概率论与-数理统计课后习题-答案~(魏宗舒~)1-4章.doc

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1、|第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10 件产品中有 1 件是不合格品，从中任取 2 件得 1 件不合格品。(2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。解 (1)记 9 个合格品分别为 ，记不合格为次，则921,正正正 ，)()(913121 次正正正正正正正 ，)()()() 292423 次正正正正正正正 343 次正正正正正 988次正次正正正A)次正 次正 次正(2)记 2 个白球分别为 ， ，3 个黑球分别为 ， ， ，4 个红球分别为 ， ， ，121b231r23。则 ， ， ，

2、 ， ， ， ， ， 4r12b1r234r() ， () ， ， ， AB1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员。(1) 叙述 的意义。AB(2)在什么条件下 成立？(3)什么时候关系式 是正确的？(4) 什么时候 成立？解 (1)事件 表示该是三年级男生，但不是运动员。CAB(2) 等价于 ，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了 个零件，以事件 表示他生产的第 个零件是合格品（ ） 。niA

3、i ni1用 表示下列事件：iA(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;niA1niiA1niijA1)(|(4)原事件即“至少有两个零件是合格品” ，可表示为 ；njijiA1,1.4 证明下列各式：(1) ;AB(2) (3) ;C)()(4) BA(5) )()()(CB(6) nii1证明 （1）（4）显然， （5）和（6）的证法分别类似于课文第 1012 页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张卡片中

4、任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为 。所得分数为既约分数必须分子分母或为 7、11、13 中的两个，8A或为 2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合，所以事件 “所得分数为既约分A数”包含 个样本点。于是632153。497)(P1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解 样本点总数为 。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是 3、5、7035或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件 “所取三条线段能构成一个三角形”包含 3 个样本点

5、，A于是 。10)(AP1.7 一个小孩用 13 个字母 作组字游戏。如果字母的各种TNMIHEC,排列是随机的（等可能的） ，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解 显然样本点总数为 ，事件 “恰好组成“MATHEMATICIAN”包含 个样本点。!13A !23所以 48!23)(AP1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车” ，求它们正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于 个不同位置，当它处于和红8910“车”同行或同列的 个位置之一时正好相互“吃掉” 。故所求概率为1789|8917)(AP1.9 一幢 10 层楼

6、的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所以样本点总数为 。事件 “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取 7 层，各有一79A位乘客离开电梯” 。所以包含 个样本点，于是 。79A79)(AP1.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字 8”的概率为多大？解 用 表示“牌照号码中有数字

7、 8”，显然 ，所以A 44109)(A-1)(P4410910)(1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是 1；(2)该数的四次方的末位数字是 1；(3)该数的立方的最后两位数字都是 1；解 (1) 答案为 。51(2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案为 52104(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1”，则该数的最后一位数字必210A须是 1，设最后第二位数字为 ，则该数的立方的最后两位数字为 1 和 3 的个位数，要使 3

8、a a的个位数是 1，必须 ，因此 所包含的样本点只有 71 这一点，于是a7。1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。n2解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有 种接法，135同样对尾也有 种接法，所以样本点总数为 。用 表示“6 根草恰好连成一个环” ，15 2)13(A这种连接，对头而言仍有 种连接法，而对尾而言，任取一

9、尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为 。所以 包含的样本点数为 ，于是24 )4(135158)35(2)AP|(2) 根草的情形和(1)类似得n21.13 把 个完全相同的球随机地放入 个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球N的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的） 。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有 个球的概率为 ，knNk12nk0(2)恰好有 个盒的概率为 ，mnNm1n(3)指定的 个盒中正好有 个球的概率为 ，j nN

10、jmj1.0,Nj解 略。1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。解 所求概率为 )(AP1.15 在 中任取一点 ，证明 的面积之比大于 的概率为 。BCABCP与 n12n解 截取 ，当且仅当点 落入 之内时 的面积之比大于Dn1 ABCP与，因此所求概率为 。n1 2)(CDABP的 面 积有 面 积 21n1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分别用 表示第一、二艘船到达泊位的时

11、间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当yx,。因此所求概率为0,20yx 12.02431)( AP1.17 在线段 上任取三点 ，求：AB321,x(1) 位于 之间的概率。2x31x与(2) 能构成一个三角形的概率。,解 (1) (2) 3)(AP213)(BP1.18 在平面上画有间隔为 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边d长为 （均小于 ） ，求三角形与平行线相交的概率。cba,|解 分别用 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边321,A与平行线相交，显然 所求概率为 。分别用 表示边.0)(2P)(3APbcacbaA,，二边 与平行线相交，

12、则 显然 ，cba,bca, )(3.bcab)(P)(acP， 。所以)(AP)(cA)(cbcacA 213aPbcP)(2d)(1cbad（用例 1.12 的结果）1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1 的线段内随机投点。则事件“该点命中 的中点”的概率等于零，但 不是不可能事件。ABA1.20 甲、乙两人从装有 个白球与 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每ab次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解

13、 表示白， 表示黑白， 表示黑黑白， ，123白黑黑表 示 个 bb1则样本空间 ， ， ，并且 ，121baP)(， ，)(2baP 2)(3 aP)1()2(1 ibii abaPb)(!)(1甲取胜的概率为 + + +1P(3)(5P乙取胜的概率为 + + +)(2)461.21 设事件 及 的概率分别为 、 及 ，求 ， ， ，BA,pqr)(ABP)()(BAP)(解 由 得)()()( ABPPr)，qAB)()( pr)(rPP11)|1.22 设 、 为两个随机事件，证明：1A2(1) ;)()()( 2121APP(2) .)() 2121 AP证明 (1) =)(21A)(

14、21 )(21A(2) 由(1)和 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个0)2P不等式。1.23 对于任意的随机事件 、 、 ，证明：BC)()(PBCAP证明 )()()()()( BAPAPB1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%，同时订甲、丙两报的有 8%，同时订乙、丙两报的有 5%，同时订三种报纸的有 3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸

15、的。解 事件 表示订甲报，事件 表示订乙报，事件 表示订丙报。ABC(1) = =30%)()(ACPCB)(ABP(2) %7(3) %23)()()()( BA0() ABCPACPBCP+ + = + + =73%()()()(4) A 14(5) %90)(CBP(6) %109)(11.26 某班有 个学生参加口试，考签共 N 张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，n问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解 用 表示“第 张考签没有被抽到” ， 。要求 。iAi i,21)(1NiAP|， ，niNAP1)( njiNAP2)( 0)(1nNAPii1 n)1(，nNiji N

16、AP2)(1 nN2)(12所以niii i11)()(1.27 从 阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？n解 阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为 ，当且仅当niia21的排列 中存在 使 时这一项包含主对角线元素。用 表示事件“排列,21 )(21ni kikA中 ”即第 个主对角线元素出现于展开式的某项中。则ki，inAPi !)()( )1(!)2)( njinAPji 所以 !)()1(11 ininiiNi 1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的） 。解 用 分别

17、表示男孩和女孩。则样本空间为：gb, ),(,),(,),(,)( gbgbgb其中样本点依年龄大小的性别排列。 表示“有女孩” ， 表示“有男孩” ，则AB768/)(|(APB1.30 设 件产品中有 件是不合格品，从中任取两件，Mm(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设 表示“所取产品中至少有一件是不合格品” ， 表示“所取产品都是不合格品”B，则 21)(AP2)(MmBP)()(|(AB12(2)设 表示“所取产品中至少有一件合格品” ， 表示“所取产品中有一件合格品，

18、一CD件不合格品” 。则|21)(MmCP21)(MmDP)()()|(CD11.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：n(1)已知前 个人都没摸到，求第 个人摸到的概率；1k)(nk(2)第 个人摸到的概率。解 设 表示“第 个人摸到” ， 。iAi ni,21(1) )()|(1kknPkk(2) )k(1kA nn1121.32 已知一个母鸡生 个蛋的概率为 ，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为 ，)0(!ek p证明：一个母鸡恰有 个下一代（即小鸡）的概率为 。r pre!解 用 表示“母鸡生 个蛋” ， 表示“母鸡恰有 个下一代” ，则kAkBr)|()(krkkA

19、BPBP rkrrkpe)1(!rkkrpep)!(1! )1(!prepr!)(1.33 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是 0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解 用 表示“任选一名射手为 级” ， ， 表示“任选一名射手能进入决赛” ，kAk,321B则 )|()(41kkkBPBP 645.05.07.289.041.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占 25%，35%，40%，并|在各自的产

20、品里，不合格品各占有 5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解 用 表示“任取一只产品是甲台机器生产”1A表示“任取一只产品是乙台机器生产” 2表示“任取一只产品是丙台机器生产” 3表示“任取一只产品恰是不合格品” 。B则由贝叶斯公式：6925)|()|(3111kkAPAP 6928)|()|(3122kkABP)|()|(313kkB1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解 则 ， ，

21、，59)(1AP153)(2152)(3AP15)(4， ， ，7|B7|B7|B7|AB由贝时叶斯公式得 29)|()|(4111kk1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是 、 、 ，而4132乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解 用 表示“朋友乘火车来” ， 表示“朋友乘轮船来” ， 表示“朋友乘汽车来” ，1A2A3A表示“朋友乘飞机来” ， 表示“朋友迟到了” 。4 B则 21)|()|(411kkPBP1.37 证明：若三个事件 、 、 独立，则 、

22、 及 都与 独立。ACBAC证明 （1） )()()()( P= PB（2） )()()(CAAPC（3） =( B )(CPA1.38 试举例说明由 不能推出 一定成立。)()(PB )(B|解 设 ， ， ，,54321641)(P6418)(5P， ， ， 则 )(2P)(4,21A,31,41A，61CBA)()(4)()(1 CPB但是 AP1.39 设 为 个相互独立的事件，且 ，求下列事件的概率：nA,21 )1()(nkpAk(1) 个事件全不发生；n(2) 个事件中至少发生一件；(3) 个事件中恰好发生一件。解 (1) nkkknk pAPn111 )()()(2) nkkn

23、knkP111 )()()(3) .)1(111 nkjjnkjkjknkkjj pAA 1.40 已知事件 相互独立且互不相容，求 （注： 表示 中小B, )(,miBPA),min(yx,的一个数） 。解 一方面 ，另一方面 ，即 中至少有一个等0)(,PA0)()(P)(,于 0，所以 .min1.41 一个人的血型为 型的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选ABO,五个人，求下列事件的概率(1)两个人为 型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为 型，两个人为 型；(3)没有一人为 。解 (1)从 5 个人任选 2 人为 型，共有 种可能，在其余 3 人中任选一人为 型，共有O25 A三种可能，在余下的 2 人中任选一人为 型，共有 2 种可能，另一人为 型，顺此所求概率BB