2022年圆锥曲线与方程导学案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载圆锥曲线与方程第 1 课时 曲线与方程一知识探究1. 经过 (1,3).(2,5)的直线方程为 . 2. 与定点的距离等于定长的点的轨迹是3. 已知P1(1,1).P2(2,5) ， 则P1圆(x1)2y 21上， 而P2圆(x1)2y 21上 （填在或不在）4. 在直角坐标系中，如果某曲线C( 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个二元方程f(x，y) 0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上点的坐标都是；(2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 是 那 么 ， 这 个 方 程 叫做；这条曲线叫做5. 如果曲线C的方程是 f(x ，y) 0，

2、那么点P(x0，y0) 在曲线 C上的充要条件是什么？三典型选讲例 1 分析下列曲线上的点与方程的关系：(1) 求第一、三象限两轴夹角平分线l上点的坐标满足的关系；(2) 说明过点A(2,0) 平行于y轴的直线l与方程 |x| 2之间的关系变式训练1 (1) 过(0, 1)P且平行于x轴的直线l的方程是| 1y吗？为什么？(2) 设(2,0)A，(0,2)B，能否说线段AB的方程是20 xy？为什么？例 2 已知方程22(1)10 xy(1) 判断点(1, 2)P，(2,3)Q是否在此方程表示在曲线上；(2) 若点(,)2mMm在此方程表示的曲线上，求m的值变式训练 2 已知方程22()()3

3、6xayb表示的曲线经过点(0,0)O和点(0,12)A，求a、b的值例 3 曲线x2(y1)24与直线yk(x 2) 4有两个不同的交点，求k的取值范围若有一个交点呢？无交点呢？变式训练3 若曲线yx2x2 与直线yxm有两个交点，则实数m的取值范围是 _四 . 小结对曲线与方程的定义应注意：(1) 定义中的第一条“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的解的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外( 纯粹性 )(2) 定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏( 完备性 ) (3) 定义的实质是平面

4、曲线上的点集和方程f(x，y) 0的解集 (x，y)|f(x，y) 0 之间的一一对应关系曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求出曲线的方程五 . 课堂即时练习1下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) Ay2x与yx By lgx2与y2lgxC.y1x21 与 lg(y1) lg(x2) D x2y21 与 |y| 1x22直线xy0 与曲线xy1 的交点是 ( ) A(1,1) B( 1， 1) C(1,1).(1， 1) D(0,0) 3 设点A( 4,3) ，B( 32， 4) ，C(5， 25) ， 则在曲线x2y225(x0)上的点有 _4方程 (x24

5、)2 (y24)20 表示的图形是 _六 . 课时作业1方程x2xyx表示的曲线是( ) A一个点 B一条直线 C两条直线 D 一个点和一条直线2下列命题正确的是( ) A方程xy21 表示斜率为1，在y轴上的截距是2 的直线BABC的顶点坐标分别为A(0,3) ，B( 2,0) ，C(2,0) ，则中线AO的方程是x0 C到x轴距离为5 的点的轨迹方程是y5 D曲线 2x23y22xm0 通过原点的充要条件是m0 3曲线x2y22Dx2EyF0 与x轴的两个交点位于原点两侧，则D，E，F满足的条件是_学习目标： 1. 能说出平面直角坐标系中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义. 2会判定一个

6、点是否在已知曲线上3能用适当方法求出曲线的交点重点难点：学习重点：曲线的方程 . 方程的曲线的概念难点 ：对曲线的方程. 方程的曲线概念的理解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习必备欢迎下载4方程x2(x21) y2(y21) 所表示的曲线是C，若点M(m，2) 与点N(32，n)均在曲线C上，则m_n_5方程 2x2y2 4x2y30 表示什么曲线？为什么？6. 若曲线y2xy2xk0 过点 (a，a)(aR) ，求k的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

7、- - -第 2 页，共 19 页学习必备欢迎下载第二章圆锥曲线与方程第 2 课时 求曲线的方程学习目标： 1. 能写出求曲线方程的步骤2会求简单曲线的方程重点难点：学习重点：求曲线的方程的一般步骤与方法难点： 根据题目条件选择合适的方法求曲线的方程一. 知识探究1解析几何研究的主要问题(1) 根据已知条件，求出；(2) 通过曲线的方程，2求曲线的方程的步骤(1) 建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M 的坐标；(2) 写出适合条件p的点 M 的集合；(3) 用坐标表示条件p(M) ，列出方程；(4) 化方程f(x，y) 0为；(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3.求曲线方程

8、的步骤是否可以省略？三. 典型选讲例1 如图已知点01，F，直线1: xl，P为平面上一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且FQFPQFQP，求动点 P的轨迹 C的方程 . 变式训练1 若把例 1 中的等式关系改为QFOPFPQP, 求动点 P的轨迹 C的方程 .例2 长为 4的线段的两个端点分别在x轴.y轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程变式训练2 已知点 A(a,0)、B(a,0)，a0，若动点M 与两定点A、B 构成直角三角形，求直角顶点 M 的轨迹方程例3 已知ABC 的两顶点A、B 的坐标分别为A(0,0).B(6,0) ，顶点C在曲线yx23上运动，求 ABC 重心的轨迹方程变式训

9、练3 已知 A(2,0)、B(2,0)，点 C、D 满足 |AC|2，AD12(ABAC)求点 D 的轨迹方程四 .小结1如何理解求曲线方程的步骤(1) 在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴建立适当的坐标系，会给运算带来方便(2) 第二步是求方程的重要的一个环节，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出几何等式，此步骤也可以省略，直接将几何条件用动点的坐标表示 . (3) 在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“丢解”或“增解”(4) 第五步的说明可以省略不写，如有特殊情

10、况， 可以适当说明， 如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x( 或y) 的取值予以剔除2“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状3要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围五 . 课堂即时练习1若动点P到点 (1 ， 2) 的距离为 3，则动点P的轨迹方程是 ( ) A(x1)2(y2)29 B (x 1)2(y 2)29 C(x1)2(y2)23 D (x 1)2(y 2)23 2以 (5,0) 和(0,5) 为端点的线段的方程是( ) Axy 5 Bxy5(x0)Cxy

11、5(y0) Dxy5(0 x5)3若点M到x轴的距离和它到直线y8 的距离相等，则点M的轨迹方程是_4直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2) 与动点P(x，y) 满足OPOA4，则点P的轨迹方程是_5一动点C在曲线x2y2 1上移动时，它和定点B(3,0) 连线的中点P的轨迹方程是 ( ) A(x3)2y24 B (x3)2y21 C (2x3)24y21 D (x32)2y21 6已知A( 1,0).B(2,4) ，ABC的面积为 10，则动点C的轨迹方程是 ( ) A4x3y160 或 4x 3y160 B 4x3y160 或 4x 3y240 C4x3y160 或 4x 3y240 D

12、4x3y160 或 4x 3y240 7 已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0) ，AB边上的中线长|CD| 3， 则顶点A的轨迹方程为 _8平面直角坐标系中，O为坐标原点， 已知两点A(3,1)，B(1,3) ，若点C满足OCmOAnOB，其中m，nR，且mn1，则点C的轨迹方程为_9在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|.|PB|.|PC| ，且满足 |PA|2 |PB|2|PC|2，求P点的轨迹方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习必备欢迎下载10. 已知ABC中，三边cba

13、，且a，b，c成等差数列，b2，试求点B的轨迹方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习必备欢迎下载第二章圆锥曲线与方程第 3 课时 椭圆及其标准方程学习目标：1. 能说出椭圆的实际背景，体验从具体情境中抽象出椭圆模型的过程2熟记椭圆的定义和标准方程，会推导椭圆标准方程重点难点：学习重点： 椭圆的定义及标准方程. 难点： 椭圆标准方程的推导一. 知识探究1椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于的点的轨迹叫做椭圆，点叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程焦

14、点a,b,c的关系4平面内动点M满足 |MF1| |MF2| 2a，当 2a|F1F2| 时，点M的轨迹是什么？当2ab0)的短轴的两个端点，O为椭圆的中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若 |F1B2| 是 |OF1| 和|B1B2| 的等比中项，则|PF1|OB2|的值是 ( ) A.2 B.22 C.32 D.23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习必备欢迎下载第二章圆锥曲线与方程第 5 课时 双曲线及其标准方程学习目标： 1. 记住双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导过程2会利用双曲线的定义和标准

15、方程解决简单的实际问题重点难点 : 学习重点 ：双曲线的定义及其标准方程难点：双曲线的标准方程的推导过程以及利用双曲线解决简单的实际问题一. 知识探究1双曲线的定义平 面 内 与 两 定 点F1， F2 的 距 离 的 差 的 绝 对 值 等 于 常 数 ( 小 于 |F1F2|)的 点 的 轨 迹 叫做这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的双曲线的定义可用集合语言表示为PM|MF1|MF2| 2a,02a|F1F2|2双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程(a 0，b0) (a 0，b0) 焦点焦距|F1F2| 2c，c2a2b23(1) 如果去掉“小于|F1F

16、2| ”这一条件，轨迹会有怎样的变化？(2) 如果去掉定义中的“的绝对值”，点的轨迹会变成什么？4若已知双曲线的标准方程，如何判断焦点在哪一条坐标轴上？三典型选讲例 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) 4a，经过点)3104, 1(A；(2) 经过点)24,3(，)5,49(. 变式训练1 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程：（1）6c，经过点)2, 5(，焦点在x 轴上；（ 2）与双曲线141622yx有相同的焦点，且经过点)2,23(. 例 2 在 ABC中，已知|4 2AB，且三内角A，B，C满足2sinsin2sinACB，建立适当的坐标系，求定点C的轨迹方程，并指明它表

17、示什么曲线. 变式训练2 已知圆2219:(3)4Cxy和圆222:(3)9Cxy， 动圆 M同时与圆1C及圆2C相外切，求动圆圆心的轨迹方程. 例 3. 已知双曲线221916xy的左 . 右焦点分别为1F.2F， 若双曲线上一点P使得1290F PF，求12F PF的面积 . 变式训练3 把本例中的“1290F PF”改为“1260F PF”，求12F PF的面积四 . 小结1理解双曲线定义时应注意什么(1) 注意定义中的条件2a|F1F2| ，则动点的轨迹不存在(2) 注意定义中的常数2a 是小于 |F1F2| 且大于 0 的实数 若 a0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线(3) 注意

18、定义中的关键词“绝对值”若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支2待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1) 作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（ 2）设方程：根据上述判断设方程22221xyab或22221(0,0)yxabab. (3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b， c 的方程组(4) 得方程：解方程组，将a，b，c 代入所设方程即为所求五 . 课堂即时练习1(20XX 年高考宁夏卷) 双曲线x210y22 1 的焦距为 ( ) A32 B 42 C 33 D43 2双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2( 3,0),

19、2b 4，则双曲线的标准方程是( ) A.x25y241 B.y25x24 1 C.x23y221 D.x29y2161 3已知双曲线的焦点在x轴上，且ac9，b3，则它的标准方程是_4P是双曲线x2y216 的左支上一点，F1，F2分别是它的左， 右焦点，则|PF1| |PF2| _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习必备欢迎下载5已知椭圆C1的离心率为35，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为( ) A.x24y251 B.x25y24

20、1 C.x252y242 1 D.x242y2521 6若双曲线x216y291 上的点P到点 (5,0) 的距离是15，则点P到点 ( 5,0) 的距离是 ( ) A7 B23 C 5 或 25 D 7 或 23 7已知双曲线的焦距为26，a2c2513，则双曲线的标准方程是_8“ab0，b0) 的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )Ay2xBy2x Cy22x Dy12x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页学习必备欢迎下载第二章圆锥曲线与方程第 7 课时抛物线及其标准方程学习目标： 1. 能表

21、述抛物线的定义. 标准方程 . 会画其几何图形2能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题重点难点 : 学习重点 ：抛物线定义及其标准方程难点： 抛物线不同形式方程的选择一. 知识探究1yx22的最小值是 . 2二次函数yax2bxc(a0) 的对称轴是. 3抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的4抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程22(0)ypx p2px(0,)2p2py5定义中要求l不经过点F，如果l经过点F，那么动点的轨迹是什么？6已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？三.

22、典型选讲例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1) 过点 (3 ， 4) ；(2) 焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3 ，m) 到焦点的距离为5. 变式训练1 设动点( ,)(0)P x yx到定点1(,0)2F的距离比它到y 轴的距离大12， 试求点 P的轨迹方程 . 例 2.(20XX 年高考辽宁卷 ) 已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点 (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为_. 变式训练2 本例中若将点 (0,2)改为点A(3,2) ，求 |PA| |PF| 的最小值例 3. 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶部A处，喷出的水流的最高点为B，距地面

23、5 m，且与管柱OA相距 4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，求管柱OA的长变式训练3 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点 ( 3,2) ；(2) 焦点在直线x2y40 上四 . 小结1如何理解抛物线的定义(1) 抛物线的定义中有“一动三定”：一动点设为M；一定点F为焦点；一定直线l叫做抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到定直线l的距离的比为 1. (2) 抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性故二者可相互转化，这是在解题中常用的2不同的抛物线和它们的标准方程的区别和联系(1)数形共同点：原点在抛物线上；对称轴为坐标轴；准线与对称

24、轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一，即2p焦点到准线的距离均为p；(2) 数形不同点：对称轴为x轴时，方程的右端为2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为2py，左端为x 2；开口方向与x轴( 或y轴) 的正半轴相同，焦点在x轴( 或y轴) 的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴) 的负半轴相同，焦点在x轴( 或y轴) 的负半轴上，方程的右端取负号五 . 课堂即时练习1已知抛物线的焦点是(0 ，14) ，则抛物线的标准方程是( ) A x2yBx2y Cy2x Dy2x2抛物线y18x2的焦点坐标是( ) 精选学习资料 -

25、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页学习必备欢迎下载A(0，132) B(132，0) C(0， 2) D ( 2,0) 3(20XX 年高考四川卷) 抛物线y24x的焦点到准线的距离是_4以双曲线y29x2161 的焦点为焦点的抛物线的方程为_5抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( ) A.1716 B.1516 C.78 D 0 6当a为任何值时，直线(a1)xy 2a1 0 恒过定点P，则过P点的抛物线的标准方程为( ) Ay292x或x243y By292x或x243yCy292x或x243y Dy

26、292x或x243y7抛物线y22px(p0)过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为_8设抛物线的顶点坐标为(2,0) ，准线方程为x 1，则它的焦点坐标为_9若抛物线y2 2px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和 M 点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页学习必备欢迎下载第二章圆锥曲线与方程第 8 课时抛物线的简单几何性质学习目标： 1. 熟记抛物线的性质. 焦半径 . 焦点弦及其应用2会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题重点难点 : 学习重点 ：抛物线的四条

27、性质.焦半径和焦点弦的应用难点： 抛物线的几何性质及其综合应用一. 知识探究1. 抛物线的几何性质标准方程y22px(p 0) y2 2px(p0) x22py(p0) x2 2py(p0) 图形范围x 0 x0 y0 y0 对称轴x轴y轴2抛物线x22py(p0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？3从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？例 1 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个三角形的边长变式训练1 已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆224xy相交的公共弦长等于2 3，求抛物线的方程. 例 2 直线l：ykx1，抛物线C：

28、y2 4x，当k为何值时，l与C有： (1) 一个公共点； (2) 两个公共点； (3) 没有公共点？变式训练2 求过点P(0,1) 且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程变式训练3 已知过抛物线22(0)ypx p的焦点的直线交抛物线于A， B两点，且5|2ABp，求AB所在直线的方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学习必备欢迎下载例 3. 如图，已知抛物线y24x的一条焦点弦被焦点分成长为m.n的两部分，求证：mnmn. 四. 小结：1焦半径抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线上任一

29、点A(x0，y0) ，则四种标准方程形式下的焦半径公式如表所示：标准方程22(0)ypx p22(0)ypx p22(0)xpy p22(0)xpy p焦半径|AF0|2pAFx0|2pAFx0|2pAFy0|2pAFy2直线与抛物线的位置关系相交 ( 两个公共点或一个公共点) ；相切 ( 一个公共点 ) ；相离 ( 没有公共点 ) 下面对抛物线y22px(p0)与直线的位置关系进行讨论：(1) 直线的斜率不存在设直线方程为xa.若a0，直线与抛物线有两个交点；若a 0，直线与抛物线有一个交点(切点，原点 ) ；若a0)消去y得方程k2x2 2(kbp)xb2 0. 若0，直线与抛物线相交，有

30、两个交点；若 0，直线与抛物线相切，有一个交点；若 0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A.B两点，若线段AB的长为 8，则p_. 9动直线ya与抛物线y212(x2) 相交于A点，动点B的坐标是 (0,3a)，求线段AB的中点M的轨迹C的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页