概率论与数理统计教程魏宗舒 课后习题解答答案18章.docx

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1、第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间与表示下列事件的样本点集合。(1)10 件产品中有 1 件是不合格品，从中任取 2 件得 1 件不合格品。(2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。解(1)记 9 个合格品分别为921,正正正，记不合格为次，则(2)记 2 个白球分别为1，2，3 个黑球分别为1b，2b，3b，4 个红球分别为1r，2r，3r，4r。则1，2，1b，2b，3b，1r，2r，3r，4r1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三年级学生，事件 C 表示该生是运

2、动员。(1)叙述CAB的意义。(2)在什么条件下CABC 成立？(3)什么时候关系式BC 是正确的？(4)什么时候BA 成立？解(1)事件CAB表示该是三年级男生，但不是运动员。(2)CABC 等价于ABC，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了n个零件，以事件iA表示他生产的第i个零件是合格品（ni 1）。用iA表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解(1)niiA1;(2);(3);

3、(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；1.4 证明下列各式：(1)ABBA;(2)ABBA(3)CBA)(EMBEDEquation.3)(CBA;(4)CBA)(EMBED Equation.3)(CBA(5)CBA)(EMBED Equation.3)(CA)(CB(6)证明（1）（4）显然，（5）与（6）的证法分别类似于课文第 1012 页（1.5）式与(1.6)式的证法。1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为7828A。所得分数为既约分数必须分子分母或为

4、7、11、13 中的两个，或为 2、4、6、8、12 中的一个与 7、11、13 中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含6322151323AAA个样本点。于是1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解 样本点总数为。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含 3 个样本点，于是。1.7 一个小孩用 13 个字母TTNMMIIHECAAA,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MAT

5、HEMATICIAN”一词的概率为多大？解显 然 样 本 点 总 数 为!13，事 件A“恰 好 组 成“MATHEMATICIAN”包含!2!2!2!3个样本点。所以1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”与一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109个不同位置，当它处于与红“车”同行或同列的1789个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位与两位以上乘客在同一层离开的概率

6、。解 每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯，现有 7位乘客，所以样本点总数为79。事件A“没有两位与两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取 7 层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含79A个样本点，于是。1.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字 8”的概率为多大？解 用A表示“牌照号码中有数字 8”，显然，所以1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是 1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是 1；解(1)答案为51。(2)

7、当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案为(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含210个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是 1”，则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为 1 与 3a的个位数，要使 3a的个位数是 1，必须7a，因此A所包含的样本点只有 71这一点，于是1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头与尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到n2根草的情形。解(

8、1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有135种接法，同样对尾也有135种接法，所以样本点总数为2)135(。用A表示“6 根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有135种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能与未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能与未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为24。所以A包含的样本点数为)24)(135(，于是158)135()24)(135()(2AP(2)n2根草的情形与(1)类似得1.1

9、3 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球的概率为，nk 0(2)恰好有m个盒的概率为，1NmnN(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为nnNjnjnmNmjm1111，.0,1NjNm解 略。1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。解 所求概率为1.15 在ABC中任取一点P，证明ABCABP与的面积之比大于nn1的概率为21n。解 截取，当且仅

10、当点P落入BAC之内时ABCABP与的面积之比大于nn1，因此所求概率为22)(CDDCABCCBAAP的面积有面积EMBEDEquation.321n。1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分别用yx,表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当10,20 xyyx。因此所求概率为121.0242221232124)(2222AP1.17 在线段AB上任取三点321,xxx，求：(1)2x位于31xx 与之间的概率。(2)321,AxAxAx能构成

11、一个三角形的概率。解(1)(2)211213131)(BP1.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为cba,（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。解 分别用321,AAA表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然.0)()(21APAP所求概率为)(3AP。分别用bcacabcbaAAAAAA,表示边cba,，二边bcacab,与平行线相交，则)(3APEMBED Equation.3).(bcacabAAAP显然)()(acabAPAP，)(bAPEMBEDEquation.3)()(bcabAPAP，)(

12、cAPEMBEDEquation.3)()(bcacAPAP。所以（用例 1.12 的结果）1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1 的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解1表示白，2表示黑白，3表示黑黑白，则样本空间1，2，1b，并且，甲取胜的概率为)(

13、1P+)(3P+)(5P+乙取胜的概率为)(2P+)(4P+)(6P+1.21 设事件BA,与BA的概率分别为p、q与r，求)(ABP，)(BAP，)(BAP，)(BAP解 由)()()()(ABPBPAPBAP得1.22 设1A、2A为两个随机事件，证明：(1)()()(1)(212121AAPAPAPAAP;(2)()()()()()(121212121APAPAAPAAPAPAP.证明(1)1)()(2121AAPAAPEMBEDEquation.3)(21AAP=)()()(12121AAPAPAP(2)由(1)与0)(21AAP得第一个不等式，由概率的单调性与半可加性分别得第二、三个

14、不等式。1.23对 于 任 意 的 随 机 事 件A、B、C，证 明：)()()()(APBCPACPABP证明)()()()()(ABCPACPABPCBAPAP1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%，同时订甲、丙两报的有 8%，同时订乙、丙两报的有 5%，同时订三种报纸的有 3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表

15、示订丙报。(1)()(ACABAPCBAP=)()(ACABPAP=30%(2)%7)()(ABCABPCABP(3)%23)()()()()(ABCPBCPABPBPCABPCBAP(+CAB+)BAC=)(CBAP+)(CABP+)(BACP=73%(4)(ABCBACCABPEMBEDEquation.3%14)()()(ABCPBACPCABP(5)%90)(CBAP(6)%10%901)(1)(CBAPCBAP1.26 某班有n个学生参加口试，考签共 N 张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解 用iA表示“第i张考签没有被抽到”，Ni,2

16、,1。要求。所以nNiiNiiNiNAP111)1()(1.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为nniiiaaa2121，当且仅当n,2,1的排列)(21niii中存在k使kik时这一项包含主对角线元素。用kA表示事件“排列中kik”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则所以!1)1(!)!()1()(11111inininAPniiniiNii1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解 用gb,分别表示男孩与女孩。则

17、样本空间为：其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”，B表示“有男孩”，则1.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，B表示“所取产品都是不合格品”，则2112)(MmMmmAP(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”，D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则1.31n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：(1)已知前1kEMBED Equation.3)

18、(nk 个人都没摸到，求第k个人摸到的概率；(2)第kEMBED Equation.3)(nk 个人摸到的概率。解 设iA表示“第i个人摸到”，ni,2,1。(1)11)1(1)|(11knknAAAPkk(2)(kAPEMBEDEquation.3)(11kkAAAPnknnnnn1111211.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为。解 用kA表示“母鸡生k个蛋”，B表示“母鸡恰有r个下一代”，则1.33 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四级射手一人，一、二

19、、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是 0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解 用kA表示“任选一名射手为k级”，4,3,2,1k，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则)|()()(41kkkABPAPBPEMBED Equation.3645.02.02015.02077.02089.02041.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占 25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解 用1A表示“任

20、取一只产品是甲台机器生产”2A表示“任取一只产品是乙台机器生产”3A表示“任取一只产品是丙台机器生产”B表示“任取一只产品恰是不合格品”。则由贝叶斯公式：1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解 则，由贝时叶斯公式得229)|()()|()()|(41111kkkABPAPABPAPBAP1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是41、31、121，而

21、乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解 用1A表示“朋友乘火车来”，2A表示“朋友乘轮船来”，3A表示“朋友乘汽车来”，4A表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。则21)|()()|()()|(41111kkkABPAPABPAPBAP1.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则BA、AB与BA都与C独立。证明（1）)()()()(ABCPBCPACPCBAP（2）)()()()()()CPABPCPBPAPPABC（3）)()()(ABCACPCABAPCBAP=)()(CPBAP1.38试 举 例 说 明 由)()()()(CPBPAPABCP不 能 推 出)

22、()()(BPAPABP一定成立。解 设,54321，)(2P)(3P，,21A，,31A，,41A则416415641)()()(CPBPAP，但是)()(641)()(1BPAPPABP1.39 设nAAA,21为n个相互独立的事件，且)1()(nkpAPkk，求下列事件的概率：(1)n个事件全不发生；(2)n个事件中至少发生一件；(3)n个事件中恰好发生一件。解(1)nkkkknkkpAPAPn111)1()()(2)nkknkknkkpAPAP111)1(1)(1)(3)1()()(111111nkjjjnkjjnkkjnkknknkjjjkppAAAAP.1.40 已知事件BA,相互

23、独立且互不相容，求)(),(min(BPAP（注：),min(yx表示yx,中小的一个数）。解一 方 面0)(),(BPAP，另 一 方 面0)()()(ABPBPAP，即)(),(BPAP中至少有一个等于 0，所以.0)(),(min(BPAP1.41 一个人的血型为ABBAO,型的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为O型，两个人为A型；(3)没有一人为AB。解(1)从 5 个人任选 2 人为O型，共有25种可能，在其余 3 人中任选一人为A型，共有三种可能，在余下的 2 人中

24、任选一人为B型，共 有 2 种 可 能，另 一 人 为AB型，顺 此 所 求 概 率 为：0168.013.011.040.046.023252(2)1557.040.046.03522(3)8587.0)03.01(51.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是 0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以 99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解 用kA表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，,2,1k，B表示“击中飞机”。则6.0)(kAP，,2,1k。(1)84.04.01)(1)(22121AAPAAP(2)99.04.01)(1

25、)(11nnkknAPAAP,取6n。至少需要 6 门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”，B表示“在前1 mn次试验中失败了m次”，C表示“第mn 次试验成功”则pppmmnCPBPBCPAPmn)1(1)()()()(11.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（nr 1）的概率。解 用iA表示“甲盒中尚余i根火柴”，用jB表示“乙盒中尚余j根火柴”，DC

26、,分别表示“第rn 2次在甲盒取”，“第rn 2次在乙盒取”，CBAr0表示取了rn 2次火柴，且第rn 2次是从甲盒中取的，即在前12 rn在甲盒中取了1n，其余在乙盒中取。所以212121112)(10rnnrnrnCBAP由对称性知)()(00DBAPCBAPrr，所求概率为：第二章第二章 离散型随机变量离散型随机变量2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1)(2)(3)nn312131213121212102(4)2221212121n解（1）是（2）11.01.07.0，所以它不是随机变量的分布列。（3）43312131213121212n,所以它不是随机变量的分布列。（4

27、）n为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。2.2 设随机变量的分布列为：5,4,3,2,1,15)(kkkP，求(1)21(或P;(2)；(3)21(P。解(1)51152151)21(或P;(2)51)2()1()2521(PPP;(3)21(PEMBED Equation.351)2()1(PP.2.3 解 设随机变量的分布列为3,2,1,32)(iCiPi。求C的值。解132323232C，所以。2.4 随机变量只取正整数N，且)(NP与2N成反比，求的分布列。解 根据题意知，其中常数C待定。由于，所以，即的分布列为，N取正整数。2.5 一个口袋中装有m个白球、mn 个黑球，不返回地连

28、续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，求的分布列。解 设“k”表示前k次取出白球，第1k次取出黑球，则的分布列为：2.6 设某批电子管的合格品率为43，不合格品率为41，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。解.,2,1,4341)(1kkPk2.7 一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为 1、2、3、4、5，从中同时取出 3 只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。解.5,4,3,3521)(kkkP2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为pEMBEDEquation.3)10(p，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。解,3

29、,2,)(11kqppqkPkk，其中pq1。2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为 0.4,第二名队员投中的概率为 0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解 设，表示第二名队员的投篮次数，则2.10 设随机变量服从普哇松分布，且)1(PEMBED Equation.3)2(P，求)4(P。解,2,1,0)0(!)(kekkPk。由于得,21EMBED Equation.302（不合要求）。所以22432!42)4(eeP。2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0

30、.999。解 设为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则999.0)(xP。查普哇松分布的数值表，得16x。2.12 如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2 分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设为时间t内通过交叉路口的汽车数，则1t时，2.0)0(eP，所以5ln；2t时，5ln2t，因而2.13 一本 500 页的书共有 500 个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过 500 个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至

31、少出现三个错误的概率为利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于214某厂产品的不合格品率为 0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于 0.9 的概率保证每箱中至少有 100 个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装x100个产品，其中有k个次品，则要求x,使利用普哇松分布定理求近似值，取303.0)100(x，于是上式相当于，查普哇松分布数值表，得5x。2.15 设二维随机变量),(的联合分布列为：求边际分布列。解nmmnPnP0),()(EMBEDEquation.3mnmnmnppmnmnne)1()!(!02.17 在一批产品中一等品占 50%，二等品占 30%，三等品

32、占20%。从中任取 4 件，设一、二、三等品的件数分别为、，求),(的联合分布列与各自的边际分布列。解knmknmknmP2.03.05.0!4),(，.44,3,2,1,0,knmknm2.18 抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求),(的联合分布列与边际分布列。2.21 设 随 机 变 量与独 立，且)1(PEMBED Equation.30)1(pP，又)0(PEMBEDEquation.301)0(pP，定 义为奇数若为偶数若01，问p取什么值时与独立？解)1()1()0()0()1(PPPPP=22)1(pp而)1,1(PEMBE

33、D Equation.32)1,1(pP，由)1,1(PEMBEDEquation.3)1()1(PP得2.22 设随机变量与独立，且)1(P，定义，证明,两两独立，但不相互独立。证明21)1()1()1()1()1(PPPPP因为41)1,1()1,1(PPEMBED Equation.3)1)1(PP所以,相互独立。同理与相互独立。但是)1()1()1()1,1,1(PPPP，因而,不相互独立。2.23 设随机变量与独立，且只取值 1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分（即不可能有12,3,2,111)(kkP。）证明 设,)(kpkPEMBED Equation.36,2,1,)(kq

34、kPk。若12,3,2,111)(kkP，则将（2）式减去（1）式，得：0)(116qpp，于是16pp。同理16qq。因此，与（3）式矛盾。2.24 已知随机变量的分布列为，求与cos的分布列。解分布列为，；的分布列为，。2.25 已知离散型随机变量的分布列为301115151615131012，求2的分布列。解,2.26 设离散型随机变量与的分布列为：，：，且与相互独立，求的分布列。解12124141241161432102.27 设独立随机变量与分别服从二项分布：),;(1pnkb与),;(2pnkb，求的分布列。解 设为1n重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中pAP)(），为2

35、n重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中pAP)(），而与相互独立，所以为21nn 重贝努里试验中事件A发生的次数，因而2.28 设与为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为求的分布列。解nknnkknknknPkPnP212121)()()(11112.29 设随机变量具有分布：5,4,3,2,1,51)(kkP，求E、2E与2)2(E。解，3)54321(51E，11)54321(51222222E2)2(EEMBED Equation.32E+4E+4=272.30 设随机变量具有分布：,2,1,21)(kkPk，求E与D。解221212111kkkkkkE，62121211212

36、2kkkkkkE2.31设 离 散 型 随 机 变 量的 分 布 列 为：,2,1,212)1(kkPkkk，问是否有数学期望？解11121|2)1(|kkkkkkk，因为级数11kk发散，所以没有数学期望。2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为 1 克、2 克、10 克，现有三组砝码：（甲组）1，2，2，5，10（克）（乙组）1，2，3，4，10（克）（丙组）1，1，2，5，10（克）问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？解 设1、2、3分别表示与甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有物品重量度123456789101112212233

37、12111122233131123122341于是8.1)1332212211(1011E所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。2.33 某个边长为 500 米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0 米的概率是 0.49,10米的概率各是 0.16，20米的概率各是 0.08，30米的概率各是 0.05，求场地面积的数学期望。解 设场地面积为2米S，边长的误差为米，则2)500(S且0EEMBEDEquation.3186)05.03008.02016.010(22222E所以)(2501862500001000)500(222米EEEES2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生

38、故障是独立的，且概率分别为1p、2p、3p。试证发生故障的仪器数的数学1p+2p+3p。证 令3,2,101iiii架仪器未发生故障第架仪器发生故障第为发生故障的仪器数，则3,2,1,)1(ipPEiii，所以321EEEEEMBED Equation.31p+2p+3p。2.37 如果在 15000 件产品中有 1000 件不合格品，从中任意抽取 150 件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，则i的分布列为，因而。设为查得的不合格品数，则，所以。2.38 从数字 0，1，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解设为 所 选 两 个 数 字 之 差 的 绝 对

39、 值，则nknknkP,2,1,211)(，于是32)1()1(2211121nkknnnnknkEnknk。2.39 把数字n,2,1任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解 设个位置上不在第数字个位置上出现在第数字kkkkk01则k的分布列为：于是，设匹配数为，则，因而。2.40 设为取非负整数值的随机变量，证明：(1);(2).1()(21EEnnPDn证明(1)由于存在，所以该级数绝对收敛。从而(2)D存在，所以级数也绝对收敛，从而2.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解 设成

40、功与失败均出现时的试验次数为，则利用上题的结论，EEMBED Equation.3)1(P+=1+2.42 从一个装有m个白球、n个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解 略。2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第0n件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第0n件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p，问平均每批要检查多少件？解 略。2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p，当生产出k个不合格品时

41、即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设第1i个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为i，.,2,1ki又在两次检修之间产品总数为，则因i独立同分布，)1(,2,1,)(1pqjpqjPji，由此得：2.46 设随机变量与独立，且方差存在，则有22)()()(EDDEDDD（由此并可得DDD)(）证明222)()(EED2222)()(EEEE2.47 在整数 0 到 9 中先后按下列两种情况任取两个数，记为与：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在)90(kk的条件下的分布列。解(1)9,1,0101)|(ikiP.(2

42、),9,1,0(91)|(kiikiP,0)|(kkP2.49 在n次贝努里试验中，事件A出现的概率为p，令求在)0(21nrrn的条件下，)0(nii的分布列。解)(),0()|0(2111121nniiiniPrPrP2.50 设随机变量1，2相互独立，分别服从参数为1与2的普哇松分布，试证：证明)(),()|(21211211nPnkPnkP由普哇松分布的可加性知1+2服从参数为1+2的普哇松分布，所以2.51 设1，2，r为r个相互独立随机变量，且)1(rii服从同一几何分布，即有pqrikqpkPki1),1(,2,1,)(1其中。试证明在nr21的条件下，),(21r的分布是均匀分

43、布，即111|,(2111rnnnnPrrr，其中nnnnr21.证 明rrrnnP2111|,(EMBEDEquation.3)(),(1111nPnnnPrrrr由于1，2，r相互独立且服从同一几何分布，所以从而)|,(2111nnnPrrr。第三章第三章连续型随机变量连续型随机变量3.1 设随机变数的分布函数为)(xF，试以)(xF表示下列概率：（1）)(aP；（2）)(aP；（3）)(aP；（4）)(aP解：（1）)()0()(aFaFaP；（2）)0()(aFaP；（3）)(aP=1-)(aF；（4）)0(1)(aFaP。3.2 函数是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1）xE

44、MBED Equation.3（2）0 x，在其它场合适当定义；（3）-0 x，在其它场合适当定义。解：（1）)(xF在（-,）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；（2）)(xF在（0，）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；（3）)(xF在（-)0,内单调上升、连续且)0,(F，若定义则)(xF可以是某一随机变量的分布函数。3.3函数xsin是不是某个随机变数的分布密度？如果的取值范围为（1）；（2）,0；（3）。解：（1）当时，0sinx且=1，所以xsin可以是某个随机变量的分布密度；（2）因为xxdx0sin=21，所以xsin不是随机变量的分布密度；（3）当时，EMBE

45、D Equation.30sinx，所以xsin不是随机变量的分布密度。3.4设随机变数具有对称的分布密度函数)(xp，即),()(xpxp证明：对任意的,0a有（1）21)(1)(aFaFadxxp0)(；（2）P（1)(2)aFa；（3）)(12)(aFaP。证：（1）aadxxpdxxpaF)(1)()(（2）aaadxxpdxxpaP0)(2)(，由（1）知1-故上式右端=21)(aF；（3）)(1 2 1)(21)(1)(aFaFaPaP。3.5 设)(1xF与EMBED Equation.3)(2xF都是分布函数，又0,0ba是两个常数，且1ba。证明也是一个分布函数，并由此讨论，

46、分布函数是否只有离散型与连续型这两种类型？证：因为)(1xF与EMBED Equation.3)(2xF都是分布函数，当21xx 时，)()(2111xFxF，)()(2212xFxF，于是又所以，)(xF也是分布函数。取，又令这时显然，与)(xF对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故)(xF不是离散型的，而)(xF不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6 设随机变数的分布函数为求相应的密度函数，并求)1(P。解：xxxeexdxd)1(1，所以相应的密度函数为3.7 设随机变数的分布函数为求常数A与密度函数。解：因为)1()01(FF，所以1A，密度函数为3.8 随机变数的分布函数为Ba

47、rctgxAxF)(，求常数A与B与相应的密度函数。解：因为0)2()(limBAxFx所以因而3.9 已知随机变数的分布函数为（1）求相应的分布函数)(xF；2.求)2.12.0(),3.1(),5.0(PPP。解：21211212)2(102100)(101202xxxxdyyydyxxydyxxFxx3.10 确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。（1）xAexp)(；（2）其它022cos)(xxAxp（3）EMBED Equation.3其它03221)(2xAxxAxxp解：（1）211220AAdxeAdxAexx所以；（2）222012cos2cosAxdxA

48、xdxA，所 以A=21;(3)162921822AAxdxdxAx,所以。3.12在半径为 R,球心为 O 的球内任取一点 P,求oP的分布函数。解：当 0Rx 时333)(3434)()(RxRxxPxF所以RxRxRxxxF10)(00)(33.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有 80 万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量 90 万度又是怎样呢？解：18.020272.0)1(12)8.0(dxxxP0037.0)1(12)9.0(19.02dxxxP因此，若该城市每天的供电量为 80 万度

49、，供电量不够需要的概率为 0.0272,若每天的供电量为 90 万度，则供电量不够需要的概率为 0.0037。3.14设随机变数服从（0，5）上的均匀分布，求方程有实根的概率。解：当且仅当0)2(16)4(2（1）成立时，方程02442xx有实根。不等式（1）的解为：2或1。因此，该方程有实根的概率3.17 某种电池的寿命服从正态),(2aN分布，其中300a（小时），35（小时）(1)求电池寿命在 250 小时以上的概率；（2）求x，使寿命在xa 与xa 之间的概率不小于 0.9。解：（1）)43.135300()250(PP（2）353530035()(xxPxaxaP即所以即75.57x

50、3.18 设)(x为)1,0(N分布的分布函数，证明当0 x时，有)11(21)(11.2132222xxexxexx证：dyedyexxyxy222221211)(1所以)11(21)(11.2132222xxexxexx。3.21 证明：二元函数对 每 个 变 元 单 调 非 降，左 连 续，且0),(),(xFyF，0),(F，但是),(yxF并不是一个分布函数。证：（1）设0 x，若0 yx，由于0yxx，所以1),(),(yxxFyxF，若0 yx，则0),(yxF。当0yxx时，0),(yxxF；当0yxx时，1),(yxxF。所以),(),(yxxFyxF。可见，),(yxF对x