2022年二次函数动点问题解答方法技巧分析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数ax2+bx+c=0中 a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判定图象的位置,要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标 . 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式ax2+bx+c a 0 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以

2、a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二、抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图,已知抛物线yax2bx3（a 0）与 x 轴交于点A1, 0和点 B 3,0,与 y 轴交于点 C1 求抛物线的解析式；2 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使 CMP 为等腰三角形？如存在,请直接写出全部符合条件的点P 的坐标；如不存在,请说明理由名师归纳总结 3 如图,如点E 为其次象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE 面积的第 1 页,共 24 页最大值,并求此时E 点的坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

3、 - - 精品资料欢迎下载P 坐标 - C 为留意：第（ 2）问按等腰三角形顶点位置分类争论画图再由图形性质求点顶点时,以 C 为圆心 CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点 P, M为顶点时,以 M为圆心 MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点 P, P 为顶点时,线段 MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P；第（ 3）问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二,先求与 BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简洁二元二次方程组）,再求面积；07 08 09 动点个数 两个 一个 两个问题背景 特别菱形两边上移动 特别直角梯形三边 抛物线中特别直角梯形底上移动

4、边上移动考查难点 探究相像三角形 探究三角形面积函 探究等腰三角形数关系式考菱形性质求直线解析式求抛物线顶点坐标特别角三角函数四边形面积的表探究平行四边形求直线、抛物线解析式示探究动三角形面积是定点相像三角形动三角形面积函值不等式数矩形性质探究等腰三角形存在性菱形是含60 的特别菱形；观看图形构造特直角梯形是特别的（一底特 AOB 是底角为30 的等腰三征适当割补表示面角是 45 ）角形；积点动带动线动一个动点速度是参数字母；动点按到拐点时线动中的特别性（两个交探究相像三角形时, 按对应角间分段分类点 D、E 是定点； 动线段 PF不同分类争论； 先画图,再探究；画出矩形必备条长度是定值, P

5、F=OA ）点通过相像三角形过度,转化相件的图形探究其存通过相像三角形过度,转似比得出方程；在性化相像比得出方程；利用a、t 范畴,运用不等式探究等腰三角形时,先画求出 a、t 的值；图,再探究（按边相等分类争论）共同点：特别四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相像、等腰三角形、面积函数关系式）；求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时,先画出图形,再依据图形性质探究答案；二次函数的动态问题（动点）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.如图,已知抛物线精品资料欢迎下载B 2 0, ,E0 8, C

6、 与坐标轴的交点依次是A 4 0, ,（1）求抛物线 C 关于原点对称的抛物线 C 的解析式；（2）设抛物线 C 的顶点为 M ,抛物线 C 与x轴分别交于 C,D 两点（点 C 在点 D 的左侧）,顶点为 N ,四边形 MDNA 的面积为 S 如点 A ,点 D 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时,点 M ,点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向上运动, 直到点 A 与点 D 重合为止 求出四边形 MDNA 的面积 S 与运动时间t 之间的关系式,并写出自变量 t 的取值范畴；（3）当 t 为何值时,四边形（4）在运动过程中,四边形明理由

7、MDNA 的面积 S 有最大值,并求出此最大值；MDNA 能否形成矩形？如能,求出此时 t 的值；如不能,请说名师归纳总结 解 （1）点A 40, ,点B 20, ,点E08, 关第 3 页,共 24 页于 原 点 的 对 称 点 分 别 为D 4 0 , ,C2 0, ,F0,8设抛物线C 的解析式是yax2bxc a0,16a4bc0,a1,就4a2 bc0,解得b6,c8c8所以所求抛物线的解析式是yx26x8（2）由（ 1）可运算得点M 3,1,N31, 过点 N 作 NHAD ,垂足为 H 当运动到时刻 t 时,AD2 OD82 t ,NH12 t 依据中心对称的性质OAOD,OMO

8、N,所以四边形MDNA 是平行四边形所以S2SADN所以,四边形 MDNA 的面积S82 12 4 t214t8由于运动至点A 与点 D 重合为止,据题意可知0t4所以,所求关系式是S4 t214t8, t 的取值范畴是 0t4（3）S4t781,（ 0t4）所以t7时, S有最大值81 4444- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形AD,MN,所以当 ADMN 时四边形由（ 2）知四边形 MDNA 是平行四边形,对角线是MDNA 是矩形所以 OD ON 所以 OD

9、2ON 2OH 2NH 2所以 t 24 t 22 0解之得 t 1 6 2,t 2 6 2（舍）所以在运动过程中四边形 MDNA 可以形成矩形,此时 t 6 2 点评 此题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,是一道较传统的压轴题,才能要求较高；名师归纳总结 2. （06 福建龙岩卷）如图,已知抛物线y3x2bxc 与坐标轴交于A, ,C三点,B第 4 页,共 24 页4点 A 的横坐标为1,过点C0 3, 的直线y3 x4 t5 t ,且 03与 x 轴交于点 Q ,点 P 是线段 BC 上的一个动点, PHOB 于点 H 如PBt1（1）确定 b,c的值：b_,c_；（2

10、）写出点 B, ,P的坐标（其中Q,P用含 t 的式子表示） ：B _ _,Q_ _,P_ _；（3）依点 P 的变化, 是否存在 t 的值, 使PQB为等腰三角形？如存在,求出全部 t 的值；如不存在,说明理由y解 （1）b9c34（ 2）B 4 0Q 4 t,0 P44 3 C（ 3）存在 t 的值,有以下三种情形P当 PQPB 时PHOB ,就 GHHBAOQHBx44 t4 t4 tt15 tt4CPD3当 PBQB 时,得 44 t9当 PQQB 时,如图解法一：过Q 作 QDBP ,又 PQQBOt32Q就BDBP5t 又BDQBOCBDBQ5 t2444 t22BOBC557-

11、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载CPE解法二：作 RtOBC斜边中线 OEPQB就OEBE,BEBC5,此时OEB22BE OB 52 4t 32 O Q BBQ PB 4 4 t 5 t 57解法三：在 RtPHQ 中有 QH 2PH 2PQ 2CP8 t 4 23 24 4 2 57 t 232 t 032t,t 0（舍去）57 O H Q B又 0 t 1 当 t 1 或4 或32 时,PQB 为等腰三角形3 9 57解法四：数学往往有两个摸索方向：代数和几何, 有时可以独立摸索,有时需要综合运用；代数争论：运算出PQB 三边长度,

12、均用 t 表示,再争论分析 Rt PHQ 中用勾股定理运算PQ 长度,而 PB、 BQ 长度都可以直接直接用t 表示,进行分组争论即可运算； 点评 此题综合性较强,涉及函数、相像性等代数、几何学问,1、2 小题不难,第 3 小题是比较常规的关于等腰三角形的分类争论,需要留意的是在进行争论并且得出结论后应当检验,在此题中如求出的 t 值与题目中的 0 t 1 冲突,应舍去3.如图 1,已知直线 y 1x 与抛物线 y 1x 26 交于 A,B 两点2 4（1）求 A,B 两点的坐标；（2）求线段 AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图 2,取与线段 AB 等长的一根橡皮筋,端点分别固定在 A,B

13、 两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB 上方的抛物线上移动,动点 P 将与 A,B 构成很多个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？假如存在,的坐标；假如不存在,请简要说明理由求出最大面积, 并指出此时 P 点ByyP B解 （1）解：依题意得O1x2A6解之得xx 163x 2OA x图 1 图 2 y44y1xy 1y 222名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 6,3 ,B,4 2精品资料欢迎下载（2）作 AB 的垂直平分线交x 轴, y 轴于 C,D两点,交 AB 于 M （如图 1

14、）A x由（ 1）可知：OA3 5OB2 5yAB5 5B C OM1ABOB522OM 过 B 作 BEx轴, E 为垂足由BEOOCM,得：OCOM,OC5,D OBOE4同理：OD5,C5, ,D0,5图 1 242第 26 题设 CD 的解析式为ykxb k0055kbk254bb22AB 的垂直平分线的解析式为：y 2 x（3）如存在点 P 使APB 的面积最大,就点52P 在与直线 AB 平行且和抛物线只有一个交名师归纳总结 点的直线y1xm 上,并设该直线与x 轴, y 轴交于 G,H两点（如图2）x第 6 页,共 24 页2y1xm1x21xm60B yH P 2y1x2642

15、G 4抛物线与直线只有一个交点,1241m60,OA 24m25P1,234在直线GH：y1x25中,图 2 424G25, ,H0,254GH25524- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载设 O 到 GH 的距离为 d ,1GH d1OG OH2522125 5d12524224d552ABGH,P 到 AB 的距离等于 O 到 GH 的距离 d 另解：过 P 做 PC y 轴, PC 交 AB 于 C,当 PC 最大时PBA 在 AB 边上的高 h 最大（ h与 PC 夹角固定）,就 S PBA 最大 问题转化为求 PC 最大值,设

16、 P（x, ） ,C（x, ） ,从而可以表示 PC 长度,进行极值求取；最终,以 PC 为底边,分别运算 SPBC和 SPAC即可； 点评 这是一道涉及二次函数、方程、几何学问的综合压轴题,有肯定的才能要求,第 3小题是一个最值问题,解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题；4.如图,正方形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为 010, ,8 4,顶点 C,D 在第一象限点 P 从点 A 动身,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点 Q 从点 E 4 0, 动身,沿x 轴正方向以相同速度运动当点 P 到达点 C 时, P,Q 两点同时停止运动,设运动的时间为 t 秒（1）求正方形 ABC

17、D 的边长（2）当点 P 在 AB 边上运动时,OPQ 的面积 S（平方单位）与时间 t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示）,求 P,Q 两点的运动速度（3）求（ 2）中面积 S（平方单位）与时间 t （秒）的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P的坐标名师归纳总结 （4）如点 P,Q保持（ 2）中的速度不变,就点P 沿着 AB 边运动时,OPQ的大小随着第 7 页,共 24 页时间 t 的增大而增大； 沿着 BC 边运动时,OPQ的大小随着时间t 的增大而减小 当点 P沿着这两边运动时,使OPQ90的点 P 有个（抛物线y2 axbxc a0的顶点坐标是b,4 ac4 ab22

18、 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yD精品资料欢迎下载sAPC2820B名师归纳总结 Q10t第 8 页,共 24 页OExO图图解 （1）作 BFy 轴于 F A010, ,B8 4, ,FB8,FA6AB10P 从点 A 运动到点 B 用了 10 秒（2）由图可知,点又AB1010101P,Q两点的运动速度均为每秒1 个单位（3）方法一：作PGy 轴于 G ,就 PGBFGAAP,即GAtFAAB610GA3t 5OG103t 5OQ4t ,S1OQOG1t4103t225即S3t219t2010519b25319,且01910,2a3310当

19、t19时, S有最大值3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此时GP4t76,OG103精品资料,欢迎下载t31 55155点 P 的坐标为76 31,15 59,S1 2OG OQ63（ 8 分）方法二：当t5时,OG7,OQ2设所求函数关系式为Sat2bt20抛物线过点10 28, ,632,100a10b2028,25a5 b2063.2a3,10b19 . 5S3t219t2010519 310,19b25319,且02a310当t19时, S有最大值3此时GP76,OG31,155点 P 的坐标为76 31,15 5（4） 2 点评 此题主要考

20、查函数性质的简洁运用和几何学问,是近年来较为流行的试题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,信任解决这种问题不会特别难；名师归纳总结 5.如图, RtABC中,B90,CAB30它的顶点 A 的坐标为 10 0, ,顶点第 9 页,共 24 页B 的坐标为 5 5 3,AB10,点 P 从点 A动身,沿 ABC 的方向匀速运动,同时点 Q 从点D0 2, 动身, 沿 y 轴正方向以相同速度运动,当点 P 到达点 C 时,两点同时停- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 止运动,设运动的时间为t 秒精品资料欢迎下载（1）求 BAO 的度数（2）当点 P 在

21、AB 上运动时,OPQ 的面积 S（平方单位）与时间 t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分, （如图）,求点 P 的运动速度（3）求（ 2）中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标（4）假如点 P,Q 保持（ 2）中的速度不变,那么点 P 沿 AB 边运动时,OPQ 的大小随着时间 t 的增大而增大；沿着 BC 边运动时,OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小,当点P 沿这两边运动时,使 OPQ 90 的点 P 有几个？请说明理由y C 30 S B Q P 10 的点 P 有 2 个D O A （第 29 题图）x O 5 t （第 29 题图）解:

22、 （1）BAO60（2）点 P 的运动速度为2 个单位 /秒（3）P10t,3 （ 0 5）S1 2 2t210tt9212124当t9时, S 有最大值为121 4,2此时P11 9 3,2 2（4）当点 P 沿这两边运动时,OPQ90当点 P 与点 A 重合时,OPQ90,当点 P 运动到与点 B 重合时, OQ 的长是 12 单位长度,名师归纳总结 作OPM90交 y 轴于点 M ,作 PHy 轴于点 H ,第 10 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由OPHOPM得：OM精品资料11.5欢迎下载20 3,3所以 OQOM ,从而

23、OPQ90x所以当点 P 在 AB 边上运动时,OPQ90的点 P 有 1 个y同理当点 P 在 BC 边上运动时,可算得OQ1210 317.8QB PC3M而构成直角时交y 轴于0,35 33,35 3 320.217.8,HD所以OCQ90,从而OPQ90的点 P 也有 1 个OA第 29 题图所以当点 P 沿这两边运动时,OPQ90的点 P 有 2 个6.（此题满分14 分） 如图 12 ,直线y4 x 34与 x 轴交于点 A ,与 y轴交于点 C ,已知二次函数的图象经过点A 、 C 和点B1,0. （1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为 M ,求四边形 AO

24、CM 的面积；（3）有两动点 D 、 E 同时从点 O 动身,其中点 D以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 OAC2按 O A C 的路线运动,点 E 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线 OCA 按 O C A 的路线运动, 当 D 、 E 两点相遇时, 它们都停止运动 时,ODE 的面积为 S . . 设 D 、E 同时从点 O 动身 t 秒请问 D 、 E 两点在运动过程中,是否存在DEOC,如存在,恳求出此时t 的值；如不存在,请说明理由；名师归纳总结 恳求出 S 关于 t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范畴；第 11 页,共 24 页设S 是中函数S 的最大值,那么S = . -

25、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）令x0,就y4；精品资料欢迎下载令y0就x3A3 0, C0 4二次函数的图象过点C0 4,可设二次函数的关系式为yax2bx41 08x4ByEMDAx又该函数图象过点A3 0, B0 09 a3 b4,ab4x2解之,得a4,b833所求二次函数的关系式为y433（2）y4x28x433=4x121633顶点 M 的坐标为1,16310CF过点 M 作 MFx 轴于 FS 四边形AOCMSAFMS 梯形FOCMO=13116141612323四边形 AOCM 的面积为 10 名师归纳总结 - - - - -

26、 - -第 12 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）不存在DE OC精品资料欢迎下载名师归纳总结 如 DE OC,就点 D,E应分别在线段OA,CA上,此时 1t2,在 RtAOC中,AC5第 13 页,共 24 页设点 E 的坐标为x 1,y 1x14t54,x 112 t512 DEOC,312 t5123tt823t 82,不满意 13不存在 DEOCt2依据题意得D,E 两点相遇的时间为3344524（秒）112现分情形争论如下：）当 0t 1时,S13t4 t2 3 t ；22）当 1t 2时,设点 E 的坐标为x 2,y2y254t4,y236

27、16t455S13t36516 t12t227t2255x 轴）当 2 t 24 时,设点 E 的坐标为 11x 3,y 3,类似可得y336516t设点 D 的坐标为x4, y4yMy43t3,CED2546 t12y45SSAOESAODBOAx1336516t136 t51222=33 t 5725S 0243807.关于 x 的二次函数yx2k24x2 k2以 y 轴为对称轴,且与y 轴的交点在- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载上方（1）求此抛物线的解析式,并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设 A 是 y 轴右侧抛物

28、线上的一个动点,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴于点 B ,再过点 A 作x 轴的平行线交抛物线于点 D ,过点 D 作 DC 垂直于 x 轴于点 C ,得到矩形 ABCD 设矩形 ABCD 的周长为 l ,点 A 的横坐标为 x ,试求 l 关于 x 的函数关系式；（3）当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时,矩形 此时正方形的周长；如不能,请说明理由ABCD 能否成为正方形如能,恳求出参考资料：抛物线yax2bxc a0的顶点坐标是b,4 ac4 ab2,对称轴是直线2 axbk22 a解：（1）据题意得：k240,当k k22 时, 2k220当k2时, 2 k260又抛物线与y 轴

29、的交点在 x 轴上方,抛物线的解析式为：y2 x2函数的草图如下列图 （只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致外形正确即可）（2）解：令x220,得x22,4C2D1y4 B 23 4 x不 0x2时,A D 12x ,A B 12 xl2A B 1A D 12x24x4当x2时,A D22x ,3 A B 2x22x222 1A1l2A D2A B22x24x41 B 12C 1l 关于 x 的函数关系是：31 2 当 0x2时,l2x24x4；A D ,D212当x2时,l2x24x4A 23（3）解法一：当 0x2时,令A B 145 6 7（第 26 题）名师归纳总结 - - - -

30、- - -第 14 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得x22x20精品资料欢迎下载名师归纳总结 解得x13（舍）,或x1308 38 ；当x31第 15 页,共 24 页将x13代入l2x24x4,得l8 38当x2时,令A B 2A D ,得x22x2解得x13（舍）,或x138将x13代入l2x24x4,得l8 3综上,矩形 ABCD 能成为正方形, 且当x31时正方形的周长为13时,正方形的周长为8 38 解法二：当 0x2时,同“ 解法一” 可得x正方形的周长l4A D 18 x8 388 38 ；当x31当x2时,同“ 解法一” 可得x13正方形的周

31、长l4A D 228x8 38综上,矩形 ABCD 能成为正方形, 且当x31时正方形的周长为时,正方形的周长为8 38 解法三：点 A 在 y 轴右侧的抛物线上,x0,且点 A 的坐标为x,x22令 ABAD ,就x222x x222x ,或x222x由解得x13（舍）,或x13；由解得x13（舍）,或x13又l8x,当x13时l8 38；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当x13时l8 38精品资料欢迎下载综上,矩形 ABCD 能成为正方形, 且当 x 3 1 时正方形的周长为 8 3 8 ；当 x 3 1时,正方形的周长为 8 3 8 8. 已知

32、抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,线段 OB、OC 的长（ OBOC）是方程 x 210x160的两个根,且抛物线的对称轴是直线 x 2（1）求 A、B、 C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接 AC、BC,如点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点A、点 B 不重合）,过点 E作 EF AC 交 BC 于点 F,连接 CE,设 AE 的长为 m, CEF 的面积为 S,求 S与 m 之间的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范畴；（4）在（ 3）的基础上试说明 S是否存在最大值,如存在,恳求出 S 的最大值,并求出此时点 E 的坐标,判定此时BCE 的外形；如不存在,请说明理由第 26 题图解：（1）解方程 x210x160 得 x12,x28点 B 在 x 轴的正半轴上,点C 在 y 轴的正半轴上,且OBOC点 B 的坐标为（ 2, 0）,点 C 的坐标为（ 0,8）又抛物线 yax 2bxc 的对称轴是直线 x 2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（ 6,0）（2）点 C（0,8）在抛物线 yax 2 bxc 的图