02198 线性代数.pdf

《02198 线性代数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《02198 线性代数.pdf（11页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1 概要&总结 一、线性代数的基础内容：1、行列式行列式的定义及计算性质(7 条)，克莱姆法则；2、矩阵运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵 3、向量线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去

2、求向量组的秩及其极大无关组 二、线性代数的应用性内容 1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Axb，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构格式化的解题步骤 2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵 3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵 iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于

3、不同特征值的特征向量正交)格式化的对角化步骤 4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系 ii)利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系)iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定 iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？四个等价的条件(正定；正惯性指数为n；存在P使TP PA；所有特征值大于零)第一章 行列式 关键字：行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 克莱默法则 一、1 行 列 式 定 义 及 相 关 概 念：(这 是 行 列 式 的 递 推 法 定 义)由2n个 数(,1,2,)ij

4、ai jn组 成 的n阶 行 列 式1 11 212 12 2212nnnnnnaaaaaaDaaa是一个算式，特别当1n 时，定义11|Daa；当2,n 时 1111121211111nnnjjjDa Aa Aa Aa A，其中111(1)jjjAM，1jM是D中去掉第1 行第j列全部元素后按照原顺序拍成的1n阶行列式，称为元素1ja的余子式，1jA为元素1ja的代数余子式。D中1 12 2,nnaaa所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的元素为主对角元。另一条对角线称为副对角线 2n阶行列式的性质 a)行列式的行与列(按原顺序)互换，其值不变；b)行列式对任一行按下式展开，其值相等，即1

5、1221niiiiininijijjDa Aa Aa Aa A，其中(1)ijijijAM，ijM是D中去掉第i行第j列全部元素后按照原顺序排成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，ijA为元素ija的代数余子式；c)线性性质加法和数乘；推论：某行元素全为零的行列式其值为0 d)行列式中两行对应元素全相等，其值为0；推论：行列式中两行对应成比例，其值为0 e)在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数，再加到另一行的对应元素上，行列式值不变；f)行列式的两行互换，行列式的值反号 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2 g)行列式的某一行元

6、素乘另一行对应元素的代数余子式之和为 0。3计算行列式，利用行列式的性质。(需要记住范德蒙行列式和反对称行列式的值)计算经验总结：利用行列式性质定义与性质，化成三角阵(习惯上化成上三角阵)，或按零元素最多的行或列按定义展开等等 二、定理(克莱默法则)设线性非齐次方程组1(1,2,)nijjija xb in，其系数行列式：1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa，这方程组有唯一解(1,2,)jjDxjnD。其中jD是用常数项12,nb bb替换D中第j列所成的行列式。推论：若齐次线性方程组10(1,2,)nijjja xin的系数行列式0D，则方程组只有零解，0(1,2,)j

7、xjn 第二章 矩阵 一、矩阵相关概念：数域F中mn个数(1,2,;1,2,)ija im nn排成m行n列，并扩以圆括弧(或方括弧)的数表111212122212nnnnnnaaaaaaaaa，称为数域F上的mn矩阵，通常用大写字母记做,()(1,2,;1,2,)m nijm nAAAaim jn或或，其中ija称为矩阵A的第i行第j列元素。FR时为实矩阵，FC时为复矩阵；mn个元素全为0 的矩阵称为零矩阵；mn时称A为方阵(或为n阶方阵)；线性方程组的未知元系数排成的矩阵A，称为系数矩阵，若加上右端常数项排成的矩阵称为增广矩阵，记为(,)A b。【注】矩阵与行列式的区别：行列式D是一个算式

8、，是一个值；矩阵A是一张表，当是方阵时可以计算其所对应的行列式值，称为矩阵的行列式，记为|A或det()A。若|0A，称A为奇异矩阵；若|0A，称A为非奇异矩阵。二、矩阵的基本运算：加法、数量乘法和乘法；转置；逆矩阵、初等行和列变换 1、1)如果两个矩阵()ijAa和()ijBb的行数和列数分别相等，且对应元素也相等，即(1,2,;1,2,)ijijab im bn，就称A和B相等，记做AB 2)加法：设()ijAa和()m nijBbF，规定()ijijABab，并称AB为A和B之和。【注】i)两个矩阵可相加的条件是行数和列数均相同(同型矩阵)，且结果行数和列数也相同；ii)矩阵加法满足以下

9、运算律：交换率、结合律、存在零矩阵、存在负矩阵(由此定义减法)3)数乘：设k是数域F中任意的一个数，()m nijAaF，规定()ijkAka【注】i)矩阵数乘指k乘A的每一个元素ija按原来的次序排成的矩阵，区别于行列式kD，若A是n阶方阵，则|nkAkA；ii）矩阵数乘满足以下运算律：1;()();AA kl Ak lA();kl AkAlA()k ABkAkB 4)乘法：设A是一个mn矩阵，B是一个ns矩阵，则A和B的乘积AB(记作()ijCc)是一个ms矩阵，且11221ni jijiji nn ji kk jkca ba ba ba b，即CAB的第i行第j列元素ijc是A第i行n个

10、元素与B第j列n个元素分别相乘的乘积之和 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！3【注】a)矩阵乘法满足：()();()()();();AB CA BCk ABkA BA kBA BCABAC()BC ABACA；b)有了矩阵乘法，线性方程组可以写为：Axb b)若0AB，能否推知0A 或0B？逆否命题是什么？左零因子、右零因子 c)当0A时，由ABAC能否有BC？当|0A 时，由ABAC能否有BC？d)如果1()2ABE，证明：2AA当且仅当2BE 5)特殊矩阵(方阵()ijn nAa)：主对角元全为 1，其余元素均为零时称为n阶单位矩

11、阵，记作nI或I或E；主对角元全为非零常数k，其余元素全为零时称为n阶数量矩阵，记作nkI或kI或kE；非主对角元皆为零时称为n阶对角矩阵，记作12diag(,)na aa；当ij，0ija (1,2,1)jn时称为上三角矩阵，当ij，0ija (2,3,)jn时称为下三角矩阵 相关结论：a)mm nm nnm nI AAIA；b)对角阵12diag(,)na aa 左乘A等于ia(1,2,)in乘以A中第i行的每一个元素，右乘A等于ia(1,2,)in乘以A中第i列的每一个元素；c)两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵；d)设A、B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B行列式

12、的乘积，即|ABA B 2、1)矩阵的转置：把一个mn的矩阵n mA行和列互换得到一个nm的矩阵，称之为A的转置矩阵，记做TA或()Tjin mAa，其中Tjiijaa。转置满足如下运算：();TTAA()TTTABAB；();()TTTTTkAkAABB A 2)设矩阵()ijn nAa，若(,1,)ijjiaai jn，则称A为对称矩阵；若ijjiaa (,1,)i jn，则称A为反对称矩阵。3)A为对称矩阵的充要条件是TAA；A为反对称矩阵的充要条件是TAA 3、可逆矩阵：矩阵可逆的条件是什么？可逆矩阵怎么求？(伴随矩阵，初等行变换)1)逆矩阵：对于矩阵n nAF，如果存在矩阵n nBF

13、使得ABBAI，就称A为可逆矩阵(简称A可逆)，并称B是A的逆矩阵，记作1AB。同样对于存在的B，其也可逆，且A是B的逆矩阵；A和B互为逆矩阵。2)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 3)伴随矩阵：设n阶矩阵()ijn nAa，ijA是行列式det A中元素ija的代数余子式，称cof()ijn nAA为A的代数余子式矩阵，并称cofA的转置矩阵为A的伴随矩阵，记作adjA或*A，即*(cof)TAA 4)(利用伴随矩阵求逆矩阵)矩阵A可逆的充分必要条件是0A，且1*1|AAA 5)可逆矩阵满足运算率：a)11()AA;b)111()(0)kAkAk;c)111()ABB A;d)11()(

14、)TTAA;e)1det()1/detAA，即11|AA b)设A是nn矩阵，证明：存在非零矩阵B使0AB 的必要条件是|0A(充分也成立)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！4 c)设方阵A满足2230AAI，证明：i)A和2AI都可逆，求出它们的逆；ii)3AI和AI不同时可逆；d)设A和B都是n矩阵，下列命题是否成立？若成立则证明，不成立，举出反例(i)若A，B皆不可逆，则AB也不可逆；(ii)若AB可逆，则A，B都可逆；(iii)若AB不可逆，则A，B都不可逆；(iv)若A可逆，则kA可逆(k是数)4、矩阵的初等变换和初等矩阵

15、1)初等行变换：以非零常数c乘矩阵的某一行倍乘变换；将矩阵的某一行乘以常数c加到另一行倍加变换；将矩阵的某两行对换位置对换变换。类似的有初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。2)初等变换矩阵：将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。a)初等倍乘矩阵()diag(1,1,1,1)iE cc，()iE c是由单位阵第i行(或列)乘c(0c)得到 b)初等倍加矩阵11()11ijiE ccj行行，()ijEc是由单位矩阵第i行乘c加到第j行得到的，第j列乘c加到第i列得到的；c)初等对换矩阵ijE是由单位矩阵第i，j行(或列)对换而得到的 3)结论：a）初等矩阵左乘矩阵A，相当

16、于做相应的行变换；右乘矩阵B，相当于做列变换 b)初等矩阵是可逆阵，且有(1/)();()();iiijijijijEc E cI Ec EcI E EI c)可逆矩阵可以经过若干次初等行变化化为单位矩阵，可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积；如果对可逆矩阵A和同阶的单位阵I做同样的初等变换，当A变为单位阵时I变为1A，即1(,)(,)A II A初等行变换 第三章 线性方程组 一、n维向量及其线性相关性 1、1)n元(维)向量：数域F上n个数12,na aa构成的有序数组，记做12(,)orna aa 12(,)Tna aa，分别称为行向量和列向量，其中ia称为的第i个分量，全体n元向量

17、的集合记为nF 2)向量的运算：两向量相等当且仅当对应元素全相等；和为对应元素相加；数乘为各元素都乘上数k。【注】n维行、列向量事实上可以看做F上1 n和1n矩阵，适用矩阵的运算和运算性质；矩阵的行、列可分别看成对应维数的行、列向量 3)向量空间：F上全体n维向量集合，在其上定义了加法和数乘，称为F上的n维向量空间，仍记nF，当为实数域R时为n维实向量空间记为nR 2、1)线性组合：设,(1,2,)niiFkF im，则向量11221miimmikkkk称为向量组12,m 在数域F上的一个线性组合。如果记1miiik，就说可由12,m 线性表示 2)线性相关：如果对m个向量12,nmF，有m个

18、不全为零的数12,mk kkF，使1 1220mmnkkk成欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！5 立，则称12,m 线性相关；否则，称为线性无关。3)充要条件：向量组12,(2)mm 线性相关的充要条件是12,m 中至少有一个向量可由其余的1m个向量线性表示。【注】i)逆否命题：向量组12,(2)mm 线性无关的充要条件是12,m 中任一个向量都不能由其余的1m个向量线性表示 ii)n维单位(基本)向量：n维向量12,n 称为n维单位向量；任一个n维向量1(,)naa都可表示为向量组12,n 的一个线性组合1 122nnaaa，其中(

19、0,0,1,0,0)i(1在第i个位置，其余位置均为 0)。iii)零向量是任一向量组的线性组合，所以任一含零向量的向量组总是线性相关 4)向量相关与方程组的关系：设12(,)TniiiniaaaF(1,2,im)，则12,m 线性相关的充要条件是齐次方程组0Ax 有非零解，其中11121212221212(,)mmnnnmmaaaaaaaaaA，12mxxxx【注】i)逆否命题：12,m 线性无关的充要条件是0Ax 只有零解；ii)如果nm，由高斯消元法知线性方程组必有自由未知量，即必有非零解；任何1n个n维向量都是线性相关的；nR中，任何一组线性无关的向量最多只能含n个向量 5)向量组扩充

20、的相关性质：i)如果向量组12,m 中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组也线性无关 ii）若向量组12,m 线性无关，而12,m 线性相关，则可由12,m 线性表示，且表示法唯一；特别的，若nF中的n个向量12,n 线性无关，则nF中的任一向量可由12,n 线性表示，且表示法唯一 iii)如果一个n维向量组12,m 线性无关，那么把这些向量各任意添加l个分量得到新的向量(nl维)组12*,*,*m也是线性无关的；如果12,m 是线性相关的，则去掉相同位置的若干个分量所得到的新的向量组也是线性相关的。【齐次方程组的零解、非零解】二、向量组的秩及其极大线

21、性无关组 1、秩：如果向量组12,m 中存在r个线性无关的向量，且其中任一个向量都可由这r个向量线性表示，则数r称为向量组的秩，记做 秩12,mr 【注】i)如果12,m 线性无关，则 秩12,mm；ii)秩为r的向量组中，任意1r 个向量是线性相关的；iii)秩的等价定义：若向量组中存在r个线性无关的向量，且任何1r 向量都线性相关，则称数r为向量组的秩 2、等价：如果向量组12,l 中每个向量可由向量组12,m 线性表示，就称前一个向量组可由后一个向量组线性表示。如果两个向量组可相互线性表示，则称这两个向量组是等价的 3、如果向量组12,l 可由向量组12,m 线性表示，且lm，则12,l

22、 线性相关。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！6【注】如果向量组12,l 可由向量组12,m 线性表示，且12,l 线性无关，则lm 4、极大线性无关组：秩为r的向量组中，任一个线性无关的部分组最多只能含有r个线性无关的向量；将只含有r个线性无关向量的向量组，称为极大线性无关组。一般情况下，极大线性无关组不唯一。【注】设 秩12,mp，秩12,lq，如果12,l 可由12,m 线性表示，则qp；特别的等价的向量组，秩相等。二、矩阵的秩、等价(相抵)标准形 1、矩阵的秩：对于矩阵A，把它的每一行(列)称为A的一个行(列)向量，把A的行(

23、列)向量组的秩称为其行(列)秩；mn的矩阵A的行秩m；列秩n；2、初等变换与矩阵的秩：a)如果对矩阵A做初等行变换将其化为B，则B的行秩等于A的行秩；b)对矩阵A做初等行变换化为B，则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性，即：1212(,)(,)nnAB 初等行变换，则列向量组12,riii 与12,riii 12(1)riiin有相同的线性相关性 c)初等变换不改变矩阵的行秩和列秩；矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵A的秩，记做()A秩或()r A d)()r An的n阶矩阵也称为满秩矩阵；n阶矩阵A满秩的充要条件是A为非奇异矩阵(即|0A)；【矩阵可逆的充要条件是A为满秩矩阵】3、加法

24、、乘法运算与矩阵的秩：a)()()()r ABr Ar B；b)()min(),()r ABr A r B(I)c)设A是mn矩阵，,P Q分别是m阶、n阶可逆矩阵，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ 4、子式及其与秩的关系：a)矩阵()ijm nAa的任意k个行(12,ki ii行)和任意k个列(12,kjjj列)的交点上的2k个元素按照原顺序排成的k阶行列式称为A的k阶子行列式，简称A的k阶子式；当k阶子式等于零(不等于零)时，称为k阶零子式(非零子式)；当1122,kkij ijij时，称为A的k阶主子式 b)()r Ar的充要条件是A的非零子式最高阶数为r 5、矩阵的等

25、价：a)若矩阵A经过初等变换化为B(或：存在可逆矩阵P和Q，使得PAQB)，就称A和B等价，记作AB b)矩阵等价的性质：i)反身性、对称性、传递性；ii)若A为mn矩阵，且()r Ar，则一定存在可逆矩阵P(m阶)和Q(n阶)，使得000rm nIPAQU，其中rI为r阶单位矩阵，右端的矩阵称为等价标准形【秩相同的同型矩阵等价，且全都等价于同一标准形】三、线性方程组Axb 1、齐次线性方程组(有非零解的条件和解的结构)：0Ax，A为mn矩阵 a)将A的列看成向量即12(,)nA，因此0Ax 等价于11220nnxxx，于是0Ax 有非零解的充要条件是12,n 线性相关，即()r An；特别的

26、，若A为方阵，|0A b)解的性质：若12,x x是齐次方程组0Ax 的两个解向量，则1 122xk xk x也是它的解 c)(i)基础解系：设12,px xx是0Ax 的解向量，如果12,px xx线性无关，0Ax 的任一个解都能由12,px xx线性表示，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！7 则称12,px xx是0Ax 的一个基础解系 (ii)解的存在与表示：设A是mn矩阵，若()r Arn，则齐次方程组0Ax 存在基础解系，且基础解系含nr个解向量；若记基础解系的nr个解向量为12,n rx xx，则0Ax 的一般解为1 12

27、2n rn rxk xk xkx，其中12,n rk kk为任意实数 (iii)矩阵的乘法与秩的关系 II：设,A B分别是mn和ns矩阵，且0AB，则()()r Ar Bn；特别的，()()Tr A Ar A 2、非齐次线性方程组(有解的条件和解的结构)：Axb，A为mn矩阵 a)将A的列看成向量即12(,)nA，因此Axb等价于1122nnxxxb，于是Axb有解的充要条件是b可由12,n 线性表示，即1212(,)(,)nnrbr (,)()rA br A即【增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩】；特别的，(,)()rA br AA的列数 时，Axb有唯一解。b)解的性质(结构)：(i)若12,

28、x x是Axb的解向量，则12xxx是对应的齐次方程组0Ax 的解向量 (ii)若Axb有 解，则 一 般 解 为0 xxx，其 中0 x是Axb的 一 个 特 解(某 一 个 解)，x是0Ax 的 一 般 解1 122,()n rn rxk xk xkxrr A 第四章 向量空间与线性变换 一、什么是向量空间(前面已介绍：集合+线性运算)？如何刻画？1、nR的基与向量关于基的坐标：设有序向量组12,nnBR 如果B线性无关，则nR中任一向量均可由B线性表示，即1122nnaaa，就称B是nR的一组基(或基底)，有序数组12(,)na aa是向量关于基B(在基B下)的坐标，记做12(,)Bna

29、 aa或 12(,)TBna aa，并称之为的坐标向量；特别的n个单位向量组成的基称为自然基或标准基 2、不同的基之间有什么关系？过渡矩阵，坐标变换公式 a)设112,nB 是nR的一组基，且11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa，则12,n 线性无关的充要条件是111212122211det0,nnnnnnaaaaaaAAaaa其中 b)将 a)中12,n 与12,n 的关系写成矩阵形式有1212(,)(,)nnA ，若212,nB 与112,nB 均为nR的基，则称A为旧基1B到新基2B的过渡矩阵(或称A是基1B到基2B的变换矩阵)。事实上，根据 a

30、)，A的第j列是j在旧基1B下的坐标 c)向 量 在 不 同 基 下 的 坐 标 关 系：设 向 量在 两 组 基112,nB 和212,nB 下 的 坐 标 分 量 分 别 为欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！8 12(,)Tnxx xx和12(,)Tnyy yy。基1B到基2B的过渡矩阵为A，则Ayx或1yA x 二、欧式空间、标准正交基和正交矩阵 1、什么是欧式空间？向量空间(向量集合+线性运算)+长度、角度度量(内积运算)内积：设12(,)Tna aa和12(,)Tnnb bbR，规定与的内积为：1 122(,)nna ba

31、ba b。a)当,均为列向量，看成矩阵有(,)TT ；若均为行向量类似。b)性质：交换性(,)(,)；线性(加法、数乘)；非负性(,)0，等号成立当且仅当0 c)向量的长度(,)；向量内积满足|(,)|，称为柯西-施瓦茨不等式 d)向量,之间的夹角定义为(,),arccos ；非零向量,正交(垂直)的充要条件是(,)0 2、特殊的基：标准正交基 a)nR中两两正交且不含零向量的向量组(称为非零正交向量组)12,s 是线性无关的 b)设12,nnR，若1,(,),1,2,0,ijiji jnij，则称12,n 是nR的一组标准正交基，如单位向量组，或212(cos,sin),(sin,cos)R

32、 等等 c)非正交基如何化成标准正交基：施密特正交化方法。将nR一组线性无关向量12,m 化为标准正交向量组步骤：i)正交化：11;11111111(,)(,)(2)(,)(,)jjjjjjjjj ii)单位化：1(1,2,)|jjjjm，12,m 为一标准正交向量组(当mn时为基)3、正交矩阵及其性质：a)设n nAR，如果TA AI，就称A为正交矩阵；(以后二次型用)b)A为n阶正交矩阵的充要条件是A的列向量组为一组标准正交基；c)设,A B皆是n阶正交矩阵，则有 i)det11A或；ii)1TAA；iii)1,TAA也是正交阵；iv)AB也是正交阵 d)若 列 向 量,nx yR在n阶

33、正 交 矩 阵A作 用 下 变 换 为,nA x A yR则 向 量 的 内 积、长 度、夹 角 均 不 变，即(,)(,);|;,A x A yx yA xxA x A yx y 第五章 特征值与特征向量 矩阵对角化 一、什么是矩阵的特征值和特征向量？怎么求(步骤)？有什么性质？1、设A为复数域C上的n阶矩阵，如果存在数C和非零的n维向量使得A，就称是矩阵A的一个特征值，是A属于(或对应于)特征值的一个特征向量 2、如何求？根据定义特征值就是使得()0EA有非零解的值，即满足det()0EA的是特征值；因此步骤为 i)求欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭

34、诚为您提供优质的文档！9 det()0EA的根12,n(可能有重根)；ii)求每个特征根i所对应方程组()0iEA的非零解(基础解系)，即为特征值i所对应的特征向量。事 实 上，称1 11 212 12 2212()det()nnnnnnaaaaaafEAaaa为 矩 阵A的 特 征 多 项 式；EA为 特 征 矩 阵；det()0EA为特征方程 3、特征值和特征向量的性质 a)若12,都是A的属于特征值0的特征向量，则1 122kk(12,k k任意，但1 1220kk)也是A的属于0的特征向量 b)设n阶矩阵()ijAa的n个特征值为12,n，则 i)11tr()(A)nniiiiiaA的

35、迹；ii)1detniiA c)若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则 i)k是kA的特征值；ii)m是mA的特征根；iii)当A可逆时，1是1A的特征根；且仍是对应的特征向量 d)矩阵A和TA的特征值相同，即det()det()TEAEA 例 9：设121242121A，求A的特征值和特征向量，并求可逆矩阵P使1P AP为对角矩阵 结论：一般的，求可逆矩阵P使1P AP为对角矩阵的步骤为 i)求A的特征值和特征向量；ii）将(1,)iiiAin(包括重根，如果存在的话)排成矩阵的形式12(,)nA 112(,)nn，取12(,)nP 即可 二、相似矩阵及其性质(什么是相似矩阵？比较前面

36、学的等价矩阵)1、对于矩阵A和B，若存在可逆矩阵P，使1P APB，就称A相似于B，记作AB 2、矩阵的相似关系也是一种等价关系，满足反身性、对称性、传递性 3、关于乘积的：i)1111212P A A PP A PP A P；ii)若AB，则mmAB(m为正整数)；iii)若AB，则()()f Af B，其中1110(),nnnnf xa xaxa xa 11110110(),()nnnnnnnnf Aa AaAa Aa E f Ba BaBa Ba E 4、相似矩阵的特征值相同，但是逆命题不成立 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！

37、10 例 10：设,A B为同阶方阵，i)如果,A B相似，试证,A B的特征多项式相同；ii)举一个二阶方阵的例子说明 i)的逆命题不成立；(过渡到后面的矩阵可对角化条件)iii)当,A B均为实对称矩阵时，试证 i)的逆命题成立(后话)第五章 特征值与特征向量 矩阵对角化 第六章 二次型 1、相似标准形：若A与对角阵相似，则的主对角元都是A的特征值，若不计i的顺序，则是唯一的，称为A的相似标准形 2、矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的；因此若A有n个互不相同的特征值，则A与对角阵相似 3、矩阵A的属于不同特征值的线性无关特征向量组成的向量组仍是线性无关的 4、n阶矩阵A与对角矩阵

38、相似的充分必要条件是A的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数 四、实对称矩阵、二次型、合同阵 1、实对称矩阵的特征值和特征向量：实对称矩阵A的任一个特征值都是实数，且对应于不同特征值的特征向量是正交的 2、对于任一个n阶实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵Q使得112,nQ AQdiag 【如何寻找正交矩阵Q使得112,nQ AQdiag】格式化的步骤如下：第一步：求特征值。由特征方程1|()0imriiIA得到全部互异特征值12,m；第二步：求特征向量并正交化。由()0iIA x求出每个ir重特征值i所对应的ir个特征向量12,riiii 并用施密特正交化方法得到ir个单位

39、化正交向量12,riiii；由于不同特征值所对应的特征向量正交，因此得到12,|1,2,riiiiim 为n个相互正交的单位特征向量；第三步：摆成矩阵。将得到n个相互正交的单位特征向量按列摆成n阶矩阵，就是所求的矩阵Q 例 2：设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3，向量12(1,2,1),(0,1,1)TT 是线性方程组0Ax 的两个解。(I)求A的特征值和特征向量(已讲)；(II)求正交矩阵Q和对角矩阵使得TQ AQ 例 3：设三阶实对称矩阵A的特征值12311,2,2,(1,1,1)T 是A属于1的一个特征向量。记534BAAE，其中E为三阶单位矩阵(I)验证1是矩阵B的特征向量，并求

40、B的全部特征值(已讲)和特征向量；(II)求矩阵B 3、二次型与实对称矩阵的关系 1)n元变量12,nx xx的二次齐次多项式 221211 1121213 13112222323222(,)22222 nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x 称为一个二次型；利用矩阵的乘法二次型可以写为矩阵乘积的形式：12(,)Tnf x xxx Ax，称A为二次型所对应的矩阵，其中欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！11 111212122212,nnijjinnnnaaaaaaAaaaaa为

41、实对称矩阵；矩阵A的秩也称为二次型12(,)Tnf x xxx Ax的秩 2)合同：对于两个矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得TC ACB，就称A合同(或相合)于B，记做A B,A和B是合同矩阵 3)化 二 次 型 为 标 准 形：寻 找 坐 标 变 换xCy把 二 次 型12(,)Tnf x xxx Ax化 为12,ny yy的 平 方 和2221122nnd yd yd y(把含平方项而不含混合项的二次型称为标准二次型)，事实上就是寻找可逆矩阵C，使TC AC成为对角矩阵【掌握正交变换方法和配方法】a.正 交 变 换：利 用 实 对 称 对 角 化 方 法 寻 找n阶 正 交 矩 阵Q使

42、 得112,nQ AQdiag，二 次 型222121122(,)TTTnnnf x xxx Axx Q AQxyyy b.配方法：借助例题说明，依次配ix的平方项及含有ix的混合项 4)惯性定理和二次型规范形 a.什么是惯性定理？二次型化为标准形后，正平方项和负平方项的项数唯一确定；正平方项的个数称为正惯性指数，负平方项的个数称为负惯性指数；正、负惯性指数的差称为符号差 b.什么是二次型规范形？存在坐标变换xCy使得二次型：2222221212Tpppp qx Axyyyyyy，称右端为Tx Ax的规范形 注：两实对称矩阵A和B合同的充要条件是A,B有相同的正惯性和负惯性指数；全体n阶实对称矩阵，按照合同规范形分类共有(1)(2)2nn类 5)什么是正定二次型即正定矩阵？有什么性质？a.如果对于任意的非零向量12(,)Tnx xx恒有12(,)0Tnf x xxx Ax，就称Tx Ax为正定二次型，A为正定矩阵 b.Tx Ax是正定二次型；A的正惯性指数为n，即A I；存在可逆阵P使得TAP P；A的n个特征值全大于零以上四条等价，适当选取来判别矩阵或二次型的正定