2022年圆锥曲线方程-曲线.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 曲线.学问点一直接法求曲线的方程x 轴、 y 轴上滑动,就AB 的已知线段 AB 的长度为 10,它的两个端点分别在中点 P 的轨迹方程是 _解析 设点 P 的坐标为 x,y,就 A 点坐标为 2x,0,B 点坐标为 0,2y 由两点间的距离公式可得 2x 22y 210,即 2x 22y 2100,整理、化简得 x 2 y 225. 答案 x 2y 225 学问点二 代入法求曲线的方程已知 ABC 的两顶点 A、B 的坐标分别为 A0,0 、B6,0 ,顶点 C 在曲线 yx 23 上运动,求ABC 重心的轨迹方程分析 由重心坐标公式,可知

2、ABC 的重心坐标可以由 A 、B、C 三点的坐标表示出来,而 A、 B 是定点,且 C 在曲线 yx 23 上运动,故重心与 C 相关联因此,设出重心与 C点坐标,找出它们之间的关系,代入曲线方程 yx 23 即可解 设 Gx,y为所求轨迹上任一点,顶点 C 的坐标为 x ,y,就由重心坐标公式,得06xx3,00yy3x3x6,y3y.顶点 Cx,y在曲线 yx 23 上,3y3x6 23,整理,得 y3x 2 21,故所求轨迹方程为 y 3x2 21. 学问点三 定义法求曲线的方程设 A1,0 ,B1,0,如动点 M 满意 kMA k MB 1,求动点 M 的轨迹方程解如下列图,设动点M

3、 的坐标为 x,y由题意知： MA MB. 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 MAB 为直角三角形,AB 为斜边又由于原点 O 是 AB 的中点,所以, |MO|=1, |AB|=1 ,所以,动点 M 在以 O0,0为圆心, |MO|为半径的圆上2依据圆的方程的定义知：方程为 x 2+y 2=1. 又由于动点 M 不能与点 A,B 重合,所以, x 1,所以,动点 M 的轨迹方程为 x 2+y 2=1 x 1学问点四 参数法求曲线的方程已知定点 Pa,b不在坐标轴上, 动直线 l 过点 P,并分别交 x

4、轴,y 轴于点 A,B,分别过 A ,B 作 x 轴, y 轴的垂线交于点 M ,求动点 M 的轨迹方程解 设 Mx ,y,并设 l：yb kxa,由题意知 k 存在,且 k 0,就得 Aab k,0,B0 ,b ak,又 AM ,BM 分别是 x 轴, y 轴的垂线,得即xab k,消去参数 k,ybak,得 xyaybx 0. 所以动点 M 的轨迹方程是 xyaybx 0. 学问点五 交轨法求曲线的方程Mab k,bak假如两条曲线的方程是 f1x,y0 和 f 2x,y0,它们的交点是 Px 0,y0,证明： f 1x,y f2x,y0 的曲线也经过 P 点 R,并求经过两条曲线 x 2

5、y 23xy0 和 3x 23y 2y0 的交点的直线方程解Px0,y0是两曲线的交点,f 1x0, y00,f2x0,y00,f 1x0, y0 f2x0, y00. 即方程 f1x,y f2x,y0 的曲线经过 P 点x 2y 23xy0,3x 2 3y 2y0, 3得 9x4y0. 即过两曲线的交点的直线方程为 9x4y0. 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点赏析1. 福建高考 如图,已知点 F（1,0 ）,直线 l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线 l 的垂线,垂足为点Q,且 QP QF =F

6、P FQ .求动点 P 的轨迹 C的方程 .解方法一设点 Px, y,就 Q1,y,由PQ QF FP FQ 得： x1,0 2, yx1, y 2,y,化简得 C：y 24x. 方法二由 QFQF FPFQ得： PQPQ PF 0,PF PF PQ PF 0,PQ 2PF 2PF 20, |PQ | |PF |. 所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹C 的方程为：A（2,1）B（0,1）,C（2,1）；三动点y24x. 2.（陕西高考）如下列图,三定点D,E,M 满意 AD =t AB, BE =t BC ,DM=t DE ,t 0,1.1求动直线 DE 斜率的变化范畴；2求动点

7、M 的轨迹方程解1设 DxD, yD,ExE,yE,Mx,y 1）= t（2,2）,由 AD =t AB ,BE =t BC ,知 （xD2,yDxD 2t2,同理x E 2t,yD 2t1.y E2t1.kDEyEyD2t 12t11 2t. xExD2t2t 2t0,1 ,kDE 1,13 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2） tDE tDE ,x2t2,y2t1 t2t2t2,2t12t1 t2,4t22t,4t22tx212t,y12t 2.2yx 4,即 x 24y. t0,1 ,x212t2,2所求

8、轨迹方程为x24y, x2,2 C 上” 是不正确的,那么以下命题1假如命题“ 坐标满意方程fx,y0 的点都在曲线中正确选项 A 坐标满意 fx, y 0 的点都不在曲线 C 上B曲线 C 上的点的坐标不都满意方程 fx,y0 C坐标满意方程 fx,y0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上D至少有一个不在曲线 C 上的点,其坐标满意 fx,y0 答案 D 解析 对于命题 “坐标满意方程 fx,y0 的点都在曲线 C 上” 的否定是 “ 坐标满意方程 fx,y0 的点不都在曲线 C 上” ,即至少有一个不在曲线 C 上的点,它的坐标满意方程fx,y0. 2 ABC 中,如 B、C 的

9、坐标分别是 2,0、 2,0,中线 AD 的长度是 3,就 A 点的轨迹方程是 A x 2y 23 Bx 2y 24 Cx 2y 29y 0 Dx 2y 29x 0 答案 C 解析 易知 B、C 中点 D 即为原点 O,所以 |OA|3,所以点 A 的轨迹是以原点为圆心,以 3 为半径的圆,又因 ABC 中, A、B、C 三点不共线,所以 y 0.所以选 C. 3已知 A1,0,B2,4, ABC 的面积为 10,就动点 C 的轨迹方程是 A 4x3y160 或 4x3y160 B4x3y160 或 4x 3y240 C4x3y160 或 4x 3y240 D4x3y160 或 4x3y240

10、 y040x1,即 4x3y40,线段 AB 的长度 |AB| 21答案B 解析由两点式,得直线 AB 的方程是4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 212425.设 C 的坐标为 x,y,就1 2 5|4x3y4| 510,即 4x3y16 0 或 4x3y240. 4在以下图中方程表示图中曲线的是 2y2=x+yxy=0 ,它表答案C 解析对于 A ,方程 x2+ y2=1 表示一个完整的圆对于B,x示两条相交直线对于D,由 lgx+lgy=0 知 xy=1,x0 且 y0. 5. 设过点 P（x,y）的直线分

11、别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点,点 Q与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,如 BP =2 PA ,且 OQ AB = 1,就 P 点的轨迹方程是 A 3x 23 2y 21x0,y0 B3x 23 2y 2 1x0,y0 C.3 2x 23y 2 1x0,y0 D.3 2x 23y21x0,y0 答案 D 解析 如下列图,如 Px,y,就 A 3 2x, 0 ,B0,3y,AB 3 2x, 3y ,OQ 3 2x,3y ,OQ x,y,AB 3 2x,3y ,OQ 1,3 2x 23y 21x0,y0,即为点 P 轨迹方程6设动点 P 是曲线 y2x 21

12、上任意一点, 定点 A0,1,点 M 分 PA 所成的比为 21,就点 M 的轨迹方程是 A y6x 2 13 B y3x 213Cy 3x 2 1 D x6y 213答案 A 解析 设点 M 的坐标为 x0,y0,由于点 A0, 1,点 M 分 PA 所成的比为 21,所以P 点的坐标为 3x0,3y02,代入曲线 y2x 21 得 y06x 01 3,即点 M 的轨迹方程是 y6x 21 3. 7点 Pa,b是单位圆上的动点,就Qab, ab的轨迹方程是 _名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 x 22y10

13、 xab,解析 设 Qx,y就 由于 a 2b 21,即 ab 22ab1.所以 x 22y1.所yab.以点 Q 的轨迹方程是 x 22y10. y8平面上有三个点 A 2,y,B0,2,Cx,y 如 AB BC ,就动点 C 的轨迹方程为_答案 y 28x解析 AB 3 2x,3y ,OQ 0, y 22,y2,y2,y yBC x,y0,2x,2由于 ABBC ,所以 AB BC , 所以 2,y 2 x,y20,即 y 28x.所以动点 C 的轨迹方程为 y 28x. 9过点 P2,4作两条相互垂直的直线 l 1、l2.如 l1交 x 轴于 A 点, l2交 y 轴于 B 点,求线段

14、AB 的中点 M 的轨迹方程解方法一设点 M 的坐标为 x,yM 为线段 AB 的中点,A 的坐标为 2x,0,B 的坐标为 0,2yl 1l 2,且 l1、l 2过点 P2,4,PAPB,kPAkPB 1. 而 kPA40 x 1,kPB22x4 2y,2022y 1 1x 11x整理,得x2y50x 1当 x 1 时, A、B 的坐标分别为 2,0、0,4,线段 AB 的中点坐标是 1,2,它满意方程 x2y50. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x2y5 0. 方法二设 M 的坐标为 x,y,就 A 、B 两点的坐标分别是l 1l 2,2|PM|=|AB|. 2x,0 、0,2y ,连结

15、 PM. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 而|PM|=x22y42,|AB|=2 22 2,. 2 x22y424x24y2化简,得 x+2y5=0,为所求轨迹方程方法三l 1l2,OA OB ,O、A 、P、B 四点共圆,且该圆的圆心为 M ,|MP|=|MO| ,点M 的轨迹为线段 OP 的中垂线4 0kOP= = 2,OP 的中点坐标为 1,2,2 01点M 的轨迹方程是 y 2= x 1,x+2y 5=0. 2方法四 设点 M 的坐标为 x, y,就 A2x,0 ,B0,2y ,PAPB,即 PA PB

16、, PA PB =0.（2x-2 ,-4 ）（-2 ,2y-4 ）=0,即-2 （2x-2 ）-4 （ 2y 4）=0,化简得： x+2y-5=0. 10. 设 F（1,0）,点 M 在 x 轴上,点 P 在 y 轴上,且 MN =2 MP , PM PF .当点 P在 y 轴上运动时,求 N 点的轨迹 C 的方程 . 设 M（ a,0 ） ,P0,b, 动点 N（x,y ）, 就 MN =（x-a,y ）, MP =-a,b,PF 1, b由于 MN 2MP , PF PF ,a,b,所以xa 2a,且 ab 20.上述方程组消去y2b,得 y 24x.所以动点 N 的轨迹方程为y24 讲练

17、学案部分21.1 曲线与方程对点讲练学问点一曲线的方程与方程的曲线Fx,y0,就以下说法正确选项 假如曲线 C 上的点的坐标满意方程7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 曲线 C 的方程是 Fx, y 0 B方程 Fx, y 0 的曲线是 CC坐标不满意方程Fx,y0 的点都不在曲线C 上M 点的坐标D坐标满意方程Fx,y0 的点都在曲线C 上答案C 解析直接法：原说法写成命题形式即“ 如点 Mx,y是曲线 C 上的点,就适合方程 Fx,y 0” ,其逆否命题即 “ 如 M 点的坐标不适合方程 曲线 C 上”

18、,此即说法 C. Fx,y0,就 M 点不在特值方法：作如上图所示的曲线C,考查 C 与方程 Fx ,y=x21=0 的关系,明显A 、B、D 中的说法全不正确【反思感悟】“ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解” ,阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的, 也就是说曲线上全部的点都符合这个条件而毫无例外,“ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ,阐明符合条件的全部点都在曲线上而毫无遗漏设方程 fx,y0 的解集非空,假如命题“ 坐标满意方程 fx,y 0 的点都在曲线 C 上” 是不正确的,就下面命题中正确选项 A 坐标满意 fx, y 0 的点都不在曲线 C 上B曲线 C 上的点的坐标都不满

19、意 fx,y0 C坐标满意 fx,y 0 的点有些在 C 上,有些不在曲线上D肯定有不在曲线上的点,其坐标满意 fx,y0 答案 D 解析“ 坐标满意方程 fx,y0 的点都在曲线 C 上” 不正确,就是说“ 坐标满意方程fx,y0 的点不都在曲线 C 上” 是正确的,这意味着肯定有这样的点 x0,y0,虽然 fx0,y00,但 x0,y0.C,即肯定有不在曲线上的点,其坐标满意学问点二 判定方程是否为曲线的方程fx,y0.故应选 D 1过 P0, 1且平行于 x 轴的直线 l 的方程是 |y|1 吗？为什么？2 设 A2,0,B0,2,能否说线段AB 的方程是 xy20？为什么？解 1如下列

20、图,过点 P 且平行于 x 轴的直线 l 的方程为 y 1,因而在直线 l 上的点的坐标都满意 |y|1,但是以 |y|1 这个方程的解为坐标的点不会都在直线 l 上所以 |y|=1 不是直线 l 的方程,直线2 由方程 x+y 2=0 知,当 x=4 时, y= 2. l 只是方程 |y|=1 所表示曲线的一部分名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故点 4,2的坐标是方程x+y2=0 的一个解,但点4,2不在线段 AB 上x+y 2=0 不是线段 AB 的方程【反思感悟】判定方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,

21、一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上以下命题是否正确？如不正确,说明缘由1 过点 A2,0平行于 y 轴的直线 l 的方程是 |x|2；2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是yx. l 上,直线 l 只是方程 |x|=2 所表示解1 错误由于以方程|x|=2 的解为坐标的点,不都在直线的图形的一部分2 错误由于到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线l1 和 l2,直线 l1 上的点的坐标都是方程y=x 的解,但是直线l2 上的点 除原点 的坐标不是方程y=x 的解故 y=x 不是所求的轨迹方程学问点三 证明方程是曲线的方程证明与两条坐标轴的距离的积是常数 kk

22、0的点的轨迹方程是 xy k. 证明 1 如下列图,设 Mx 0,y0是轨迹上的任意一点由于点 M 与 x 轴的距离为 | y0|,与 y 轴的距离为 |x0|,所以 | x0 | y0|=k,即x0,y0是方程 xy= k 的解2 设点 M1 的坐标 x 1 ,y1是方程 xy= k 的解,就 x 1y 1=k,即| x1| y1|=k. 而| x1|、| y1|正是点 M1 到纵轴、横轴的距离,因此点 数 k,点 M1 是曲线上的点由12 可知, xy=k 是与两条坐标轴的距离的积为常数M1 到这两条直线的距离的积是常kk0 的点的轨迹方程【反思感悟】要证某轨迹的方程为 fx ,y,由曲线

23、的方程的概念可知,既要证轨迹上的任意一点 Mx0 ,y0的坐标都是 fx ,y=0 的解,也要证明方程的任一解 x1,y1对应的点都在轨迹上2 y1 328 9. 已知两点 A0,1, B1,0,且 |MA|2|MB|,求证：点M 的轨迹方程为x439 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 设点 M 的坐标为 x,y,由两点间距离公式,得|MA|x0 2y 1 2|MB|x1 2y0 2又|MA|2|MB|,x02y1 22 x1 2y0 2. 两边平方,并整理得 3x 2 3y 22y8x 30,即 x43 2

24、 y13 28 9所以轨迹上的每一点的坐标都是方程 的解；设 M 1 的坐标 x1,y1是方程 的解,即 x14 32 y11 328 9. 2 12y11 即 3x2 213y 18x1 2y130,|M 1A|x1 02y1 1 2x2 1y2 2x 1y 13x2 213y 18x1 31 2x112y1 022|M 1B| 即点 M 1x1,y1在符合条件的曲线上综上可知：点 M 的轨迹方程为x4 3 2 y1 3 28 9. 课堂小结 ： 1.称曲线 C 的方程是 fx,y=0 或称方程 fx,y=0 的曲线是 C必需具备两个条件:1曲线 C 上的点的坐标都是方程 的点都在曲线 C

25、上完备性 .fx , y=0 的解 纯粹性 ;2 以方程 fx,y=0 的解为坐标2.设曲线 C 的方程是 fx , y=0, 就点 Px 0 , y0在曲线 C 上 fx 0 , y0=0. 课时作业一、挑选题1已知曲线 C 的方程为 x 3x y10,就以下各点中在曲线 C 上的点是 A 0,0 B1,3 C1,1 D1,1 答案 B 解析 点 Px0,y0在曲线 fx,y上. fx0, y00. 2已知直线 l 的方程是 fx,y0,点 Mx0,y0不在 l 上,就方程 fx,yfx0,y00表示的曲线是 A 直线 lB与 l 垂直的一条直线C与 l 平行的一条直线D与 l 平行的两条直

26、线答案C l 平行的一条直线解析方程 fx,yfx0,y00 表示过 Mx0,y0且和直线10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 选 C. 3已知圆C 的方程 fx,y0,点 Ax0,y0在圆外,点Bx , y在圆上,就fx,yfx0,y0fx , y0 表示的曲线是 A 就是圆 CB过 A 点且与圆 C 相交的圆C可能不是圆D过 A 点与圆 C 同心的圆,y0. 答案D 解析由点 Bx,y在圆上知 fx由 Ax0,y0在圆外知 fx0,y0为不为 0 的常数,点 Ax0,y0代入方程 fx,yfx0,y0 0

27、成立所以 fx,yfx0,y00 表示的曲线过 A 点因此选 D. 4以下各组方程中表示相同曲线的是 A yx,y x1 Byx,yx 2C|y|x|,yx D|y|x|,y 2x 2答案 D 解析 A 中 yx 表示一条直线,而 yx 1 表示直线 yx 除去 0,0点；B 中 y x 表示一条直线,而 yx 2表示一条折线；C 中 |y| |x|表示两条直线,而 yx表示一条射线；D 中|y|x|和 y 2 x 2 均表示两条相交直线,应选 D. 5“ 以方程 fx,y0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点” 是“ 曲线 C 的方程是 fx,y0” 的 A 充分不必要条件B必要不充分条件C

28、充要条件D既不充分也不必要条件答案 B 解析 fx,y0 是曲线 C 的方程必需同时满意以下两个条件： 以 fx,y 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上； 曲线 C 上的点的坐标都符合方程 fx,y0,应选 B. 二、填空题6求方程 |x| |y|1 所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为_答案2 解析方程 |x|+|y|=1 所表示的图形是正方形ABCD 如图 ,其边长为2 . 方程|x|+|y|=1 所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2. 的 点 的 轨 迹 方 程 为7 到 直 线4x 3y 5 0的 距 离 为1_ 答案4x3y10 0 和 4x3y0 解析可设动点坐标为x,y,1

29、1 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就|4x3y5| 51,即 |4x3y 5| 5. 所求轨迹为4x3y100 和 4x3y0. 3 ,就a_,b8如方程ax2by4 的曲线经过点A0,2和 B 1 2,_. 答案168 32 三、解答题9已知直线 l1：mxy0, l2：xmy m20. 求证：对 mR,l1 与 l2 的交点 P 在一个定圆上证明 l1 与 l2 分别过定点 0,0及2,1,且 l1l 2,l1 与 l 2的交点 P 必在以 0,0,2,1为端点的直径的圆上,其方程为 x 2y 22x y

30、0. 10曲线 x 2y1 24 与直线 ykx24 有两个不同的交点,求 k 的范畴,如有一个交点呢？无交点呢？ykx24,解 由x 2y 1 24,得1 k 2x 22k32kx32k 240, 4k 232k 241k 23 2k 2448k20. 0,即 k 5 12时,直线与曲线有两个不同的交点； 0,即 k5 12时,直线与曲线有一个交点； 0,即 k 5 12时,直线与曲线没有交点21.2 求曲线的方程. 对点讲练学问点一直接法求轨迹的方程x 2+2y2=4 交于 A 、B 两点,设动直线l 垂直于 x 轴,且与椭圆P 是 l 上满意 PA PB=1 的点,求点P 的轨迹方程 .

31、解设 P 点的坐标为 x,y,又由方程x22y 24 得 2y 24x2,y4x2,212 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - A、B 两点的坐标分别为x, 2 4x,x,4x2 22PA PB 1. 0, 4x 22y 0,4x2y1,2即 y 24 x 2 2 22 1,x 6y 31 又直线 l 与椭圆交于两点, 2x2 2 2点 P 的轨迹方程为x 6y 312x0射线 OB 的方程为 y= 3x x 0 33设 P x1 , 3 x1, Q x 2 , 3 x23 3Mx ,y由题意得 x= 1 x 1+x2,21又 SPOQ= |OP|OQ|sin602= 1 2 x12 x23 = 3 x1x22 3 3 2 3x 1 x 2 2 ,x 1 x 2 2 3 ,x 1 x 2 8 3,由x 1+x 2 2 x 1 x 2 2=4x 1x2,消去 x1, x2 得 x 2 3y 2=8 3由于 x10,x20,故 x0,动点 M 的轨迹方程为 x 2 3y 2=8 3 x0【反思感悟】参数法：依据条件,将所求动点的坐标用恰当的参数 如角度、直线斜率等解析式表示出来,再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程过点 P11,5作始终线交x 轴于点 A,过点 P22