二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案.doc

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1、- .函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数ax+bx+c=0中a,b,c的符号.或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置.要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和一点对称的点坐标.或与x轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax+bx+ca0本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例.提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点

2、-问题背景是特殊图形.考察问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。动点问题一直是中考热点.近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。二、 抛物线上动点5、市如图. 抛物线a0与轴交于点A(1.0)和点B (3.0).与y轴交于点C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P.使CMP为等腰三角形？假设存在.请直接写出所有符合条件的点P

3、的坐标；假设不存在.请说明理由 (3) 如图.假设点E为第二象限抛物线上一动点.连接BE、CE.求四边形BOCE面积的最大值.并求此时E点的坐标注意：第2问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标-C为顶点时.以C为圆心CM为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.M为顶点时.以M为圆心MC为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.P为顶点时.线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第3问方法一.先写出面积函数关系式.再求最大值涉及二次函数最值； 方法二.先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标涉及简单二元二次方程组.再求面积。070809动点个数两个 一个两个问题背景特殊菱形两边上

4、移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考察难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表示动三角形面积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含60的特殊菱形；AOB是底角为30的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时.按对应角不同分类讨论；先画图.再探究。通过相似三角形过度.转化相似比得出方程。利用a、t围.运用不等式求出a、t的值。观察图形构造特征适当割补表示面积动点按到拐点时间分段分类画出矩形必备条件的图形

5、探究其存在性直角梯形是特殊的一底角是45点动带动线动线动中的特殊性两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值.PF=OA通过相似三角形过度.转化相似比得出方程。探究等腰三角形时.先画图.再探究按边相等分类讨论共同点：特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题相似、等腰三角形、面积函数关系式；求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时.先画出图形.再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题动点1.如图.抛物线与坐标轴的交点依次是.1求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；2设抛物线的顶点为.抛物线与轴分别交于两点点在点的左侧.顶点为.四边形的面积为假设点.点同时以每秒1个单位的速度沿水

6、平方向分别向右、向左运动；与此同时.点.点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动.直到点与点重合为止求出四边形的面积与运动时间之间的关系式.并写出自变量的取值围；3当为何值时.四边形的面积有最大值.并求出此最大值；4在运动过程中.四边形能否形成矩形？假设能.求出此时的值；假设不能.请说明理由解 1点.点.点关于原点的对称点分别为.设抛物线的解析式是.那么解得所以所求抛物线的解析式是2由1可计算得点过点作.垂足为当运动到时刻时.根据中心对称的性质.所以四边形是平行四边形所以所以.四边形的面积因为运动至点与点重合为止.据题意可知所以.所求关系式是.的取值围是3.所以时.有最大值提示：

7、也可用顶点坐标公式来求4在运动过程中四边形能形成矩形由2知四边形是平行四边形.对角线是.所以当时四边形是矩形所以所以所以解之得舍所以在运动过程中四边形可以形成矩形.此时点评此题以二次函数为背景.结合动态问题、存在性问题、最值问题.是一道较传统的压轴题.能力要求较高。2. 06卷如图.抛物线与坐标轴交于三点.点的横坐标为.过点的直线与轴交于点.点是线段上的一个动点.于点假设.且1确定的值：；2写出点的坐标其中用含的式子表示：；3依点的变化.是否存在的值.使为等腰三角形？假设存在.求出所有的值；假设不存在.说明理由解 123存在的值.有以下三种情况当时.那么当时得当时.如图解法一：过作.又那么又解

8、法二：作斜边中线那么.此时解法三：在中有舍去又当或或时.为等腰三角形解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何.有时可以独立思考.有时需要综合运用。代数讨论：计算出PQB三边长度.均用t表示.再讨论分析 RtPHQ中用勾股定理计算PQ长度.而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示.进展分组讨论即可计算。点评此题综合性较强.涉及函数、相似性等代数、几何知识.1、2小题不难.第3小题是比拟常规的关于等腰三角形的分类讨论.需要注意的是在进展讨论并且得出结论后应当检验.在此题中假设求出的t值与题目中的矛盾.应舍去3.如图1.直线与抛物线交于两点1求两点的坐标；2求线段的垂直平分线的解析式；3如图2.取与

9、线段等长的一根橡皮筋.端点分别固定在两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动.动点将与构成无数个三角形.这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在.求出最大面积.并指出此时点的坐标；如果不存在.请简要说明理由PA图2图1解 1解：依题意得解之得2作的垂直平分线交轴.轴于两点.交于如图1图1DMACB第26题由1可知：过作轴.为垂足由.得：.同理：设的解析式为的垂直平分线的解析式为：3假设存在点使的面积最大.那么点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上.并设该直线与轴.轴交于两点如图2抛物线与直线只有一个交点.PA图2HGB在直线中.设到的距离为.到的距离等于到的距离另

10、解：过P做PCy轴.PC交AB于C.当PC最大时PBA在AB边上的高h最大h与PC 夹角固定.那么SPBA最大问题转化为求PC最大值.设Px, ,Cx, ,从而可以表示PC长度.进展极值求取。最后.以PC为底边.分别计算SPBC和SPAC即可。点评这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题.有一定的能力要求.第3小题是一个最值问题.解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。4.如图.正方形的顶点的坐标分别为.顶点在第一象限点从点出发.沿正方形按逆时针方向匀速运动.同时.点从点出发.沿轴正方向以一样速度运动当点到达点时.两点同时停顿运动.设运动的时间为秒1求正方形的边长2当点在边上运动时.

11、的面积平方单位与时间秒之间的函数图象为抛物线的一局部如图所示.求两点的运动速度3求2中面积平方单位与时间秒的函数关系式及面积取最大值时点的坐标4假设点保持2中的速度不变.那么点沿着边运动时.的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时.的大小随着时间的增大而减小当点沿着这两边运动时.使的点有个抛物线的顶点坐标是图图解 1作轴于.2由图可知.点从点运动到点用了10秒又两点的运动速度均为每秒1个单位3方法一：作轴于.那么.即.即.且.当时.有最大值此时.点的坐标为8分方法二：当时.设所求函数关系式为抛物线过点.且.当时.有最大值此时.点的坐标为4点评此题主要考察函数性质的简单运用和几何知识.是近年来较

12、为流行的试题.解题的关键在于结合题目的要求动中取静.相信解决这种问题不会非常难。5.如图.中.它的顶点的坐标为.顶点的坐标为.点从点出发.沿的方向匀速运动.同时点从点出发.沿轴正方向以一样速度运动.当点到达点时.两点同时停顿运动.设运动的时间为秒1求的度数2当点在上运动时.的面积平方单位与时间秒之间的函数图象为抛物线的一局部.如图.求点的运动速度3求2中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标4如果点保持2中的速度不变.那么点沿边运动时.的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时.的大小随着时间的增大而减小.当点沿这两边运动时.使的点有几个？请说明理由第29题图ACBQDOPxy301

13、0O5tS第29题图解:12点的运动速度为2个单位/秒3当时.有最大值为.此时4当点沿这两边运动时.的点有2个当点与点重合时.当点运动到与点重合时.的长是12单位长度.作交轴于点.作轴于点.由得：.所以.从而第29题图所以当点在边上运动时.的点有1个同理当点在边上运动时.可算得而构成直角时交轴于.所以.从而的点也有1个所以当点沿这两边运动时.的点有2个6. 此题总分值14分如图.直线与轴交于点.与轴交于点.二次函数的图象经过点、和点.1求该二次函数的关系式；2设该二次函数的图象的顶点为.求四边形的面积；3有两动点、同时从点出发.其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动.点以每秒个单位长度

14、的速度沿折线按的路线运动.当、两点相遇时.它们都停顿运动.设、同时从点出发秒时.的面积为S .请问、两点在运动过程中.是否存在.假设存在.请求出此时的值；假设不存在.请说明理由；请求出S关于的函数关系式.并写出自变量的取值围；设是中函数S的最大值.那么 = .解：1令.那么；令那么二次函数的图象过点.可设二次函数的关系式为又该函数图象过点解之.得.所求二次函数的关系式为2=顶点M的坐标为过点M作MF轴于F=四边形AOCM的面积为10 3不存在DEOC假设DEOC.那么点D.E应分别在线段OA.CA上.此时.在中.设点E的坐标为.2.不满足不存在根据题意得D.E两点相遇的时间为秒现分情况讨论如下

15、：当时.；当时.设点E的坐标为.当2 时.设点E的坐标为.类似可得设点D的坐标为.=7.关于的二次函数以轴为对称轴.且与轴的交点在轴上方1求此抛物线的解析式.并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；2设是轴右侧抛物线上的一个动点.过点作垂直于轴于点.再过点作轴的平行线交抛物线于点.过点作垂直于轴于点.得到矩形设矩形的周长为.点的横坐标为.试求关于的函数关系式；3当点在轴右侧的抛物线上运动时.矩形能否成为正方形假设能.请求出此时正方形的周长；假设不能.请说明理由参考资料：抛物线的顶点坐标是.对称轴是直线解：1据题意得：.当时.当时.又抛物线与轴的交点在轴上方.43211234第26题抛物线的解析式

16、为：函数的草图如下图只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可2解：令.得不时.当时.关于的函数关系是：当时.；当时.3解法一：当时.令.得解得舍.或将代入.得当时.令.得解得舍.或将代入.得综上.矩形能成为正方形.且当时正方形的周长为；当时.正方形的周长为解法二：当时.同“解法一可得正方形的周长当时.同“解法一可得正方形的周长综上.矩形能成为正方形.且当时正方形的周长为；当时.正方形的周长为解法三：点在轴右侧的抛物线上.且点的坐标为令.那么.或由解得舍.或；由解得舍.或又.当时；当时综上.矩形能成为正方形.且当时正方形的周长为；当时.正方形的周长为8.抛物线yax2bxc与x轴交于A

17、、B两点.与y轴交于点C.其中点B在x轴的正半轴上.点C在y轴的正半轴上.线段OB、OC的长OB0.那么NR+1.R.代入抛物线的表达式.解得6分当直线MN在x轴下方时.设圆的半径为rr0.那么Nr+1.r.代入抛物线的表达式.解得7分圆的半径为或7分4过点P作y轴的平行线与AG交于点Q.易得G2.3.直线AG为8分设Px.那么Qx.x1.PQ9分当时.APG的面积最大此时P点的坐标为.10分11本小题12分解：1解方程x210x160得x12.x28点B在x轴的正半轴上.点C在y轴的正半轴上.且OBOC点B的坐标为2.0.点C的坐标为0.8又抛物线yax2bxc的对称轴是直线x2由抛物线的对

18、称性可得点A的坐标为6.0A、B、C三点的坐标分别是A6.0、B2.0、C0.82点C0.8在抛物线yax2bxc的图象上c8.将A6.0、B2.0代入表达式yax2bx8.得解得所求抛物线的表达式为yx2x83AB8.OC8SABC 88=324依题意.AEm.那么BE8m.OA6.OC8.AC10EFACBEFBAC即EF过点F作FGAB.垂足为G.那么sinFEGsinCABFG8mSSBCESBFE8m88m8m8m88m8mmm24m自变量m的取值围是0m85存在理由：Sm24mm428且0.当m4时.S有最大值.S最大值8m4.点E的坐标为2.0BCE为等腰三角形12.12分：如图14.抛物线与轴交于点.点.与直线相交于点.点.直线与轴交于点1写出直线的解析式2求的面积3假设点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动不与重合.同时.点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒.请写出的面积与的函数关系式.并求出点运动多少时间时.的面积最大.最大面积是多少？xyABCEMDPNO解：1在中.令.1分又点在上的解析式为2分2由.得4分.5分6分3过点作于点7分8分由直线可得：在中.那么.9分10分11分此抛物线开口向下.当时.当点运动2秒时.的面积到达最大.最大为12分- . 可修编.