231抛物线及其示标准方程.ppt

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1、2.3.1抛物线及抛物线及其标准方程（其标准方程（1）高二数学高二数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程喷泉喷泉复习回顾：复习回顾： 我们知道我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征：椭圆、双曲线有共同的几何特征： 都可以看作是都可以看作是, ,在平面内与一个在平面内与一个定点定点的距离和一条的距离和一条定直线定直线的距离的比是的距离的比是常数常数e的点的轨迹的点的轨迹. .MFl0e 1(2) 当当e1时，是双曲线时，是双曲线;(1)当当0e1时时,是椭圆是椭圆;(其中定点不在定直线上其中定点不在定直线上)lFMe1那么那么,当当时时，它又是什么曲线它又是什么曲线 ？

2、FMle=1演示演示F 如图，点如图，点 是定点，是定点， 是不经过点是不经过点 的定直线。的定直线。 是是 上上任意一点，过点任意一点，过点 作作 ，线段，线段FH的垂直平分线的垂直平分线m交交MH于点于点M，拖动点，拖动点H，观察点，观察点M的轨迹，你能发现点的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？满足的几何条件吗？ MHLLLHFH提出问题：提出问题： LMFH几何画板观察几何画板观察mC问题探究：问题探究：当当e=1时，即时，即|MF|=|MH| ，点，点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？探究？探究？ 可以发现可以发现, ,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中, ,始终有始终有| |

3、MF|=|=|MH|,|,即点即点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等. .点点M生成的轨迹是曲线生成的轨迹是曲线C的形状的形状.( (如图如图) )MFle=1H我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做抛物线抛物线. .抛物线演示抛物线演示CMFle=1H 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d一、抛物线的定义一、抛物线的定义:解法一

4、：以解法一：以 为为 轴，过点轴，过点 垂直于垂直于 的直线为的直线为 轴建轴建立直角坐标系（如下图所示）立直角坐标系（如下图所示）,则定点则定点 设动点设动点点点 ，由抛物线定义得：，由抛物线定义得：LyFLx( , )F p o( , )M x yxypx22)(化简得化简得：222(0)pxpyp.M(X,y).xyOFl解法二：以定点解法二：以定点 为原点，过点为原点，过点 垂直于垂直于 的直线为的直线为 轴建轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程的方程为为FFLx(0,0)FLxp 设动点 ，由抛物线定义得 ( , )M x y22yx

5、xp化简得化简得： 222(0)pxpypl解法三：以过解法三：以过F且垂直于且垂直于 l 的直的直线为线为x轴轴, ,垂足为垂足为K. .以以F, ,K的中点的中点O O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xoy.22()|22ppxyx 两边平方两边平方, ,整理得整理得xKyoM(x,y)F依题意得依题意得22(0)ypx p 这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. . 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方标准方程程.其中其中 p 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是: :

6、焦点坐标是焦点坐标是(,0)2p2px 准线方程为准线方程为: :想一想想一想: : 坐标系的建立还坐标系的建立还有没有其它方案有没有其它方案也也会使抛物线方程的形式简单会使抛物线方程的形式简单 ？yxo方案方案(1)(1)yxo方案方案(2)(2)yxo方案方案(3)(3)yxo方案方案(4)(4)焦点到准线的距离焦点到准线的距离准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py P的意义的意义:抛物抛物线的焦点到准线的焦点

7、到准线的距离线的距离方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次是二次式式,(2)右边右边是一次是一次式式;决定了决定了焦点焦点的位置的位置.pxy22 0 ppxy22 0 ppyx22 0 ppyx22 0 p数形共同点数形共同点:(1)原点在抛物线上原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴对称轴为坐标轴;(3)焦点到准线的距离均为焦点到准线的距离均为P；(4) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。 口诀口诀: 对称轴要看一次项对称轴要看一次项,符号确定开口方向符号确定开口方向; （看（看x的一次项系数的一次项系数,正时向右正时向右,负向左负向左; 看看

8、y的一次项系数的一次项系数,正时向上正时向上,负向下负向下.）想一想 求抛物线的标准方程、焦点坐标、求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程时，关键是求什么？准线方程时，关键是求什么？求求P！开口方向开口方向思考：思考：抛物线的方程为抛物线的方程为x=ay2（a0)求求它的焦点坐标和准线方程？它的焦点坐标和准线方程？解：抛物线标准方程为：解：抛物线标准方程为：y2= x1a2p=1 a4a1焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=4a1当当a0时时, , 抛物线的开口向右抛物线的开口向右p2=14a当当a0时与当时与当a0时与当时与当a0），），或或 x2 = 2py（p0），），将（将（3，2

9、）点的坐标分别代入）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方上述方程可得抛物线的标准方程为程为题型二：求抛物线方程的方法：题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法待定系数法课堂练习：课堂练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；14 （3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或或 x2 = -4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2 = 20 x (

10、2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =012焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=- -5（0，）18y= - 188x= 5（- - ，0）58（0，- -2）y=2例例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为为4.8m，深度为，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线。建立适当的坐标系，求抛物线的

11、标准方程和焦点坐标。的标准方程和焦点坐标。yxBFAo.题型二：求抛物线方程的方法：题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法待定系数法解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。原点重合。 220.52.4p22(0)px py设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 ，由已知条件，由已知条件(0.5,2.4)可得，点可得，点A的坐标是的坐标是 ，代入方程，得，代入方程，得5.76p 即即(2.88,0)211.52xy所以，所求抛物线的标准方程

12、是所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是焦点的坐标是yxBFAo.例例3点点M到点到点F(4，0)的距离比它到直线的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小的距离小 1，求点求点M的轨迹方程。的轨迹方程。|MF|+1=|x+5|ly.oxMF解（直接法）：解（直接法）：设设 M(x，y)，则，则由已知，得由已知，得51)4(22xyx即化简得xy162.的轨迹方程即为点 M另解另解(定义法定义法)：由已知，得点由已知，得点M到点到点F(4，0)的距离等于它到直线的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离的距离.由抛物线定义知：由抛物线定义知：点点M的轨迹是以的轨迹是以F(4，0)为焦点

13、的抛物线为焦点的抛物线.，42p.8 p.162xyM的轨迹方程为故点题型二：求抛物线方程的方法：题型二：求抛物线方程的方法：-轨迹法，定义轨迹法，定义法法练习：练习：若动圆若动圆M与圆与圆C：(x2)2y21外切，又与直外切，又与直线线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是相切，则动圆圆心的轨迹方程是()(A)y28x (B)y28x (C)y24x (D)y24x解解:设动圆圆心为设动圆圆心为M(x，y),半径为半径为R, 圆圆C:圆心为圆心为C(2,0),半径半径r1. 圆圆M与圆与圆C外切，外切，|MC|R1.又动圆又动圆M与已知直线与已知直线x10相切，相切，圆心圆心M到直线到直线x10

14、的距离的距离dR.即动点即动点M到定点到定点C(2,0)的距离等于它到定直线的距离等于它到定直线x20的距离的距离 |MC|d1.由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，点点M的轨迹是以的轨迹是以C(2,0)为焦点，为焦点，x20为准线的抛物线，为准线的抛物线， 且且p/22，p4， 故其方程为故其方程为y28x.A3)4(1m20:8myx时,抛物线的方程是024pmmpm当时，2 =- ,8m0,24pmmpm解 :当时 由 2得:4mx 准线方程是1x准线与直线的距离为练习：练习：21ymxx设抛物线的准线与直线的距离为,求抛物线方程.点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方点拨：求抛物

15、线的标准方程关键是知道标准方程的程的类型和的值类型和的值2016myx时，抛物线的标准方程为：:4mx 准线方程是1x准线与直线的距离为134m 16m M是抛物线是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，）上一点，若点若点M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的距离到焦点的距离是是.X0 + 2pOyxFM思考题思考题 :02pM Fx焦 半 径 公 式 : 抛物线抛物线 上有一点上有一点M,其横坐标为其横坐标为-9,它到焦点的距离为它到焦点的距离为10,求抛物线方程和求抛物线方程和M点的坐标点的坐标.应用提高应用提高) 0(22 ppxy:,0),22pplx 解 抛物线焦点F(-

16、准线 ：M lMFd( 9)102p 2p24yx 抛物线方程为：2( 9, )46Myyxy 代入：，得( 9, 6)M1 1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在已知抛物线的顶点在原点，焦点在x x轴上，抛轴上，抛物线上一点物线上一点M M(-3(-3，m)m)到焦点的距离为到焦点的距离为5 5，求，求m m的值、的值、抛物线方程和准线方程抛物线方程和准线方程. .解：抛物线顶点在原点，焦点在解：抛物线顶点在原点，焦点在x x轴上，过轴上，过M(-3,m), M(-3,m), (,0)2pF 焦点22(3)()52pMFm 抛物线方程可设为：抛物线方程可设为：y y2 2=-2px(p0)=-2

17、px(p0)22 ( 3)mp 42 6pm 抛物线方程为：抛物线方程为：y y2 2=-8x=-8x，2 6m 准线方程为：准线方程为：x=2x=22 2、求顶点在原点求顶点在原点, ,焦点在焦点在x x轴上的抛物线且截直线轴上的抛物线且截直线2x-y+1=02x-y+1=0所得的弦长为所得的弦长为 的抛物线的方程的抛物线的方程. .15解：设所求的抛物线方程为解：设所求的抛物线方程为y y2 2=mx=mx把把y=2x+1y=2x+1代入代入y y2 2=mx=mx化简得：化简得：4x2+(4-m)x+1=01244mxx1214xx221212(1)()4lkxxx x2(4)5116m

18、15124mm 或所求的抛物线方程为所求的抛物线方程为y y2 2=12x=12x或或y y2 2=-4x=-4x221612yxxy 或5(,0)8215.14抛物线的焦点坐标为_.yxxF （2000.全国）过抛物线 的焦点 作一条直线交抛物线于 ， 两点，若线段 与 的长分别为 ，则 等于（ ）2(0)ax ayPFFQQP,p q11pqA. B. C. D.2a12a4a4a分析：抛物线 的标准方程为 ，其焦点为 .2(0)ax ay21yax1(0,)4Fa取特殊情况，即直线 平行与 轴，则 ，如图。故PQxpq11,44PFPMpaa111124apqpppMNQFPyxOC+1

19、 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). 25512222byax245(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与 A. B. 5 C. D.抛物线y=xDl2(0)yax ay24yx 28yx 24yx28yx(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若OAF(O为坐标原点) A. B. C. D. 的面积为4,则抛物线方程为( ). B2 2、根据下列条件写出抛物线的标准方程、根据下列条件写出抛物线的标准方程: :(1)(1)焦点坐标是焦点坐标是(0,4);(0,4);(2)(2)准线方程是准线方程是y=-4;y=-4;(3)(3)经过点经过点A(-3,2

20、);A(-3,2);(4)(4)焦点在直线焦点在直线4x-3y-12=04x-3y-12=0上上; ;(5)(5)焦点为椭圆焦点为椭圆x x2 2+4y+4y2 2=4=4的的顶点顶点. .1 1、已知抛物线的标准方程是、已知抛物线的标准方程是(1)y(1)y2 2=-6x,(2)x=-6x,(2)x2 2=6y,=6y,求它的焦点坐标和准线方程求它的焦点坐标和准线方程. .3 3、抛物线抛物线x x2 2=4y=4y上一点上一点M M的纵的纵坐标为坐标为4,4,则点则点M M与抛物线焦点与抛物线焦点的距离为的距离为 . .xyOFM 选做作业：选做作业：3333(1)(,0),(2)(0,)

21、,2222xy 216xy216xy229423xyyx 或221216yxxy或522228844yxyxxyxy 或或或4.过抛物线过抛物线y2=4x的焦点，作直线的焦点，作直线L交抛物线于交抛物线于A、B两点，两点，若线段若线段AB中点的横坐标为中点的横坐标为3，则，则|AB|=_.5.抛物线抛物线y=ax2的准线方程是的准线方程是y=2，则，则a的值为的值为( )(A)1/8 (B)-1/8 (C)8 (D)-8 6.已知抛物线已知抛物线 的焦点的焦点F和点和点A(-1,8),P为抛物线上的为抛物线上的点，则点，则 的最小值是（的最小值是（ ） （A) 16 (B) 6 (c) 12

22、(D) 97.一动圆圆心在抛物线一动圆圆心在抛物线 上，过点（上，过点（0，1）且恒与定）且恒与定直线直线l相切，则直线相切，则直线l的方程为的方程为 （ ）（A)x=1 (B) (C) y=-1 (D) 24xyPAPF24xy116x 116y 8BCD4.4.标准方程中标准方程中p前面的前面的正负号正负号决定抛物线的决定抛物线的开口方向开口方向 1.1.抛物线的定义抛物线的定义: :2.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式抛物线的标准方程有四种不同的形式: :每一对焦点和准线对应一种形式每一对焦点和准线对应一种形式. .3.3.p的几何意义是的几何意义是: :焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离