第22页，共29页准确把握信息是解题的关键，本题“只要找到实常数p，q使得cn1pcnq成立，则数列cn就是“M类数列”，如an2n，an12n2，则有an1an2，此时p1，q2，则称数列cn是“类数列”以此类推现在学习的是第23页，共29页【互动探究】4对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立则称函数f

7、(x)为理想函数(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；(2)判断函数g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，并予以证明现在学习的是第24页，共29页解：(1)取x1x20可得f(0)f(0)f(0)f(0)0，又由条件f(0)0，故f(0)0.(2)显然g(x)2x1在0,1满足条件g(x)0，也满足条件g(1)1.若x10，x20，x1x21，则g(x1x2)g(x1)g(x2)2x1x21(2x11)(2x21)2x1x22x12x21(2x21)(2x11)0，即满足条件，故g(x)是理想函数现在学习的是第25页，共29页1综合法是一种由因导果的证明方法，又叫顺推法它常见的书

8、面表达形式是“，”或“”利用综合法证明“若 A 则 B”命题的综合法思考过程可用如图 1021 的框图表示为：图 1021现在学习的是第26页，共29页2分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索因法它常见的书面表达形式是：“要证，只需证”或“”利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用如图 1022 的框图表示为：图 1022综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到B的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1，B2能推演出的进一步的中间结论更多，如C1，C2，C3，C4等等，最终能有一个(或多个)可推演出结论B即可现在学习的是第27页

9、，共29页3反证法是一种间接的方法，常常是利用直接证法如综合法、分析法有困难时利用反证法来证明，即“正难则反”分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从B上溯寻其论据，如C，C1，C2等，再寻求C，C1，C2的论据，如B，B1，B2，B3，B4等等，继而寻求B，B1，B2，B3，B4的依据，如果其中之一B的论据恰为已知条件，于是命题得证现在学习的是第28页，共29页分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，即综合法是分析法的逆过程混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍要注意两种证明方法的书写格式，否则易产生逻辑上的错误利用反证法证明问题是从否定结论入手的，没有使用假设命题而推出矛盾结果，其推理过程是错误的现在学习的是第29页，共29页