2022年二次函数动点问题解答方法技巧.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数ax2+bx+c=0中 a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判定图象的位置,要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标 . 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式 ax2+bx+c a 0 本身就是所含字母 x的二次函数；下面以 a0 时为例,揭示

2、二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点 -问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特殊要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置；）动点问题始终是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相像三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值；下面就此问题的常见题型作简洁介绍,解题方法、关键给以点拨；二、抛物线上动点已知抛物线yax2bx3（a 0）与 x 轴交于点 A1,0和点 B 3,0,与 y 轴交5、（湖北十堰市）如图,于点 C1 求抛物线的解析式

3、；2 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ,问在对称轴上是否存在点 P,使 CMP 为等腰三角形？如存在,请直接写出全部符合条件的点 P 的坐标；如不存在,请说明理由3 如图,如点 E 为其次象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的最大值,并求此时 E 点的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 留意：第（ 2）问按等腰三角形顶点位置分类争论画图再由图形性质求点P 坐标 - C为顶点时,以C为圆心 CM为半径画弧, 与对称轴交点即为所求点 P,M为顶点时, 以 M为圆心 MC为半径画弧, 与

4、对称轴交点即为所求点 P,P为顶点时,线段 MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P；第（ 3）问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二,先求与 BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简洁二元二次方程组）,再求面积；07 08 09 动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边抛物线中特殊直角梯形底考查难点探究相像三角形上移动边上移动探究三角形面积函探究等腰三角形数关系式名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考菱形性质求直线解析式求抛物线顶点坐标特殊角三角函数四边形面积

5、的表探究平行四边形求直线、抛物线解析式示探究动三角形面积是定点相像三角形动三角形面积函值不等式数矩形性质探究等腰三角形存在性菱形是含60 的特殊菱形；观看图形构造特直角梯形是特殊的（一底特 AOB是底角为30 的等腰三征适当割补表示面角是 45 ）角形；积点动带动线动一个动点速度是参数字母；动点按到拐点时线动中的特殊性（两个交探究相像三角形时, 按对应角间分段分类点 D、E 是定点； 动线段 PF不同分类争论； 先画图,再探究；画出矩形必备条长度是定值, PF=OA ）点通过相像三角形过度,转化相件的图形探究其存通过相像三角形过度,转似比得出方程；在性化相像比得出方程；利用a、t 范畴,运用不

6、等式探究等腰三角形时,先画求出 a、t 的值；图,再探究（按边相等分类争论）共同点：特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相像、等腰三角形、面积函数关系式）；求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时,先画出图形,再依据图形性质探 究答案；二次函数的动态问题（动点）1.如图,已知抛物线C 与坐标轴的交点依次是A 4 0, ,第 3 页,共 23 页B 2 0, ,E0 8, （1）求抛物线C 关于原点对称的抛物线C 的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）设抛物线 C 的顶点为 M ,抛物线 C 与 x 轴分别

7、交于 C,D 两点（点 C 在点 D 的左侧）,顶点为 N ,四边形MDNA 的面积为 S如点 A ,点 D 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动； 与此同时, 点 M ,点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动, 直到点 A 与点 D 重合为止 求出四边形 MDNA的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式,并写出自变量 t 的取值范畴；（3）当 t 为何值时,四边形 MDNA 的面积 S 有最大值,并求出此最大值；（4）在运动过程中,四边形 MDNA 能否形成矩形？如能,求出此时 t 的值；如不能,请说明理由解 （1）点 A 4 0, ,点 B 2

8、 0, ,点 E 0 8, 关于原点的对称点分别为 D 4 0, ,C 2 0, ,F 0,8设抛物线 C 的解析式是2y ax bx c a 0,16 a 4 b c 0,就 4 a 2 b c 0,c 8a 1,解得 b 6,c 8所以所求抛物线的解析式是 y x 26 x 8（2）由（ 1）可运算得点 M 3,1,N 31, 过点 N 作 NH AD ,垂足为 H 当运动到时刻 t 时,AD 2 OD 8 2 t ,NH 1 2 t 依据中心对称的性质 OA OD,OM ON,所以四边形 MDNA 是平行四边形所以 S 2 SADN所以,四边形 MDNA 的面积 S 8 2 1 2 4

9、t 214 t 8由于运动至点 A 与点 D 重合为止,据题意可知 0t 42所以,所求关系式是 S 4 t 14 t 8, t 的取值范畴是 0t 4（3）S 4 t 7 81,（ 0t 4）4 4所以 t 7 时, S 有最大值814 4提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形2AD,MN,所以当 ADMN 时四边形 MDNA 是矩形第 4 页,共 23 页由（ 2）知四边形 MDNA 是平行四边形,对角线是所以 ODON 所以OD2ON2OH2NH名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以t24 t220

10、解之得t 162,t 262（舍）所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形,此时t62 点评 此题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,是一道较传统的压轴题,才能要求较高；2. （06 福建龙岩卷）如图,已知抛物线 y 3x 2bx c 与坐标轴交于 A, ,C 三点,点 A 的横坐标为 1,过4点 C 0 3, 的直线 y 3x 3 与 x 轴交于点 Q ,点 P 是线段 BC 上的一个动点, PH OB 于点 H 如 PB 5 t ,4 t且 0 t 1（1）确定 b,c 的值：b _,c _；（2）写出点 B, ,P 的坐标（其中 Q,P 用含 t 的式子表示） ：B

11、 _ _,Q _ _,P _ _；（3）依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使PQB 为等腰三角形？如存在,求出全部 t 的值；如不存在,说明理由y解 （1）b39ACQPBx4c（2）B4 0OHQ4 0P44 3 （3）存在 t 的值,有以下三种情形名师归纳总结 当 PQPB 时QBCPQDB第 5 页,共 23 页PHOB ,就 GHHB44 t4 t4 tt1 3当 PBQB 时得 44 t5 tt4 9当 PQQB 时,如图解法一：过 Q 作 QDBP ,又 PQ就BDBP5t22O又BDQBOC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BDBQt

12、 表示,进行BOBC5 t2444 t532 t57解法二：作 RtOBC斜边中线 OE就OEBE,BEBC5,22此时OEBPQBCPEBEOBBQPB54OQB244 t5 tt32 57解法三：在 RtPHQ中有QH2PH2PQ2CP8 t423 244 2又57t232 t0（舍去）OHQBt32,570 tt01当t1或4 9或32 57时,PQB为等腰三角形3解法四：数学往往有两个摸索方向：代数和几何,有时可以独立摸索,有时需要综合运用；代数争论：运算出PQB 三边长度,均用t 表示,再争论分析Rt PHQ 中用勾股定理运算PQ 长度,而PB、BQ 长度都可以直接直接用分组争论即可

13、运算； 点评 此题综合性较强,涉及函数、相像性等代数、几何学问,1、2 小题不难,第3 小题是比较常规的关于等腰三1角形的分类争论,需要留意的是在进行争论并且得出结论后应当检验,在此题中如求出的t 值与题目中的 0t冲突,应舍去1 3.如图 1,已知直线 y 2（1）求 A,B 两点的坐标；x 与抛物线y1x26交于 A,B两点4（2）求线段 AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图 2,取与线段 AB 等长的一根橡皮筋,端点分别固定在 A,B 两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB 上方的抛物线上移动, 动点 P 将与 A,B 构成很多个三角形, 这些三角形中是否存在一个面积最大的三

14、角形？假如存在,求出最大面积,并指出此时P点的坐标；假如不存在,请简要说明理由y y名师归纳总结 BOxBOP x第 6 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 （1）解：依题意得y1x26解之得x 163x 244y1xy 1y 222A 6,3 ,B,4 2xy1xm（2）作 AB 的垂直平分线交x 轴, y 轴于 C,D两点,交 AB 于 M （如图 1）由（ 1）可知：OA3 5OB2 5yAB5 5OM1ABOB5OCOM,OC5,B C A 22OM 过 B 作 BEx轴, E 为垂足D 由BEOOCM,得：OBOE4图 1

15、同理：OD5,C5, ,0D0,5 2第 26 题24设 CD 的解析式为ykxb k0055kbk254bb22AB 的垂直平分线的解析式为：y2x52（3）如存在点P 使APB的面积最大,就点P 在与直线 AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线2上,并设该直线与x 轴, y 轴交于 G,H两点（如图2）y1xm2y1x2641x21xm6042第 7 页,共 23 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线与直线只有一个交点,1241m60,B yP A G x24m25P1,2344在直线GH：y1x25中,24G25, ,0H0,

16、254H 2GH255O4设 O 到 GH 的距离为 d ,1GH d1OG OH22125 5d1252524224图 2 d552ABGH,P 到 AB 的距离等于 O到 GH 的距离 d 另解：过 P 做 PC y 轴, PC 交 AB 于 C,当 PC 最大时PBA 在 AB 边上的高 h 最大（ h 与 PC 夹角固定）,就 SPBA最大 问题转化为求PC 最大值,设P（ x, ）,C（x, ）,从而可以表示PC 长度,进行极值求取；最终,以 PC 为底边,分别运算 SPBC和 SPAC即可； 点评 这是一道涉及二次函数、方程、几何学问的综合压轴题,有肯定的才能要求,第 3 小题是一

17、个最值问题,解 此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题；4.如图,正方形ABCD的顶点 A,B的坐标分别为010, ,8 4,顶点 C,D在第一象限点P 从点 A 动身,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时, 点 Q 从点E4 0, 动身, 沿 x 轴正方向以相同速度运动当点 P 到达点 C 时,P,Q两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒（1）求正方形 ABCD 的边长（2）当点 P 在 AB 边上运动时,OPQ的面积 S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示） ,求 P,Q两点的运动速度S 取最大值时点P 的坐标（3）求（ 2）中面积 S （平方单位）与时间t

18、 （秒）的函数关系式及面积（ 4）如点 P,Q保持（ 2）中的速度不变,就点P 沿着 AB 边运动时,OPQ的大小随着时间t 的增大而增大；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 沿着 BC 边运动时,OPQ的大小随着时间t 的增大而减小当点P 沿着这两边运动时,使OPQ90的点 P有个c a0的顶点坐标是b,4 ac4 ab2（抛物线yax2bx2 ayDsAPC2820BQ10t第 9 页,共 23 页OExO图图解 （1）作 BFy 轴于 F A010, ,B8 4, ,FB8,FA6AB10（2）由图可知,点P

19、从点 A 运动到点 B 用了 10 秒又AB1010101P,Q两点的运动速度均为每秒1 个单位（3）方法一：作PGy 轴于 G ,就 PGBFGAAP,即GAtFAAB610GA3t 5OG103t 5OQ4t ,S1OQOG1t4103t225即S3t219t20105b219319,且01910,52a3310当t19 S3时, 有最大值名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此时GP4t76,OG103t31 5,1 2OG OQ63（8 分）5155点 P 的坐标为76 31,15 59,S方法二：当t5时,OG7,OQ2设所求函数关

20、系式为Sat2bt20抛物线过点10 28, ,5 632,100a10b2028,25a5 b2063.2a3,10b19 . 5S3t219t201051910,19b25319,且02a3310当t19时, S 有最大值3此时GP76,OG31,155点 P 的坐标为76 31,15 5（4） 2 点评 此题主要考查函数性质的简洁运用和几何学问,是近年来较为流行的试题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,信任解决这种问题不会特别难；5. 如图, RtABC 中,B 90,CAB 30它的顶点 A 的坐标为 10 0, ,顶点 B 的坐标为 5 5 3,AB 10,点 P 从点 A 动身

21、,沿 A B C 的方向匀速运动,同时点 Q 从点 D 0 2, 动身,沿 y 轴正方向以相同速度运动,当点 P 到达点 C 时,两点同时停止运动,设运动的时间为 t 秒（1）求 BAO的度数（2）当点 P 在 AB 上运动时,OPQ 的面积 S （平方单位）与时间 t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分,（如图）,求点 P 的运动速度（3）求（ 2）中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标名师归纳总结 第 10 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）假如点 P,Q 保持（ 2）中的速度不变,那么

22、点 P 沿 AB 边运动时,OPQ 的大小随着时间 t 的增大而增大；沿着 BC 边运动时,OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小,当点 P 沿这两边运动时,使 OPQ 90 的点 P 有几个？请说明理由y C 30 S B Q P 10 的点 P 有 2 个D O A （第 29 题图）x O 5 t （第 29 题图）解: （1）BAO60（2）点 P 的运动速度为2 个单位 /秒（3）P10t,3 （ 0 5）S1 2 2t210tt9212124当t9时, S 有最大值为121 4,2此时P11 9 3,2 2（4）当点 P 沿这两边运动时,OPQ90当点 P 与点 A 重合时,OP

23、Q90,当点 P 运动到与点 B 重合时, OQ 的长是 12 单位长度,作OPM90交 y 轴于点 M ,作 PHy 轴于点 H ,QyB PC由OPHOPM得：OM20 311.5,3所以 OQOM ,从而OPQ9090的点 P 有 1 个所以当点 P 在 AB 边上运动时,OPQ同理当点 P 在 BC 边上运动时,可算得OQ1210 317.83MHD名师归纳总结 OAx第 11 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而构成直角时交 y 轴于 0,35 3,35 3 20.2 17.8,3 3所以OCQ 90,从而OPQ 90 的点

24、P 也有 1 个所以当点 P 沿这两边运动时,OPQ 90 的点 P 有 2 个6.（此题满分 14 分） 如图 12 ,直线 y 4 x 4 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C ,已知二次函数的图象经过点3A 、 C 和点 B 1 , 0 . （1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为 M ,求四边形 AOCM 的面积；（ 3）有两动点 D、E同时从点O动身,其中点 D以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 OAC 按 O A C 的路线2运动,点 E 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线 OCA 按 O C A 的路线运动,当 D 、 E 两点相遇时,它们都停止运动 .

25、 设 D 、 E 同时从点 O 动身 t 秒时,ODE 的面积为 S . 请问 D 、 E 两点在运动过程中,是否存在 DE OC ,如存在,恳求出此时 t 的值；如不存在,请说明理由；恳求出 S关于 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范畴；设 S 是中函数 S的最大值,那么 S = . 解：（1）令 x 0,就 y 4；令y0就x3A3 0, C0 4二次函数的图象过点C0 4,可设二次函数的关系式为yax2bx4A3 0, B1 0第 12 页,共 23 页又该函数图象过点0 09 a3 b4,ab4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

26、- - 解之,得a4,b84x28x4ByEMDAx33所求二次函数的关系式为y33（2）y4x28x433=4x121633顶点 M 的坐标为1,163110CF过点 M 作 MFx 轴于 FS 四边形AOCMSAFMS 梯形FOCMO=1311614162323四边形 AOCM 的面积为 10 （3）不存在DE OCt2,在 RtAOC中,AC5第 13 页,共 23 页如 DE OC,就点 D,E 应分别在线段OA,CA 上,此时 1设点 E 的坐标为x 1,y 1x 14t54,x 112 t512 DEOC,312 t5123tt823t 8 2,不满意 13不存在 DEOCt2依据

27、题意得D,E 两点相遇的时间为3344524（秒）112现分情形争论如下：）当 0t 1时,S13t4 t2 3 t ；22）当 1t 2时,设点 E 的坐标为x 2,y 2y254t4,y23616t455S13t36516 t12t227t2255y336516t）当 2 t 24 时,设点 E 的坐标为 11x 3,y 3,类似可得设点 D 的坐标为x4, y4yMy43t3,CE245D名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y46 t512326 t124x2k2以 y 轴为对称轴,且与y 轴的交点在 x 轴上方SSAOESAOD13

28、36516t1225=33 t 572xk25S0243807.关于 x 的二次函数y（1）求此抛物线的解析式,并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设 A 是 y 轴右侧抛物线上的一个动点,过点A 作 AB 垂直于 x 轴于点 B ,再过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 D ,过点 D 作 DC 垂直于 x 轴于点 C ,得到矩形 ABCD 设矩形 ABCD 的周长为 l ,点 A 的横坐标为 x ,试 求 l 关于 x 的函数关系式；（3）当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时,矩形 能,请说明理由ABCD 能否成为正方形如能,恳求出此时正方形的周长；如不参考资料：抛物线ya

29、x2bxc a0的顶点坐标是b,4 ac4 a2 b2,对称轴是直线xb大 致 形 状2a2ay解：（1）据题意得：k240,k2当k2时, 2k220当k2时, 2k260又抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方,k2抛物线的解析式为：yx22函数的草图如下列图 （只要与坐标轴的三个交点的位置及图象正确即可）4 （2）解：令x220,得x2C3 B 23 4 x第 14 页,共 23 页D 12 1A不 0x2时,A D 12x ,A B 1x22,C 11 B 1l2A B 1A D 12x24x443211 2 当x2时,A D22x ,12D2A 2A B 2x22x223l2A D2A

30、B 22x24x445l 关于 x 的函数关系是：67名师归纳总结 （第 26 题）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 0x2时,l2x24x4；8 38；当x31时,正方形的周长为当x2时,l22 x4x4（3）解法一：当 0x2时,令A B 1A D ,得x22x20解得x13（舍）,或x13将x13代入l2x24x4,得l8 38当x2时,令A B 2A D ,得x22x20解得x13（舍）,或x13将x13代入l2x24x4,得l8 38综上,矩形 ABCD 能成为正方形,且当x31时正方形的周长为8 38；当x31时,正方形的周长为8 38

31、 解法二：当 0x2时,同“ 解法一” 可得x13正方形的周长l4A D 18x8 38当x2时,同“ 解法一” 可得x13正方形的周长l4A D28x8 38综上,矩形 ABCD 能成为正方形,且当x31时正方形的周长为8 38 第 15 页,共 23 页解法三：点 A 在 y 轴右侧的抛物线上,x0,且点 A 的坐标为x,x22令 ABAD ,就x222x x222x ,或x222x由解得x13（舍）,或x13；由解得x13（舍）,或x13又l8x,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x 1 3 时 l 8 3 8；当 x 1 3

32、时 l 8 3 8综上,矩形 ABCD 能成为正方形,且当 x 3 1 时正方形的周长为 8 3 8；当 x 3 1 时,正方形的周长为8 3 8 8. 已知抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴的正半轴上, 点 C 在 y 轴的正半轴上,线段 OB、OC 的长（ OBOC）是方程 x 210x160 的两个根,且抛物线的对称轴是直线 x 2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接 AC、BC,如点 E 是线段 AB 上的一个动点 （与点 A、点 B 不重合）,过点 E 作 EF AC 交 BC 于点

33、F,连接 CE,设 AE 的长为 m, CEF 的面积为 S,求 S 与 m 之间的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范畴；（4）在（ 3）的基础上试说明 S 是否存在最大值,如存在,恳求出 S 的最大值,并求出此时点 E 的坐标,判定此时 BCE 的外形；如不存在,请说明理由第 26 题图解：（ 1）解方程 x 210x160 得 x12,x28点 B 在 x 轴的正半轴上,点C 在 y 轴的正半轴上,且OBOC点 B 的坐标为（ 2,0）,点 C 的坐标为（ 0,8）又抛物线 yax 2bxc 的对称轴是直线 x 2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（ 6,0）（2）点 C（0,8）在抛物线 yax 2 bxc 的图象上c 8,将 A（ 6,0）、 B（ 2,0）代入表达式,得名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 26 题图 批卷老师用图 036a6b8 04a2b8解得a2 328 3x8b8 3所求抛物线的表达式为y2 3x（3）依题意, A