2022年圆锥曲线与方程专题：圆锥曲线的综合问题 .pdf

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1、精品资料欢迎下载圆锥曲线与方程专题复习第四节圆锥曲线的综合问题考点一椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题1.(2013 年浙江卷 , 文 9) 如图,F1,F2是椭圆 C1:24x+y2=1 与双曲线C2的公共焦点 ,A,B 分别是 C1,C2在第二、四象限的公共点. 若四边形 AF1BF2为矩形 , 则 C2的离心率是 ( ) (A)2 (B)3 (C)32 (D)62解析 : 由椭圆定义得 ,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=24 1=23,因为四边形 AF1BF2为矩形 ,所以 |AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12,所以 2|AF1|AF2|=(|AF1|+|AF2|)

2、2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4,所以 (|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|AF2|=12-4=8,所以 |AF2|-|AF1|=22,因此对于双曲线有a=2,c=3,所以 C2的离心率 e=ca=62.故选 D.答案 :D2.(2012 年山东卷 , 理 10)已知椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0) 的离心率为32. 双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆C 有四个交点 , 以这四个交点为顶点的四边形的面积为16, 则椭圆 C的方程为 ( )(A)28x+22y=1 (B)212x+26y=1(C)216x+24y=1 (D)220

3、 x+25y=1解析 : 利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.椭圆的离心率为32,ca=22aba=32,a=2b.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页精品资料欢迎下载椭圆方程为x2+4y2=4b2.双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为xy=0,渐近线 xy=0 与椭圆 x2+4y2=4b2在第一象限的交点为2 52 5,55bb,由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2 55b2 55b=4,b2=5,a2=4b2=20.椭圆 C 的方程为220 x+25y=1.故选 D.答案 :D3.(201

4、2 年浙江卷 , 文 8) 如图所示 , 中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、 N是双曲线的两顶点. 若 M,O,N将椭圆长轴四等分, 则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) (A)3 (B)2 (C)3(D)2解析 : 设椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(ab0), 半焦距为 c1,则椭圆的离心率为e1=1ca.设双曲线的标准方程为22xm-22yn=1(m0,n0), 半焦距为 c2,则双曲线的离心率为e2=2cm.由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2.由点 M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即 2m=a.21ee=21cmca=am=2.故选 B.答案 :B4.(2011

5、 年浙江卷 ,文 9)已知椭圆 C1:22xa+22yb=1(ab0) 与双曲线 C2:x2-24y=1有公共的焦点 ,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B 两点 . 若 C1恰好将线段 AB三等分 , 则( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页精品资料欢迎下载(A)a2=132 (B)a2=13(C)b2=12 (D)b2=2解析 : 双曲线渐近线方程为y=2x,圆的方程为 x2+y2=a2,则|AB|=2a, 不妨设 y=2x 与椭圆交于 P、Q两点 , 且 P在 x 轴上方 ,则由已知 |PQ

6、|=13|AB|=23a,|OP|=3a,P52 5,1515a.又点 P 在椭圆上 ,225225aa+2220225ab=1.又 a2-b2=5,b2=a2-5, 联立解得2211,21.2ab故选 C.答案 :C5.(2011 年山东卷 , 文 15) 已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0) 和椭圆216x+29y=1有相同的焦点 , 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 , 则双曲线的方程为. 解析 : 椭圆216x+29y=1 的焦点坐标为F1(-7,0),F2(7,0),离心率为 e=74.由于双曲线22xa-22yb=1 与椭圆216x+29y=1 有相同的焦点 ,因此 a

7、2+b2=7.又双曲线的离心率e=22aba=7a,所以7a=2 74,所以 a=2,b2=c2-a2=3,故双曲线的方程为24x-23y=1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页精品资料欢迎下载答案 :24x-23y=1考点二椭圆与抛物线综合问题及解法1.(2012 年山东卷 , 理 21)在平面直角坐标系xOy中,F 是抛物线 C:x2=2py(p0) 的焦点 ,M是抛物线 C上位于第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点 Q到抛物线 C的准线的距离为34.(1) 求抛物线 C 的方程 ;(2

8、) 是否存在点M,使得直线 MQ 与抛物线C相切于点 M? 若存在 , 求出点 M的坐标 ; 若不存在 , 说明理由 .(3) 若点 M的横坐标为2, 直线 l:y=kx+14与抛物线 C有两个不同的交点A,B,l与圆 Q有两个不同的交点D,E, 求当12k2时,|AB|2+|DE|2的最小值 .解:(1) 依题意知 F0,2p, 圆心 Q在线段 OF的垂直平分线y=4p上,因为抛物线 C 的准线方程为y=-2p,所以34p=34,即 p=1.因此抛物线 C 的方程为 x2=2y.(2) 假设存在点M200,2xx (x00)满足条件 , 抛物线 C在点 M处的切线斜率为y0 xx=22x0

9、xx=x0,所以直线 MQ的方程为 y-202x=x0(x-x0).令 y=14得 xQ=02x+014x.所以 Q （02x+014x,14）.又|QM|=|OQ|,故（014x-02x）2+（14-202x）2=（014x+02x）2+116,因此（14-202x）2=916.又 x00,所以 x0=2, 此时 M(2,1).故存在点 M(2,1),精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页精品资料欢迎下载使得直线 MQ与抛物线 C 相切于点 M.(3) 当 x0=2时, 由(2) 得 Q（5 28,14）,Q的半径为

10、 r=225 2184=3 68,所以 Q的方程为（ x-5 28）2+（y-14）2=2732.由21,214yxykx整理得 2x2-4kx-1=0.设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于 1=16k2+80,x1+x2=2k,x1x2=-12,所以 |AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(4k2+2).由225 2127,843214xyykx整理得 (1+k2)x2-5 24x-116=0.设 D,E 两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),由于 2=24k+2780,x3+x4=25 24 1k,x3x4=-2116 1k

11、.所以 |DE|2=(1+k2)(x3+x4)2-4x3x4=2258 1k+14.因此 |AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+2258 1k+14.令 1+k2=t,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页精品资料欢迎下载由于12k2,则54t5,所以 |AB|2+|DE|2=t(4t-2)+258t+14=4t2-2t+258t+14,设 g(t)=4t2-2t+258t+14,t 5,54,因为 g(t)=8t-2-2258t,所以当 t 5,54时,g (t) g54=6,即函数 g(t)在 t 5

12、,54上是增函数 ,所以当 t=54时,g(t)取到最小值132,因此 , 当 k=12时,|AB|2+|DE|2取到最小值132.2.(2012 年广东卷 , 文 20) 在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆 C1:22xa+22yb=1(ab0) 的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1) 在 C1上.(1) 求椭圆 C1的方程 ;(2) 设直线 l 同时与椭圆C1和抛物线 C2:y2=4x 相切 , 求直线 l 的方程 .解:(1) 因为椭圆 C1的左焦点为F1(-1,0),所以 c=1.将点 P(0,1) 代入椭圆方程22xa+22yb=1,得21b=1, 即 b=1.所以 a2

13、=b2+c2=2.所以椭圆 C1的方程为22x+y2=1.(2) 由题意可知 , 直线 l 的斜率显然存在且不等于0,设直线 l 的方程为 y=kx+m,由221,2,xyykxm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页精品资料欢迎下载消去 y 并整理得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因为直线 l 与椭圆 C1相切 ,所以 1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.整理得 2k2-m2+1=0. 由24 ,yxykxm消去 y 并整理得 k2x2+(2km-4)x+m2=0.因为直线 l 与抛

14、物线 C2相切 ,所以 2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得 km=1.综合 , 解得2,22,km或2,22.km所以直线 l 的方程为 y=22x+2或 y=-22x-2.3.(2010 年江西卷 , 理 21)设椭圆 C1:22xa+22yb=1(ab0), 抛物线 C2:x2+by=b2.(1) 若 C2经过 C1的两个焦点 , 求 C1的离心率 ;(2) 设 A(0,b),Q （33,54b）, 又 M,N为 C1与 C2不在 y 轴上的两个交点,若 AMN 的垂心为 B （0,34b）, 且 QMN 的重心在 C2上,求椭圆 C1和抛物线C2的方程 .解:(1) 因为抛物线

15、C2经过椭圆 C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),可得 c2=b2,由 a2=b2+c2=2c2,有22ca=12,所以椭圆 C1的离心率 e=22.(2) 由题设可知M,N关于 y 轴对称 ,设 M(-x1,y1),N(x1,y1)(x10),则由 AMN 的垂心为 B, 有BMAN=0.所以 -21x+（y1-34b）(y1-b)=0. 由于点 N(x1,y1) 在 C2上,故有21x+by1=b2. 由得 y1=-4b或 y1=b(舍去 ),精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页精品资料欢迎下载所以

16、x1=52b,故 M （-52b,-4b）,N（52b,-4b）,所以 QMN 的重心坐标为（3,4b）.由重心在 C2上得 3+24b=b2,所以 b=2,M （-5,-12）,N（5,-12）.又因为 M,N在 C1上,所以225a+2124=1,解得 a2=163.所以椭圆 C1的方程为2163x+24y=1.抛物线 C2的方程为x2+2y=4.考点三双曲线与抛物线的综合问题及解法1.(2013 年山东卷 , 文 11)抛物线 C1:y=12px2(p0) 的焦点与双曲线C2:23x-y2=1 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若 C1在点 M处的切线平行于C2的一条渐近线 , 则

17、p 等于 ( )(A)316 (B)38(C)2 33 (D)4 33解析 : 如图在同一坐标系中画出C1、C2草图 , 知 C1焦点 F（0,2p）,C2右焦点 F2(2,0).精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页精品资料欢迎下载由 C2渐近线方程为y=33x.直线 FF2方程为2x+2xp=1. 联立 C1与直线 FF2方程得21,221,2yxpxyp代入得 2x2+p2x-2p2=0.设 M(x0,y0),即 220 x+p2x0-2p2=0. 由 C1得 y=1px,所以1px0=33, 即 x0=33p.

18、 由得 p=4 33. 故选 D.答案 :D2.(2012 年新课标全国卷, 理 8) 等轴双曲线C的中心在原点 , 焦点在 x 轴上 ,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于A、B两点 ,|AB|=43,则 C 的实轴长为 ( )(A)2 (B)22(C)4 (D)8解析 : 设双曲线的标准方程为x2-y2=( 0),抛物线 y2=16x 的焦点是 (4,0),由题意知 , 点(-4,23) 在双曲线上 .16-12= , 即=4,实轴长为 4.故选 C.答案 :C3.(2012 年福建卷 , 理 8) 已知双曲线24x-22yb=1 的右焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合 , 则该双曲线

19、的焦点到其渐近线的距离等于( )(A) 5 (B)42 (C)3 (D)5解析 : 抛物线 y2=12x 的焦点是 (3,0),c=3,b2=c2-a2=5.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页精品资料欢迎下载双曲线的渐近线方程为y=52x,焦点 (3,0) 到 y=52x 的距离 d=3 53=5.故选 A.答案 :A4.(2012 年山东卷 , 文 11) 已知双曲线 C1:22xa-22yb=1(a0,b0) 的离心率为 2. 若抛物线 C2:x2=2py(p0) 的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为 2, 则抛

20、物线 C2的方程为 ( )(A)x2=8 33y (B)x2=1633y(C)x2=8y (D)x2=16y解析 : 由 e=ca=2 得 4=22ca=1+22ba,22ba=3.双曲线的渐近线方程为y=3x, 抛物线 x2=2py 的焦点是（ 0,2p）,它到直线 y=3x 的距离 d=2=22p=4p,p=8.抛物线方程为x2=16y.故选 D.答案 :D5.(2010 年天津卷 , 文 13)已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0) 的一条渐近线方程是y=3x, 它的一个焦点与抛物线y2=16x 的焦点相同 , 则双曲线的方程为 . 解析 : 由双曲线22xa-22yb=1(a0

21、,b0) 的一条渐近线方程为y=3x 得ba=3,b=3a.抛物线 y2=16x 的焦点为 F(4,0),c=4.又 c2=a2+b2,16=a2+(3a)2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页精品资料欢迎下载a2=4,b2=12.所求双曲线的方程为24x-212y=1.答案 :24x-212y=16.(2013 年天津卷 , 文 11)已知抛物线y2=8x 的准线过双曲线22xa-22yb=1(a0,b0) 的一个焦点 , 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为. 解析 : 由 y2=8x 准线为 x=-2

22、.则双曲线中 c=2,ca=2a=2,a=1,b=3.所以双曲线方程为x2-23y=1.答案 :x2-23y=1考点四圆锥曲线与圆的综合问题及解法1.(2013 年福建卷 , 文 20)如图 , 抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A. 点 C在抛物线 E上, 以 C为圆心 ,|CO| 为半径作圆 , 设圆 C与准线 l 交于不同的两点M,N.(1) 若点 C 的纵坐标为 2, 求|MN|;(2) 若|AF|2=|AM|AN|, 求圆 C的半径 .解:(1) 抛物线 y2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1.由点 C的纵坐标为2, 点 C在抛物线 E上,得点

23、C的坐标为 (1,2),所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CN|=|CO|=5,所以 |MN|=222CNd=254=2.(2) 设 C（204y,y0）,则圆 C的方程为（ x-204y）2+(y-y0)2=4016y+20y,即 x2-202yx+y2-2y0y=0.由 x=-1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页精品资料欢迎下载得 y2-2y0y+1+202y=0,设 M(-1,y1),N(-1,y2), 则222000201244 1240,21.2yyyyy y由|AF|2=|AM| |AN|

24、,得|y1y2|=4,所以202y+1=4,解得 y0=6, 此时 0.所以圆心 C的坐标为（32,6）或（32,-6）,从而 |CO|2=334,|CO|=332,即圆 C的半径为332.2.(2013 年新课标全国卷, 文 20) 在平面直角坐标系xOy中, 已知圆 P在 x轴上截得线段长为22, 在 y 轴上截得线段长为23.(1) 求圆心 P的轨迹方程 ;(2) 若 P点到直线 y=x 的距离为22, 求圆 P的方程 .解:(1) 设 P(x,y),圆 P的半径为 r.由题设 y2+2=r2,x2+3=r2,从而 y2+2=x2+3.故 P 点的轨迹方程为y2-x2=1.(2) 设 P

25、(x0,y0).由已知得002xy=22.又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上,从而得0022001,1.xyyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页精品资料欢迎下载由0022001,1.xyyx得000,1.xy此时 , 圆 P的半径 r=3.由0022001,1.xyyx得000,1.xy此时 , 圆 P的半径 r=3.故圆 P的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.3.(2013 年重庆卷 , 文 21)如图 , 椭圆的中心为原点O,长轴在 x 轴上 , 离心率 e=22, 过左焦点

26、F1作 x 轴的垂线交椭圆于A、A两点,AA=4. (1) 求该椭圆的标准方程;(2) 取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P, 过 P、P作圆心为Q的圆 , 使椭圆上的其余点均在圆Q外. 求PPQ的面积 S 的最大值 , 并写出对应的圆Q的标准方程 .解:(1) 由题意知点A(-c,2)在椭圆上 , 则22ca+222b=1, 从而 e2+24b=1,又 e=22, 故 b2=241e=8,从而 a2=221be=16. 故该椭圆的标准方程为216x+28y=1.(2) 由椭圆的对称性 , 可设 Q(x0,0). 又设 M(x,y) 是椭圆上任意一点, 则|QM|2=(x-x0)

27、2+y2=x2-2x0 x+20 x+8（ 1-216x）=12(x-2x0)2-20 x+8(x -4,4).设 P(x1,y1), 由题意知 ,P 是椭圆上到 Q的距离最小的点 ,因此 , 当 x=x1时|QM|2取最小值 ,又 x1(-4,4),所以当 x=2x0时|QM|2取最小值 , 从而 x1=2x0, 且|QP|2=8-20 x.由对称性知 P(x1,-y1), 故|PP|=|2y1|,所以 S=12|2y1|x1-x0|=122218116x|x0|=220024xx=222024x.当 x0=2时, PPQ的面积 S取得最大值22.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(2,0), 半径 |QP|=208x=6,因此 , 这样的圆有两个, 其标准方程分别为(x+2)2+y2=6,(x-2)2+y2=6.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页