2022年圆锥曲线与方程专题：圆锥曲线的综合问题.docx

《2022年圆锥曲线与方程专题：圆锥曲线的综合问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年圆锥曲线与方程专题：圆锥曲线的综合问题.docx（26页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载圆锥曲线与方程专题复习第四节圆锥曲线的综合问题. 如四考点一椭圆与双曲线综合中基本量的运算问题1.2022 年浙江卷 , 文 9 如图 ,F 1,F 2是椭圆 C1:x2+y2=1 与双曲线C2 的公共焦点 ,A,B 分别是 C1,C 2在其次、四象限的公共点4边形 AF1BF2为矩形 , 就 C2 的离心率是 A2 B3 C3 D622解析 : 由椭圆定义得 ,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=24 1 =23 ,由于四边形 AF1BF2为矩形 ,所以 |AF1|2+|AF 2|2=|F 1F2|2=12,1|2+|

2、AF2|2=16-12=4,所以 2|AF1|AF2|=|AF1|+|AF2|2-|AF所以 |AF 2|-|AF1|2=|AF 1|2+|AF 2|2-2|AF1|AF2|=12-4=8,所以 |AF 2|-|AF1|=22 ,因此对于双曲线有a=2 ,c=3 ,所以 C2的离心率 e=c a=6.2应选 D.答案 :D2.2022 年山东卷 , 理 10 已知椭圆 C:x2+y2=1ab0 的离心率为3. 双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆C 有四个交点 , 以这a22 b2四个交点为顶点的四边形的面积为16, 就椭圆 C的方程为 Dx2+y2=1Ax2+y2=1 Bx2+y2=1Cx

3、2+y2=1 26420581216解析 : 利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.椭圆的离心率为3,2c a=a2b2=3,a2a=2b.名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆方程为x2+4y2=4b 2.精品资料欢迎下载双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为x y=0,2 5b,2 5b,渐近线 x y=0 与椭圆 x2+4y 2=4b2在第一象限的交点为55由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2 5b2 5 5b=4,+y2=1.5b2=5,a2=4b2=20.椭圆 C 的方程为x2205应

4、选 D.答案 :D3.2022 年浙江卷 , 文 8 如下列图 , 中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点. 如 M,O,N将椭圆长轴四等分, 就双曲线与椭圆的离心率的比值是 2 A3 B2 C3D解析 : 设椭圆的标准方程为x2+y2=1ab0, 半焦距为 c 1,2b2a就椭圆的离心率为e1=1c.a设双曲线的标准方程为x2-y2=1m0,n0, 半焦距为 c2,m2n2就双曲线的离心率为e2=c2.m由双曲线与椭圆共焦点知c 1=c2.由点 M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即 2m=a.e 2=c 2=a m=2.m c 1e 1a应选 B.答案 :B名

5、师归纳总结 4.2022 年浙江卷 , 文 9 已知椭圆 C1:x2+y2=1ab0 与双曲线 C2:x2-y2=1 有公共的焦点 ,C 2的一条渐近线与以C1的长轴为第 2 页,共 13 页a2b24直径的圆相交于A,B 两点 . 如 C1 恰好将线段 AB三等分 , 就 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Aa2=13 2 Ba2=13精品资料欢迎下载2=2Cb2=1 2 Db解析 : 双曲线渐近线方程为y= 2x,圆的方程为 x2+y 2=a2,就|AB|=2a, 不妨设 y=2x 与椭圆交于 P、 Q两点 , 且 P 在 x 轴上方 ,就由已知

6、|PQ|=1 3|AB|=2 a ,3.|OP|=a , 3P5 a,2 51515又点 P 在椭圆上 ,5 a2+20a2=1. 应选 C.225225a2b2又 a2-b2=5,b2=a 2-5, 联立解得a211, 2b21 . 2答案 :C名师归纳总结 5.2022 年山东卷 , 文 15 已知双曲线x2-y2=1a0,b0 和椭圆x2+y2=1有相同的焦点 , 且双曲线的离心率是椭圆离心率的第 3 页,共 13 页a22 b169两倍 , 就双曲线的方程为. 7 ,0,F27 ,0,离心率为 e=7 4.解析 : 椭圆x2+y2=1 的焦点坐标为F1-169由于双曲线x2-y2=1

7、与椭圆x2+y2=1 有相同的焦点 ,2b29a16因此 a 2+b2=7.又双曲线的离心率e=a2b2=7,aa所以7=2 7 4,a所以 a=2,b2=c2-a2=3,故双曲线的方程为2 x-y2=1.43- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 :x2-y2=1精品资料欢迎下载43考点二椭圆与抛物线综合问题及解法,1.2022 年山东卷 , 理 21 在平面直角坐标系xOy中,F 是抛物线 C:x2=2pyp0 的焦点 ,M 是抛物线 C上位于第一象限内的任意一点过 M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点 Q到抛物线 C的准线的距离为3.41 求抛物线

8、 C 的方程 ;2 是否存在点M,使得直线 MQ与抛物线C相切于点 M.如存在 , 求出点 M的坐标 ; 如不存在 , 说明理由 .3 如点 M的横坐标为2 , 直线 l:y=kx+1与抛物线 C有两个不同的交点A,B,l与圆 Q有两个不同的交点D,E, 求当1 2k 24时,|AB|2+|DE|2 的最小值 .解:1 依题意知 F 0,p, 圆心 Q在线段 OF的垂直平分线y=p 上 , 42由于抛物线 C 的准线方程为y=-p , 2所以3 p = 34 4,即 p=1.因此抛物线 C 的方程为 x2=2y.2 假设存在点Mx 0,2 x 0 x00满意条件 , 抛物线 C在点 M处的切线

9、斜率为yx x 0=x2x x 0=x0,22所以直线 MQ的方程为 y-2 x 0=x 0x-x0.2令 y=1 4得 x Q=x 0+1.24x 0所以 Q（x0+10,1 4） .24x又|QM|=|OQ|,故（10-x0）2+（ 1 4-2 x 0）2=（10+x0）2+ 1 16,4x224x2因此（1 4-2 x 0）2= 9 16.2又 x 00,名师归纳总结 所以 x0=2 , 此时 M2 ,1.第 4 页,共 13 页故存在点 M2 ,1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载使得直线 MQ与抛物线 C 相切于点 M.名

10、师归纳总结 3 当 x 0=2 时, 由 2 得 Q（5 2 8,1 4）,.第 5 页,共 13 页Q的半径为 r=5 2212=3 6 8,84所以 Q的方程为（ x-5 2 8）2+（y- 1 4）2= 27 32由y1 2x2,ykx1.4整理得 2x2-4kx-1=0.设 A,B 两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,由于 1=16k2+80,x 1+x2=2k,x 1x2=- 1 2,所以 |AB|2=1+k2x1+x 22-4x1x 2=1+k24k2+2.由x5 22y1227 , 3284ykx14整理得 1+k2x2- 5 2 4x-1 16=0.设 D,E 两点的坐标分

11、别为x 3,y3,x4,y4,由于 2=k2+27 80,x 3+x4=5 22,44 1kx3x 4=-1k2.16 1所以 |DE|2=1+k2x3+x 42-4x3x 4=252+1 4.8 1k因此 |AB|2+|DE|2=1+k24k2+2+252+1 48 1k令 1+k2=t,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于1 2k2,2=t4t-2+25+1 4精品资料欢迎下载就5 4 t 5,所以 |AB|2+|DE|8t=4t2-2t+ 25 8t+1 4,设 gt=4t2-2t+ 25 8t+1 4,t 5 ,5 4,x2+y2=1ab0

12、的左焦点为 F1-1,0,且点 P0,1 在 C1 上.由于 gt=8t-2-25,8t2所以当 t 5 ,5 4时 ,g t g5=6,4即函数 gt在 t 5 ,5 4上是增函数 ,所以当 t=5 4时,gt取到最小值13 2,因此 , 当 k=1 2时,|AB|2+|DE|2 取到最小值 13 2.2.2022 年广东卷 , 文 20 在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆 C1:22ab1 求椭圆 C1 的方程 ;2 设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y 2=4x 相切 , 求直线 l 的方程 . 解:1 由于椭圆 C1的左焦点为 F1-1,0, 所以 c=1.将点 P0,1

13、 代入椭圆方程2 x+y2=1,0,a2b2得1=1, 即 b=1.2 b所以 a 2=b2+c2=2.所以椭圆 C1的方程为2 x+y2=1.22 由题意可知 , 直线 l 的斜率明显存在且不等于设直线 l 的方程为 y=kx+m,名师归纳总结 由x2y21,第 6 页,共 13 页2ykxm ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 消去 y 并整理得 1+2k2x2+4kmx+2m 2-2=0.精品资料欢迎下载由于直线 l 与椭圆 C1相切 ,所以 1=16k2m 2-41+2k22m2-2=0.2x2+2km-4x+m2=0.整理得 2k2-m 2+

14、1=0. 由y24 ,m ,消去 y 并整理得 kykx由于直线 l 与抛物线 C2相切 ,所以 2=2km-42-4k2m 2=0,整理得 km=1.综合 , 解得k2 , 2或k2 , 2x-2 .2+by=b 2.m2,m2.所以直线 l 的方程为 y=2x+2 或 y=-2223.2022 年江西卷 , 理 21 设椭圆 C1:x2+y2=1ab0, 抛物线 C2:xa22 b1 如 C2经过 C1的两个焦点 , 求 C1的离心率 ;名师归纳总结 2 设 A0,b,Q （33 ,5 4b）, 又 M,N为 C1与 C2不在 y 轴上的两个交点, 如 AMN的垂心为 B（ 0,3 4b）

15、, 且 QMN的重心在 C2 上 ,第 7 页,共 13 页求椭圆 C1和抛物线C2的方程 .解:1 由于抛物线C2经过椭圆 C1的两个焦点F1-c,0,F2c,0,可得 c2=b2,由 a2=b 2+c2=2c2,有2 c=1 2,a2所以椭圆 C1的离心率 e=2.22 由题设可知M,N 关于 y 轴对称 ,设 M-x1,y 1,Nx1,y 1x10,就由 AMN的垂心为 B, 有 BM AN =0.所以 -1x +（ y1- 3 4b） y 1-b=0. 由于点 Nx 1,y1 在 C2上,故有2 1x +by1=b2. 由得 y 1=-b 或 y1=b舍去 , 4- - - - - -

16、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 x1=5b,精品资料欢迎下载2故 M（ -5b,-b ）,N （42,5b,-b ）, 422所以 QMN的重心坐标为（3 ,b ）. 4由重心在 C2上得 3+b2=b4所以 b=2,M（ -5 ,-1 2） ,N（5 ,-1 2） .=1.又由于 M,N 在 C1上,所以a52+12=1,224解得 a 2=163.所以椭圆 C1的方程为2 x+y21643抛物线 C2的方程为x 2+2y=4.x2-y2=1 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.如 C1考点三双曲线与抛物线的综合问题及解法1.2022 年山东卷 , 文 11 抛

17、物线 C1:y=1x2p0 的焦点与双曲线C2:2p3在点 M处的切线平行于C2的一条渐近线 , 就 p 等于 4 3A3 B3C2 3 3 D1683解析 : 如图在同一坐标系中画出C1、C2草图 , 知 C1焦点 F（0,p ）, 2C2右焦点 F22,0.名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由 C2渐近线方程为y=3x.精品资料欢迎下载3直线 FF2方程为x + 2x=1. 联立 C1 与直线 FF2方程得y1x2,2ppx2y1, 22p代入得 2x2+p2x-2p2=0.设 Mx0,y0,即 2x2+p2x

18、0-2p2=0. 0由 C1得 y=1 px,所以1 px0=3, 即 x0=3p. 33由得 p=4 3 3. 应选 D.答案 :D2.2022 年新课标全国卷, 理 8 等轴双曲线C的中心在原点 , 焦点在 x 轴上 ,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于A、B两点 ,|AB|=43 ,就 C 的实轴长为 A2 B22C4 D8解析 : 设双曲线的标准方程为x2-y2= 0,抛物线 y2=16x 的焦点是 4,0,由题意知 , 点 -4,23 在双曲线上 .16-12= , 即 =4,实轴长为 4.应选 C.答案 :C名师归纳总结 3.2022 年福建卷 , 理 8 已知双曲线x2-y2

19、=1 的右焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合 , 就该双曲线的焦点到其渐近线的距离等第 9 页,共 13 页4b2于 C3 D5A 5 B42解析 : 抛物线 y2=12x 的焦点是 3,0,c=3,b2=c2-a2=5.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 双曲线的渐近线方程为y=5x,精品资料欢迎下载2焦点 3,0 到 y=5x 的距离 d=3 5 3=5 .2应选 A.答案 :A4.2022 年山东卷 , 文 11 已知双曲线 C1:x2-y2=1a0,b0 的离心率为 2. 如抛物线 C2:x2=2pyp0 的焦点到双曲线C1的渐近a2b2线的距

20、离为 2, 就抛物线 C2的方程为 Ax2=8 3 3y Bx2=16 33yCx2=8y Dx2=16y解析 : 由 e=c a=2 得 4=c2=1+b2,a2a2b2=3.a2双曲线的渐近线方程为y=3 x, 抛物线 x2=2py 的焦点是（ 0,p ） , 2p它到直线 y=3 x 的距离 d=2=2=p , 42p=8.抛物线方程为x2=16y.应选 D.答案 :D5.2022 年天津卷 , 文 13 已知双曲线x2-y2=1a0,b0 的一条渐近线方程是y=3 x, 它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点a2b2相同 , 就双曲线的方程为 . 解析 : 由双曲线x2-y2=1a

21、0,b0 的一条渐近线方程为y=3 x 得b a=3 ,a2b2b=3 a.抛物线 y2=16x 的焦点为 F4,0,c=4.名师归纳总结 又 c2=a 2+b 2,2,第 10 页,共 13 页16=a 2+3 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a2=4,b2=12.精品资料欢迎下载2 2所求双曲线的方程为 x-y =1.4 122 2答案 : x-y =14 122 26.2022 年天津卷 , 文 11 已知抛物线 y 2=8x 的准线过双曲线 x-y =1a0,b0 的一个焦点 , 且双曲线的离心率为 2, 就该双曲2 2 a b线的方程为

22、. 解析 : 由 y 2=8x 准线为 x=-2.就双曲线中 c=2, c =2 =2,a=1,b= 3 .a a2所以双曲线方程为 x 2-y =1.32答案 :x 2-y=13考点四 圆锥曲线与圆的综合问题及解法1.2022 年福建卷 , 文 20 如图 , 抛物线 E:y 2=4x 的焦点为 F, 准线 l 与 x 轴的交点为 A. 点 C在抛物线 E 上, 以 C为圆心 ,|CO| 为半径作圆 , 设圆 C与准线 l 交于不同的两点 M,N.1 如点 C 的纵坐标为 2, 求|MN|;2 如|AF| 2=|AM| |AN|, 求圆 C的半径 .解:1 抛物线 y 2=4x 的准线 l

23、的方程为 x=-1.由点 C的纵坐标为 2, 点 C在抛物线 E上 ,得点 C的坐标为 1,2,所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CN|=|CO|=5 ,2=2504 =2.+y2,所以 |MN|=2CN2d2 设 C（2 y 0,y0）,）2+y-y2=4 y 0164就圆 C的方程为（ x-2 y 040即 x2-y2 0x+y2-2y 0y=0.2由 x=-1,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得 y2-2y 0y+1+y2 0=0,精品资料欢迎下载2设 M-1,y1,N-1,y2, 就2y 0

24、240,xOy中 , 已知圆 P在 x轴上截得线段长为22 , 在 y 轴上截得线段长为23 .4y 0 24 12 y 02y y 22 y 01.6 ）或（3 2,-6 ） ,2由|AF|2=|AM| |AN|,得|y1y2|=4,所以2 y 0+1=4,2解得 y0=6 , 此时 0.所以圆心 C的坐标为（3 2,从而 |CO|2= 33 4,|CO|=33,2, 文 20 在平面直角坐标系即圆 C的半径为33.22.2022 年新课标全国卷1 求圆心 P 的轨迹方程 ;名师归纳总结 2 如 P 点到直线 y=x 的距离为2 2, 求圆 P的方程 .第 12 页,共 13 页解:1 设

25、Px,y,圆 P 的半径为 r.由题设 y2+2=r2,x2+3=r2,从而 y2+2=x2+3.故 P 点的轨迹方程为y2-x2=1.2 设 Px0,y0.由已知得x 0y0=2.22又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上,从而得x0y 01,y2 02 x 01.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由x0y 01,得x 00,精品资料欢迎下载此时 , 圆 P的半径 r=3 .y2 02 x 01.y 01.名师归纳总结 由x0y 01,得x 00,此时 , 圆 P 的半径 r=3 .A、A 两第 13 页,共 13 页y2 02 x 01.y 01.

26、故圆 P的方程为 x2+y-12=3 或 x2+y+12=3.3.2022 年重庆卷 , 文 21 如图 , 椭圆的中心为原点O,长轴在 x 轴上 , 离心率 e=2, 过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于2点,AA =4. 1 求该椭圆的标准方程;2 取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、 P, 过 P、 P 作圆心为Q的圆 , 使椭圆上的其余点均在圆Q外 . 求 PPQ的面积 S 的最大值 , 并写出对应的圆Q的标准方程 .解:1 由题意知点A-c,2在椭圆上 , 就c2+22=1, 从而 e 2+4=1,a22 bb2又 e=2, 故 b 2=14=8, 从而 a 2=1b2

27、=16. 故该椭圆的标准方程为x2+y2=1.22 e2 e1682 由椭圆的对称性 , 可设 Qx 0,0. 又设 Mx,y 是椭圆上任意一点, 就|QM|2=x-x02+y2=x 2-2x 0x+2 0x+8 （ 1-x2）16=1 2x-2x02-x2+8x -4,4.0设 Px1,y1, 由题意知 ,P 是椭圆上到 Q的距离最小的点 ,因此 , 当 x=x 1 时|QM|2取最小值 ,又 x 1-4,4,所以当 x=2x 0时 |QM|2 取最小值 , 从而 x 1=2x0, 且|QP|2=8-2 x .由对称性知 Px1,-y1, 故|PP|=|2y1|,所以 S=1 2|2y1|x1-x0|=1 2 2812 x 1|x 0|=242 x 02 x 0=2 2 x 0224.16当 x0=2 时 , PPQ的面积 S 取得最大值22 .此时对应的圆Q的圆心坐标为Q2 ,0, 半径 |QP|=82 x 0=6 ,因此 , 这样的圆有两个, 其标准方程分别为x+2 2+y2=6,x-2 2+y2=6.- - - - - - -