三角恒等变换 （学生版）.pdf

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1、三角恒等变换三角恒等变换【考点预测】【考点预测】知识点一两角和与差的正余弦与正切知识点一两角和与差的正余弦与正切sin()=sincoscossin；cos()=coscossinsin；tan()=tantan1tantan；知识点二二倍角公式知识点二二倍角公式sin2=2sincos；cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2；tan2=2tan1-tan2；知识点三：降次知识点三：降次(幂幂)公式公式sincos=12sin2;sin2=1-cos22;cos2=1+cos22;知识点四：半角公式知识点四：半角公式sin2=1-cos2;cos2=1+cos2;tan2

2、=sin1+cos=1-cossina.知识点五辅助角公式知识点五辅助角公式asin+bcos=a2+b2sin(+)(其中sin=ba2+b2，cos=aa2+b2，tan=ba)【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】1.两角和与差正切公式变形两角和与差正切公式变形tantan=tan()(1tantan)；tantan=1tan+tantan(+)=tantantan()12.降幂公式与升幂公式降幂公式与升幂公式sin2=1cos22；cos2=1+cos22；sincos=12sin2；1+cos2=2cos2；1cos2=2sin2；1+sin2=(sin+cos)2；1sin2=(si

3、ncos)23.其他常用变式其他常用变式sin2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2；cos2=cos2sin2sin2+cos2=1tan21+tan2；tan2=sin1+cos=1cossin3.拆分角问题：=22；=(+)-；=-(-)；=12(+)+(-)；=12(+)-(-)；4+=2-4-注意 特殊的角也看成已知角，如=4-4-【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明题型一：两角和与差公式的证明题型二：给式求值题型二：给式求值题型三：给值求值题型三：给值求值题型四：给值求角题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角题型五：正切恒等式及求

4、非特殊角【典例例题】【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明题型一：两角和与差公式的证明例例1.1.(20222022 山西省长治市第二中学校高一期末山西省长治市第二中学校高一期末)(1)试证明差角的余弦公式 C(-)：cos(-)=coscos+sinsin；(2)利用公式C(-)推导：和角的余弦公式C(+)，正弦公式S(+)，正切公式T(+)；倍角公式S(2)，C(2)，T(2).例例2.2.(20222022 云南云南 昭通市第一中学高三开学考试昭通市第一中学高三开学考试(文文)已知以下四个式子的值都等于同一个常数sin226+cos234-3sin26cos34；sin239+cos2

5、21-3sin39cos21；sin2-52+cos2112-3sin-52cos112；sin230+cos230-3sin30cos30.(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.例例3.3.(20222022 陕西省商丹高新学校模拟预测陕西省商丹高新学校模拟预测(理理)如图带有坐标系的单位圆 O 中，设 AOx=，BOx=，AOB=-，(1)利用单位圆向量知识证明：cos(-)=coscos+sinsin(2)若2,，0,2，cos(-)=-45，tan=-512，求cos的值例例4.4.(20222022 全国全国 高

6、三专题练习高三专题练习)如图，考虑点A(1,0)，P1(cos,sin)，P2(cos,-sin)，P(cos(+),sin(+)，从这个图出发.(1)推导公式：cos(+)=coscos-sinsin；(2)利用(1)的结果证明：coscos=12cos(+)+cos(-)，并计算sin37.5cos37.5的值.题型二：给式求值题型二：给式求值例例5.5.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知 sin=2 67，cos-=105，且 0 34，0 34，则 sin=()A.9 1535B.11 1035C.1535D.1035例例6.6.(20202020 四川四川

7、乐山外国语学校高三期中乐山外国语学校高三期中(文文)已知sin 15-2=tan210，则sin 60+的值为()A.13B.-13C.23D.-23例例7.7.(20202020 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若cos3-2x=-78，则sin x+3的值为().A.14B.78C.14D.78例例8.8.(多选题多选题)()(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设sin+6+sin=3+12，则sin-3=()A.32B.12C.-12D.-32例例9.9.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测(文文)已知,0,2，cos2=35，cos+=45，则 cos

8、=_.例例10.10.(20222022 上海静安上海静安 模拟预测模拟预测)已知sin+4=-32，则sin2的值为_例例11.11.(20222022 江苏泰州江苏泰州 模拟预测模拟预测)若=0时，f=sin2-cos2取得最大值，则sin 20+4=_题型三：给值求值题型三：给值求值例例12.12.(20222022 福建省福州第一中学三模福建省福州第一中学三模)若sin=-35，且,32，则1-tan21+tan2=()A.12B.-12C.2D.2例例13.13.(20222022 湖北武汉湖北武汉 模拟预测模拟预测)已知sin6-x=14，则cos 2x-3=()A.-78B.78

9、C.-154D.154例例14.14.(20222022 湖北湖北 模拟预测模拟预测)已知-2,2，且cos-4=12，则cos2=()A.-32B.32C.12D.32例例15.15.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测)已知sin3+=15，则cos 2-3=()A.2325B.-2325C.2 55D.-2 55例例16.16.(20222022 黑龙江黑龙江 哈师大附中三模哈师大附中三模(文文)已知sin 45+=35，45135，则cos2=()A.2425B.-2425C.725D.-725例例17.17.(20222022 广东茂名广东茂名 模拟预测模拟预测)已知sin

10、-6=12，则cos+3=()A.-32B.-12C.12D.32例例18.18.(多选题多选题)()(20222022 江苏江苏 高三专题练习高三专题练习)已知4 ，32，sin2=45，cos(+)=-210，则()A.cos=-1010B.sin-cos=55C.-=34D.coscos=-25题型四：给值求角题型四：给值求角例例19.19.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测)已知623，4 3sin15sin-3+4sin15cos3-+tan15=3，则=_例例20.20.(20222022 河南河南 南阳中学高三阶段练习南阳中学高三阶段练习(文文)已知 sin4-=-5

11、5,sin34+=1010，且 4,34,0,4，求-的值为_例例21.21.(20222022 河北石家庄河北石家庄 一模一模)已知角 0,2，tan12=sin-sin12cos+cos12，则=_.例例22.22.(20222022 上海市大同中学高三开学考试上海市大同中学高三开学考试)若 0,，且cos2=sin4-，则的值为 _.例例23.23.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若sin2=55，sin-=1010，且4,2，,32，则+的值是_例例24.24.(20222022 吉林吉林 延边州教育学院一模延边州教育学院一模(理理)若sin2=55，sin-=

12、1010，且4,，,32，则+=()A.74B.4C.43D.53例例25.25.(20222022 上海交大附中高三开学考试上海交大附中高三开学考试)已知、都是锐角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，那么、之间的关系是()A.+=4B.-=4C.+2=4D.+2=2例例26.26.(20222022 江苏省江阴高级中学高三开学考试江苏省江阴高级中学高三开学考试)已知tan=13,tan=-17,且,(0,)，则2-=()A.4B.-4C.-34D.-34或4题型五：正切恒等式及求非特殊角题型五：正切恒等式及求非特殊角例例27.27.(20222022 湖北湖北 襄阳四

13、中模拟预测襄阳四中模拟预测)若角 的终边经过点 P sin70,cos70，且 tan+tan2+mtan tan2=3，则实数m的值为()A.-3B.-33C.33D.3例例28.28.(20212021 重庆八中高三阶段练习重庆八中高三阶段练习)sin10+34tan10=()A.14B.34C.12D.32例例29.29.(20202020 重庆一中高三阶段练习重庆一中高三阶段练习)求值：1-3tan101-cos20=()A.1B.2C.3D.2 2例例30.30.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)tan30+tan70sin10=_.例例31.31.(20222

14、022 江苏南通江苏南通 高三期末高三期末)若1+3tan80=1sin，则的一个可能角度值为_.例例32.32.(20222022 江苏扬州江苏扬州 模拟预测模拟预测)1-tan751+tan75=_例例33.33.(20222022 贵州黔东南贵州黔东南 一模一模(文文)若tan+=13，tan a-=16，则tan2=_.例例34.34.(20222022 山东山东 青岛二中高三开学考试青岛二中高三开学考试)tan10+tan35+tan10tan35=_【过关测试】【过关测试】一、一、单选题单选题1.(20222022 四川省泸县第二中学模拟预测四川省泸县第二中学模拟预测(文文)已知角

15、 与角 的顶点均与原点 O重合，始边均与 x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称若cos=35，则cos+cos-=()A.-725B.15C.-15D.7252.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测(理理)已知sin+cos=1，cos+sin=3，则cos(-)=()A.0B.12C.32D.13.(20222022 青海青海 大通回族土族自治县教学研究室三模大通回族土族自治县教学研究室三模(文文)已知tan+4=3，tan+=13，则tan=()A.-17B.17C.1D.2或64.(20222022 湖北湖北 黄冈中学模拟预测黄冈中学模拟预测)公元前6世纪，古希腊的毕达哥

16、拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18，若m2+n=4，则m n2sin227-1=()A.-4B.-2C.2D.45.(20222022 山东烟台山东烟台 三模三模)若2cos2-3=1+cos2，则tan2的值为()A.-33B.33C.-3D.36.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测(文文)设角，的终边均不在坐标轴上，且tan-+tan=tan，则下列结论正确的是()A.sin+=0B.cos-=1C.sin2+sin2=1D.sin2+cos2=17.(20222022 河南河南 通许县第一高级中学模拟预测

17、通许县第一高级中学模拟预测(文文)已知+=15，则1+tan+tan-tantan1-tan-tan-tantan=()A.-33B.33C.1D.38.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若 0 2,-2 0,cos4+=13,cos4-2=33，则cos+2=()A.33B.-33C.5 39D.-69二、二、多选题多选题9.(20222022 海南海口海南海口 二模二模)已知,2，sin=tan2=tan2，则()A.tan=3B.cos=12C.tan=4 3D.cos=1710.(20222022 河北邯郸河北邯郸 二模二模)下列各式的值为12的是().A.sin

18、176B.sin12cos12C.cos212-sin212D.tan81-tan2811.(20222022 重庆重庆 西南大学附中模拟预测西南大学附中模拟预测)已知，0,2，且+=2，则()A.若sin+cos=2，则tan=1B.若tan=2，则sin(+)=55C.tan，tan可能是方程x2-6x+7=0的两根D.tantan+tantan+tantan=112.(20222022 重庆巴蜀中学高三阶段练习重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知 cos+=-55，cos2=-45，其中,为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2=35B.cos-=2 55C.coscos=310D.tant

19、an=13三、三、填空题填空题13.(20222022 浙江浙江 高考真题高考真题)若3sin-sin=10,+=2，则sin=_，cos2=_14.(20222022 山东师范大学附中模拟预测山东师范大学附中模拟预测)已知02，sin4-=26，则sin1+tan=_.15.(20222022 湖北省仙桃中学模拟预测湖北省仙桃中学模拟预测)已知3cos32-+cos(+)=-1，则cos 2-23=_.16.(20222022 陕西陕西 宝鸡中学模拟预测宝鸡中学模拟预测)sin+75+cos+45-3cos+15=_.四、四、解答题解答题17.(20222022 江苏南京江苏南京 模拟预测模

20、拟预测)已知02，cos+4=13(1)求sin的值；(2)若-20，cos2-4=33，求-的值18.(20222022 江西江西 高一期中高一期中)已知角为锐角，2-，且满足tan2=13，sin-=7 210(1)证明：04；(2)求.19.(20222022 河南河南 唐河县第一高级中学高一阶段练习唐河县第一高级中学高一阶段练习)(1)已知tan=-2，求sin(1+sin2)sin+cos的值；(2)已知tan(-)=12，tan=-17，且，(0,)，求2-20.(20222022 江西江西 高一阶段练习高一阶段练习)在tan2=43，sin=55这两个条件中任选一个，补充到下面的

21、问题中，并解答已知角是第一象限角，且(1)求tan的值；(2)求sin 2+2+cos+cos+32的值注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分21.(20222022 北京市第九中学高一期中北京市第九中学高一期中)已知tan=12，0,2，2,，求(1)求sin的值；(2)求1+2sin-cos-2-sin2-sin252-的值；(3)若sin+=1010，求cos的值.22.(20192019 黑龙江黑龙江 哈尔滨三中高三阶段练习哈尔滨三中高三阶段练习(文文)1求3tan12-3sin12 1-2sin212的值；2已知 0,4,32,2，tan-=12，tan=-17，求2-的值23.(20202020 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，满足 sin2A-cos2B+2sinAsinB=-cos2C(1)求C；(2)设cosAcosB=3 25，cos+Acos+Bcos2=25，求tan的值.