《概率论与数理统计教育资料.》魏宗舒课后习题解答答案1-8章.doc

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1、第一章第一章 事件与概率事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10 件产品中有 1 件是不合格品，从中任取 2 件得 1 件不合格品。 (2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。解 (1)记 9 个合格品分别为 ，记不合格为次，则921,正正正， ，)()()()(1913121次正正正正正正正，)()()()(2924232次正正正正正正正，)()()(39343次正正正正正)()()(9898次正次正正正，A)(1次正，)(2次正)(9次正 ，(2)记 2 个白球分别为，3 个黑球分别为，4 个红

2、球分别为，。则，121b2b3b1r2r3r4r1，21b2b3b1r2r3r4r() ， () ，A12B1r2r3r4r1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员。(1) 叙述的意义。CAB(2)在什么条件下成立？CABC (3)什么时候关系式是正确的？BC (4) 什么时候成立？BA 解 (1)事件表示该是三年级男生，但不是运动员。CAB(2) 等价于，表示全系运动员都有是三年级的男生。CABC ABC (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3

3、 一个工人生产了个零件，以事件表示他生产的第 个零件是合格品（） 。用表示下列事件：niAini 1iA(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;niiA1niiniiAA11ninijjjiAA11)( (4)原事件即“至少有两个零件是合格品” ，可表示为；njijijiAA1,1.4 证明下列各式：(1); (2) (3); (4)ABBAABBACBA)()(CBACBA)()(CBA(5) (6) CBA)()(CA)(CBniiniiAA11证明 （1）（

4、4）显然， （5）和（6）的证法分别类似于课文第 1012 页（1.5）式和(1.6)式的证法。 1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所 得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为 7、11、13 中的两个，或为782 8A2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合，所以事件“所得分数为既约分数”包含A个样本点。于是63221 51 32 3AAA。149 78632)(AP1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段

5、能构成一个三角形的 概率。解 样本点总数为。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或1035 5、7、9。所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含 3 个样本点，于是。A103)(AP1.7 一个小孩用 13 个字母作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等TTNMMIIHECAAA,可能的） ，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解 显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。所以!13A!2!2!2!3!1348 !13! 2 ! 2 ! 2 ! 3)(AP1.8 在中国象棋的棋盘上任意地

6、放上一只红“车”及一只黑“车” ，求它们正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的891109 个位置之一时正好相互“吃掉” 。故所求概率为17898917)(AP1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯， 假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所以样本点总数为。事件“没有两79A位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取 7 层，各

7、有一位乘客离开电梯” 。所以包含个样本点，于7 9A是。77 9 9)(AAP1.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码 中有数字 8”的概率为多大？解 用表示“牌照号码中有数字 8” ，显然，所以A44109 100009)( AP-1)(AP4410911000091)( AP1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是 1；(3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 解 (1) 答案为。51(2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次

8、方的末位数是 1，所以答案为52 104(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件210表示“该数的立方的最后两位数字都是 1” ，则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为，则该数的立Aa方的最后两位数字为 1 和 3的个位数，要使 3的个位数是 1，必须，因此所包含的样本点只有 71 这一点，aa7aA 于是 。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。n2 解 (1)6 根草的情形

9、。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的 3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数135135为。用表示“6 根草恰好连成一个环” ，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一2) 135(A135尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，于是24A)24)(135(158 ) 135()24)(135()(2AP(2) 根草的情形和(1)类似得n2 1.13 把个

10、完全相同的球随机地放入个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪nN 个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的） 。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为，k nnNknknN12 nk 0(2)恰好有个盒的概率为，m nnNmNnmN111 1NmnN(3)指定的个盒中正好有个球的概率为，mj nnNjnjnmNmjm1111 .0 ,1NjNm解 略。 1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。解 所求概率为53)(AP1.15 在中任取一点，证明的面积之

11、比大于的概率为。ABCPABCABP与nn121 n解 截取，当且仅当点落入之内时的面积之比大于，因此所求概CDnDC1PBACABCABP与nn1率为。22 )( CDDC ABCCBAAP的面积有面积2221CDDCn 21 n1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时 与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。 解 分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当yx,。因此所求概率为10 , 20xyyx121. 0242221232124 )(2222 AP1.17 在线段上任取三点，求

12、：AB321,xxx(1) 位于之间的概率。 (2) 能构成一个三角形的概率。2x31xx 与321,AxAxAx解 (1) (2) 31)(AP 21 121 3131 )( BP1.18 在平面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为（均小于dcba,） ，求三角形与平行线相交的概率。d解 分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然321,AAA所求概率为。分别用表示边，二边与平行线相交，. 0)()(21APAP)(3APbcacabcbaAAAAAA,cba,bcacab,则显然，)(3AP).(bcacabAAA

13、P)(aAP)()(acabAPAP，。所以)(bAP)()(bcabAPAP)(cAP)()(bcacAPAP21)(3AP)(aAP)(bAP)(cAP)(22cbad)(1cbad（用例 1.12 的结果） 1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。 解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1 的线段内随机投点。则事件“该点命中的中点”AAB 的概率等于零，但不是不可能事件。A1.20 甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，ab 直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现

14、象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解表示白，表示黑白，表示黑黑白，123白黑黑表示个 bb 1则样本空间，并且，121bbaaP)(1， ，1)(2baa babP211)(3baa bab babP) 1()2()2( 11)(ibaa ibaib bab babPiababaabPb) 1)(!)(1甲取胜的概率为+)(1P)(3P)(5P乙取胜的概率为+)(2P)(4P)(6P1.21 设事件及的概率分别为、及，求，BA,BApqr)(ABP)( BAP)( BAP)( BAP解 由得)()()()(ABPBPAPBAPrqpBAPBPAPABP)()()()(，qrABPAPA

15、BAPBAP)()()()(prBAP)(rBAPBAPBAP1)(1)()(1.22 设、为两个随机事件，证明：1A2A(1) ;)()()(1)(212121AAPAPAPAAP(2) .)()()()()()(121212121APAPAAPAAPAPAP证明 (1) =1)()(2121AAPAAP)(21AAP)()()(12121AAPAPAP(2) 由(1)和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。0)(21AAP1.23 对于任意的随机事件、，证明：ABC)()()()(APBCPACPABP证明 )()()()()(ABCPACPABPCBAPAP)(

16、)()(BCPACPABP1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙 报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%，同时订甲、丙两报的有 8%，同时订乙、丙两报的有 5%，同时订三种报纸的 有 3%，求下述百分比： (1)只订甲报的； (2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。解 事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。ABC(1) =30%)()(ACABAPCBAP)()(ACABPAP(2) %7)()(ABCABPCABP(3)

17、 %23)()()()()(ABCPBCPABPBPCABP%20)()()()()(ABCPBCPACPCPBACP+=+=73%CBAP(CAB)BAC)(CBAP)(CABP)(BACP(4) )(ABCBACCABP%14)()()(ABCPBACPCABP(5) %90)(CBAP(6) %10%901)(1)(CBAPCBAP1.26 某班有个学生参加口试，考签共 N 张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没n 有被抽到的概率是多少？解 用表示“第 张考签没有被抽到” ， 。要求。iAiNi, 2 , 1)(1NiiAP，niNNAP1)(njiNNAAP2)(

18、0)(1nNNNNAAPnNiiNNNAP 1 1)(1nNNN 1 1) 1(11，nNijiNNNAAP 2 2)(1nNNN 2 2) 1(12所以nNiiNiiNiNAP 111) 1()(1.27 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？n解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为，当且仅当的排列n nniiiaaa 2121n, 2 , 1中存在使时这一项包含主对角线元素。用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出)(21niiikkikkAkikk现于展开式的某项中。则，ninnAPi1!)!1()()1 (!)!2()(njinnAAPji所

19、以!1) 1(!)!() 1()(11111inin inAPniiniiNii 1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女 孩是等可能的） 。解 用分别表示男孩和女孩。则样本空间为：gb,),)(,(,),(),)(,(),(),(gggbgggbgggbbbgbgbgbbbbb其中样本点依年龄大小的性别排列。表示“有女孩” ， 表示“有男孩” ，则AB76 8/78/6 )()()|(APABPABP1.30 设件产品中有件是不合格品，从中任取两件，Mm (1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (

20、2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 解（1）设表示“所取产品中至少有一件是不合格品” ， 表示“所取产品都是不合格品” ，则 AB 2112)(MmMmmAP 22)(MmBP)()( )()()|(APBP APABPABP121 mMm(2)设表示“所取产品中至少有一件合格品” ， 表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品” 。则CD 2211)(MmMmMmCP 211)(MmMmDP)()( )()()|(CPDP CPCDPCDP12 mMm1.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：n(1)已知前个人都没摸到，求第个人摸到的

21、概率；1k)(nk k(2)第个人摸到的概率。k)(nk 解 设表示“第 个人摸到” ， 。iAini, 2 , 1(1) 11 ) 1(1)|(11knknAAAPkk(2) )(kAP)(11kkAAAPnknnn nn1 11 1211.32 已知一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡k)0(!ekk p恰有个下一代（即小鸡）的概率为。rpr erp !)(解 用表示“母鸡生个蛋” ， 表示“母鸡恰有个下一代” ，则kAkBr)|()()(k rkkABPAPBPrkrrkk pprkke )1 (! rkrkrrkperp )!()1 ( !)()1(

22、!)(pr eerppr erp!)(1.33 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四级射手一人，一、二、 三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是 0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔 进入决赛的概率。解 用表示“任选一名射手为级” ， ，表示“任选一名射手能进入决赛” ，则kAk4 , 3 , 2 , 1kB)|()()(41k kkABPAPBP 645. 02 . 02015 . 02077 . 02089 . 02041.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占 25%，3

23、5%，40%，并在各自的产品里，不合 格品各占有 5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于 多少？解 用表示“任取一只产品是甲台机器生产”1A表示“任取一只产品是乙台机器生产” 2A表示“任取一只产品是丙台机器生产” 3A表示“任取一只产品恰是不合格品” 。B 则由贝叶斯公式：6925)|()()|()()|(3111 1 kkkABPAPABPAPBAP6928)|()()|()()|(3122 2 kkkABPAPABPAPBAP6916)|()()|()()|(3133 3 kkkABPAPABPAPBAP1.35 某工厂的车床、

24、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解 则 ， ，159)(1AP153)(2AP152)(3AP151)(4AP，71)|(1ABP72)|(2ABP73)|(3ABP71)|(4ABP由贝时叶斯公式得 229)|()()|()()|(4111 1 kkkABPAPABPAPBAP1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火

25、车来的概率41 31 121是多少？解 用表示“朋友乘火车来” ，表示“朋友乘轮船来” ，表示“朋友乘汽车来” ，表示“朋友乘飞机来” ，1A2A3A4A表示“朋友迟到了” 。B则 21)|()()|()()|(4111 1 kkkABPAPABPAPBAP1.37 证明：若三个事件、独立，则、及都与独立。ABCBAABBAC证明 （1）)()()()(ABCPBCPACPCBAP=)()(CPBAP（2）)()()()()()CPABPCPBPAPPABC（3）=)()()(ABCACPCABAPCBAP)()(CPBAP1.38 试举例说明由不能推出一定成立。)()()()(CPBPAPA

26、BCP)()()(BPAPABP解 设，,54321641)(1P6418)(5P， 则 )(2P)(3P6415)(4P,21A,31A,41A，41 6415 641)()()(CPBPAP)()()(641)()(1CPBPAPPABCP但是)()(641)()(1BPAPPABP1.39 设为个相互独立的事件，且，求下列事件的概率：nAAA,21n)1 ()(nkpAPkk(1) 个事件全不发生；n (2) 个事件中至少发生一件；n (3) 个事件中恰好发生一件。n解 (1) nkk kknkkpAPAPn111)1 ()()(2) nkknkknkkpAPAP111)1 (1)(1)

27、(3) . )1 ()()(111111nkjjjnkjjnkkjnkknknkjjjkppAAAAP 1.40 已知事件相互独立且互不相容，求（注：表示中小的一个数） 。BA,)(),(min(BPAP),min(yxyx,解 一方面，另一方面，即中至少有一个等于 0，所以0)(),(BPAP0)()()(ABPBPAP)(),(BPAP. 0)(),(min(BPAP1.41 一个人的血型为型的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件ABBAO,的概率(1)两个人为型，其它三个人分别为其它三种血型；O (2)三个人为型，两个人为型；OA (3)没有

28、一人为。AB解 (1)从 5 个人任选 2 人为型，共有种可能，在其余 3 人中任选一人为型，共有三种可能，在余下的 2O 25A人中任选一人为型，共有 2 种可能，另一人为型，顺此所求概率为：BAB0168. 013. 011. 040. 046. 023252 (2) 1557. 040. 046. 03522 (3) 8587. 0)03. 01 (51.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是 0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有 一架敌机入侵领空，欲以 99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解 用表示“第门高射炮发射一发炮弹而击中飞机” ， ，表示

29、“击中飞机” 。则，kAk, 2 , 1kB6 . 0)(kAP。, 2 , 1k(1) 84. 04 . 01)(1)(2 2121AAPAAP(2) , 99. 04 . 01)(1)(11nnkknAPAAP026. 54 . 0lg 01. 0lgn取。至少需要 6 门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证 99%的概率击中飞机。6n 1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为，求在成功次之前已失败了次的概率。pnm解 用表示“在成功次之前已失败了次” ， 表示“在前次试验中失败了次” ， 表示“第AnmB1 mnmC 次试验成功”mn 则 pppmmnCPBPBCPAPmn )1

30、 (1)()()()(1mnppmmn)1 (1 1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一n盒时另一盒中还有根火柴（）的概率。rnr 1解 用表示“甲盒中尚余 根火柴” ， 用表示“乙盒中尚余根火柴” ， 分别表示“第次在甲盒iAijBjDC,rn 2取” ， “第次在乙盒取” ， 表示取了次火柴，且第次是从甲盒中取的，即在前rn 2CBAr0rn 2rn 2在甲盒中取了，其余在乙盒中取。所以 12 rn1n21 21 21 112)(10 rnnrnrnCBAP由对称性知，所求概率为：)()(00DBAPCBAPrr)(00DBA

31、CBAPrr12021 112)(2 rnrnrnCBAP第二章第二章 离散型随机变量离散型随机变量 2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1) (2) 2 . 03 . 05 . 0 531 1 . 01 . 07 . 0 321(3) (4) nn31 21 31 21 31 21 21210 2 2221 21 2121n解 （1）是（2），所以它不是随机变量的分布列。11 . 01 . 07 . 0（3）,所以它不是随机变量的分布列。 43 31 21 31 21 31 21 212 n（4）为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。, 021n n1211nn2.2 设随机变

32、量的分布列为：，求(1);5 , 4 , 3 , 2 , 1,15)(kkkP)21(或P(2) ； (3) 。)25 21(P)21 (P解 (1) ;51 152 151)21(或P(2) ;51)2() 1()25 21(PPP(3) .)21 (P51)2() 1(PP2.3 解 设随机变量的分布列为。求的值。3 , 2 , 1,32)(iCiPi C解 ，所以。132 32 3232 C3827C2.4 随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。N)(NP2N解 根据题意知，其中常数待定。由于，所以，即的分布列为 2)(NCNPC16212CNCN26 C，取正整数。 226)(N

33、NPN2.5 一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了mmn 个白球，求的分布列。解 设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为：kk1k., 1 , 0,)() 1()(1() 1()(mkknnnmnkmmmkP2.6 设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，43 41求的分布列。解 ., 2 , 1,43 41)(1 kkPk 2.7 一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为 1、2、3、4、5，从中同时取出 3 只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。解 .5 , 4 , 3,35

34、21)( kkkP2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次p) 10( p数，求的分布列。解，其中。, 3 , 2,)(11kqppqkPkkpq12.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为 0.4,第二名队员投中的概率为 0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解 设，表示第二名队员的投篮次数，则+；4 . 04 . 06 . 0)(11kkkP6 . 04 . 06 . 01kk, 2 , 1,24. 076. 01kk。6 . 04 . 06 . 0)(1kkkP4 . 04 . 06 . 0kk, 2 , 1,

35、4 . 06 . 076. 01kkk2.10 设随机变量服从普哇松分布，且，求。 ) 1(P)2(P)4(P解。由于得（不合要求） 。所以, 2 , 1 , 0)0(!)(kekkPk ,22 ee, 2102。22432 ! 42)4(eeP2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品， 才能保证当月不脱销的概率为 0.999。解 设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，则。查普哇松分布的数值表，得x999. 0)( xP。16x 2.12 如果在时间 （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与 成正比的普哇松分布。已知

36、在一分钟内tt 没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2 分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设为时间 内通过交叉路口的汽车数，则t, 2 , 1 , 0),0(!)()(kektkPtk 时，所以；时，因而1t2 . 0)0(eP5ln2t5ln2t。 ) 1(P)0(1P ) 1(P83. 025/ )25ln24(2.13 一本 500 页的书共有 500 个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过 500 个） 。试 求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为5001pkkkk 5005003500499

37、5001500kkkk 50020500499 50015001利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于15001500 np080301. 0251!11120eekk214 某厂产品的不合格品率为 0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于 0.9 的概率保证每箱中至少有 100 个 合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使 x100kx，kxkxkkx 100097. 003. 01009 . 0利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，查普哇松分布数值表，303. 0)100(x30!39 . 0ekxkk得。5x2.15 设二维随机

38、变量的联合分布列为：),() 10,0() !( ! )1 (),( pemnmppmnPmnmn , 2 , 1 , 0, 1 , 0nnm求边际分布列。解 nmmnPnP0),()(mnmnmn ppmnmn ne )1 ()!( ! !0, 2 , 1 , 0! nnen0),()(nmnPmPmnmmnm ppmnmn mep )1 ()!( ! !。, 2 , 1 , 0!)( mmeppm2.17 在一批产品中一等品占 50%，二等品占 30%，三等品占 20%。从中任取 4 件，设一、二、三等品的件数分别为、，求的联合分布列与各自的边际分布列。),(解 ，knm knmknmP2

39、 . 03 . 05 . 0! 4),(. 44 , 3 , 2 , 1 , 0,knmknm，；mm mmP 45 . 05 . 04)(4 , 3 , 2 , 1 , 0m，；nn nnP 47 . 03 . 04)(4 , 3 , 2 , 1 , 0n，。kk kkP 48 . 02 . 04)(4 , 3 , 2 , 1 , 0k2.18 抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求的联合分布列及边际分布列。),(2.21 设随机变量与独立，且，) 1(P0) 1(pP又，定义，问取什么值时与独立？)0(P01)0(pP 为奇数若为偶数若0

40、1p解=) 1() 1()0()0() 1(PPPPP22)1 (pp) 1()0() 1()0()0(PPPPP)1 (2pp而，由得) 1, 1(P2) 1, 1(pP) 1, 1(P) 1() 1(PP 21p2.22 设随机变量与独立，且，定义，证明两两独立，但不相互) 1(P21) 1(P,独立。证明21) 1() 1() 1() 1() 1(PPPPP21) 1() 1() 1() 1() 1(PPPPP因为41) 1, 1() 1, 1(PP) 1) 1(PP41) 1, 1() 1, 1(PP) 1) 1(PP41) 1, 1() 1, 1(PP) 1() 1(PP41) 1,

41、 1() 1, 1(PP) 1() 1(PP所以相互独立。同理与相互独立。,但是，因而不相互独立。) 1() 1() 1() 1, 1, 1(PPPP,2.23 设随机变量与独立， ，且只取值 1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分（即不可能有。 ）12, 3 , 2,111)(kkP证明 设。,)(kpkP6 , 2 , 1,)(kqkPk若，则12, 3 , 2,111)(kkP111)2(11qpP) 1 (111)7(165261qpqpqpP)2(111)12(66qpP)3(将（2）式减去（1）式，得：，于是。同理。因此，与0)(116qpp16pp 16qq 1111166qpqp（3）式矛盾。2.24 已知随机变量的分布列为，求与的分布列。41 21 4120 232cos解 分布列为，；41)2(P21)32(P41)322(P的分布列为，。41) 1(P21)0(P41) 1(P2.25 已知离散型随机变量的分布列为，求的分布列。3011 151 51 61 51310122解 ,