教育专题：231抛物线及其示标准方程.ppt

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1、2.3.1抛物线及抛物线及其标准方程其标准方程（1）高二数学高二数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程喷泉喷泉复习回顾：复习回顾：我们知道我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征：椭圆、双曲线有共同的几何特征：都可以看作是都可以看作是,在平面内与一个在平面内与一个定点定点的距离和一条的距离和一条定直线定直线的距离的比是的距离的比是常数常数e的点的轨迹的点的轨迹.MFl0e 1(2)当当e1时，是双曲线时，是双曲线;(1)当当0e0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF

2、 FOy ylx xF FOy ylx xFOy yly y2 2=2px=2px(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)P的意义的意义:抛物抛物线的焦点到准线的焦点到准线的距离线的距离方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次是二次式式,(2)右边右边是一次是一次式式;决定了决定了焦点焦点的位置的位置.四四种抛物线的对比四四种抛物线的对比数形共同点数形共同点:(1)原点在抛物线上原点在抛物线上;(2)对称轴为坐标轴对称轴为坐标轴;(3)焦点到准线的距离均为焦点到准线的距离均为P；(4)焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。口诀口诀

3、:对称轴要看一次项对称轴要看一次项,符号确定开口方向符号确定开口方向;（看（看x的一次项系数的一次项系数,正时向右正时向右,负向左负向左;看看y的一次项系数的一次项系数,正时向上正时向上,负向下负向下.）想一想 求抛物线的标准方程、焦点坐标、求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程时，关键是求什么？准线方程时，关键是求什么？求求P！开口方向开口方向思考：思考：抛物线的方程为抛物线的方程为x=ay2（a0)求求它的焦点坐标和准线方程？它的焦点坐标和准线方程？解：抛物线标准方程为：解：抛物线标准方程为：y2=x1a2p=1 a4a1焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a1当当a0时时,抛物线的开口

4、向右抛物线的开口向右p2=14a当当a0时与当时与当a0时与当时与当a0），），或或 x2=2py（p0），），将（将（3，2）点的坐标分别代入）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方上述方程可得抛物线的标准方程为程为题型二：求抛物线方程的方法：题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法待定系数法课堂练习：课堂练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x=；（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y 或或 x2=-4y2、

5、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20 x (2)x2=y (3)2y2+5x=0 (4)x2+8y=0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，）18y=-188x=5（-，0）58（0，-2）y=2例例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为为4.8m，深度为深度为0.5m

6、。建立适当的坐标系，求抛物线建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。的标准方程和焦点坐标。题型二：求抛物线方程的方法：题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法待定系数法解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。原点重合。设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 ，由已知条件，由已知条件可得，点可得，点A的坐标是的坐标是 ，代入方程，得，代入方程，得即即所以，所求抛物线的标准方程是所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是焦点的坐标是例

7、例3点点M到点到点F(4，0)的距离比它到直线的距离比它到直线l:x+5=0 的距离小的距离小 1，求点求点M的轨迹方程。的轨迹方程。|MF|+1=|x+5|ly.oxMF解（直接法）：解（直接法）：设设 M(x，y)，则则由已知，得由已知，得另解另解(定义法定义法)：由由已知，得点已知，得点M到点到点F(4，0)的距离等于它到直线的距离等于它到直线 l:x+4=0 的距离的距离.由由抛物线定义知：抛物线定义知：点点M的轨迹是以的轨迹是以F(4，0)为为焦点的抛物线焦点的抛物线.题型二：求抛物线方程的方法：题型二：求抛物线方程的方法：-轨迹法，定义轨迹法，定义法法练习：练习：若动圆若动圆M与圆

8、与圆C：(x2)2y21外切，又与直外切，又与直线线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是相切，则动圆圆心的轨迹方程是()(A)y28x (B)y28x (C)y24x (D)y24x解解:设动圆圆心为设动圆圆心为M(x，y),半径为半径为R,圆圆C:圆心为圆心为C(2,0),半径半径r1.圆圆M与圆与圆C外切，外切，|MC|R1.又动圆又动圆M与已知直线与已知直线x10相切，相切，圆心圆心M到直线到直线x10的距离的距离dR.即动点即动点M到定点到定点C(2,0)的距离等于它到定直线的距离等于它到定直线x20的距离的距离|MC|d1.由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，点点M的轨迹是以的轨迹

9、是以C(2,0)为焦点，为焦点，x20为准线的抛物线，为准线的抛物线，且且p/22，p4，故其方程为故其方程为y28x.A练习：练习：点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方程的程的类型和的值类型和的值 M是抛物线是抛物线y2=2px（P0）上一点，）上一点，若点若点M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的距离到焦点的距离是是.X0+2pOyxFM思考题思考题:抛物线抛物线 上有一点上有一点M,其横坐标为其横坐标为-9,它到焦点的距离为它到焦点的距离为10,求抛物线方程和求抛物线方程和M点的坐标点的坐标.应用提高应用提高1 1、已知抛物线的顶点

10、在原点，焦点在已知抛物线的顶点在原点，焦点在x x轴上，抛物轴上，抛物线上一点线上一点M M(-3(-3，m)m)到焦点的距离为到焦点的距离为5 5，求，求m m的值、抛的值、抛物线方程和准线方程物线方程和准线方程.解：抛物线顶点在原点，焦点在解：抛物线顶点在原点，焦点在x x轴上，过轴上，过M(-3,m),M(-3,m),抛物线方程可设为：抛物线方程可设为：y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)抛物线方程为：抛物线方程为：y y2 2=-8x=-8x，准线方程为：准线方程为：x=2x=22 2、求顶点在原点求顶点在原点,焦点在焦点在x x轴上的抛物线且截直线轴上的抛物线且截直线2x

11、2x-y+1=-y+1=0 0所得的弦长为所得的弦长为 的抛物线的方程的抛物线的方程.解：设所求的抛物线方程为解：设所求的抛物线方程为y y2 2=mxmx把把y=2x+1y=2x+1代入代入y y2 2=mxmx化简得：化简得：4x2+(4-m)x+1=0所求的抛物线方程为所求的抛物线方程为y y2 2=12x=12x或或y y2 2=-4x=-4x4.4.标准方程中标准方程中p前面的前面的正负号正负号决定抛物线的决定抛物线的开口方向开口方向 1.1.抛物线的定义抛物线的定义:2.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式抛物线的标准方程有四种不同的形式:每一对焦点和准线对应一种形式每一对焦点和准线对应一种形式.3.3.p的几何意义是的几何意义是:焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离