2022年二次函数复习专题讲义.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载第 1-3 讲 二次函数全章综合提高【学问清单】 一、网络框架 二、清单梳理概念：形如 yax a 20 的函数简洁二次函数 图像：是过（0,0）的一条抛物线二次函数一般二次函数对称轴： 轴 y性质 最值：当 a0 时,y 最小值 =0；当 a0 时,y 最大值 =0增减性当 a0 时,在对称轴左边（即 x0）, 随 的增大而减小；在对称轴右边（即 y x x0）, 随 的增大而增大；y x当 a0 时,在对称轴左边（即 x0）, 随 的增大而增大；在对称轴右边（即 y x x0）, 随 的增大而减小；y x概念：形如 y2

2、axbx c a0 的函数,留意仍有顶点式、交点式以及它们之间的转换；开口方向：a0,开口向上；a0,开口向下；图像：是一条抛物线 顶点坐标：（-b,2 4 ac b）2 a4 a对称轴：x-b2 a最值：当 a0 时,y 最小值 =2 4 ac b,当 a0 时,y 最大值 =2 4 ac b4 a4 a性质：当 a0 时,在对称轴左 边（即 x-b）, 随 的增大而减小；在对称轴右边（即 -y x x2 ab）, 随 的增大而增大；y x2 a增减性：0 时,在对称轴左边（即 x-b）, 随 的增大而增大；在对称轴右边（即 -y x x2 ab）, 随 的增大而减小；y x2 a当 a待定

3、系数法求解析式应用 与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题1 、 一 般 的 , 形 如yax21bxc a0, , , a b c是常数的 函 数 叫 二 次 函 数 ； 例 如y2x2,y22 x6,yx24 , x y5x29x6等都是二次函数； 留意：系数 a3不能为零,b c 可以为零；2、二次函数的三种解析式（表达式）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般式：yax2bxc a优秀教案欢迎下载0, , , a b c是常数顶点式：y a x h 2k a h k 为常数,且 a 0,顶点坐

4、标为 , h k 交点式：y a x x 1 x x 2 a 0, 其中 x 1 , x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标 3、二次函数的图像位置与系数 a b c 之间的关系 a：打算抛物线的开口方向及开口的大小；当 a 0 时,开口方向向上；当 a 0 时,开口方向向下；| a 打算开口大小,当 | a | 越大,就抛物线的开口越小；当 | a | 越小,就抛物线的开口越大；反之,也成立； c：打算抛物线与 y 轴交点的位置；当 c 0 时,抛物线与 y 轴交点在 y 轴正半轴（即 x轴上方）；当 c 0 时,抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴（即 x 轴下方）；当 c 0 时,抛物

5、线过原点；反之,也成立； a 和 b：共同打算抛物线对称轴的位置；当 b 0 时,对称轴在 y 轴右边； 当 b02 a 2 a时,对称轴在 y 轴左边；当 b 0（即当 b 0 时）对称轴为 y 轴；反之,也成立；2 a特殊：当 x 1 时,有 y a b c ；当 x 1 时 ,有 y a b c ；反之也成立；2 24、二次函数 y a x h k 的图像可由抛物线 y ax 向上（向下） ,向左（向右）平移而得到；详细为：当 h 0 时,抛物线 y ax 向右平移 h 个单位；当 2h 0 时,抛物线 y ax 2向左平移 h 个单位, 得到 y a x h 2；当 k 0 时,抛物线

6、 y a x h 2 再向上平移k个单位, 当 k 0 时,抛物线 y a x h 2再向下平移 k 个单位, 而得到 y a x h 2k 的图像；5、抛物线y2 axbxc a0与一元二次方程ax2bxc0a0的关系： 如 抛 物 线y2 a xb xc a 0 与 x 轴 有 两 个 交 点 , 就 一 元 二 次 方 程2 a xb xc0 a0 有两个不相等的实根； 如 抛 物 线y2 a xb xc a 0 与 x 轴 有 一 个 交 点 , 就 一 元 二 次 方 程名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - -

7、ax2bxc0a0优秀教案欢迎下载；有两个相等的实根（即一根） 如 抛 物 线y2 a xb x c0 a 与 x 轴 无 交 点 , 就 一 元 二 次 方 程2 a xb xc 0 a 没有实根；6、二次函数yax2bxc a0, , , a b c是常数的图像与性质关系式yax2bxc a0ya xh 2k a0图像外形抛物线b,4acab2 , h k顶点坐标02 a4xbxh对称轴2a在图像对称轴左侧,即xb或 xh , y 随 x 的增大而减a2 a小；在图像对称轴右侧,即xb或 xh , y 随 x 的增大增02a而增大；减在图像对称轴左侧,即xb或 xh , y 随 x 的增大

8、而增性2 aa大；在图像对称轴右侧,即xb或 xh , y 随 x 的增大2a而减小；名师归纳总结 最 大 值a0当xb时,y 最小值=4 acab2当 xh 时,y最小值=k第 3 页,共 23 页2 a4最小值a0当xb时,y 最大值=4 acab2当 xh 时,y最大值=k2 a4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【考点解析】考点一：二次函数的概念【例 1】以下函数中是二次函数的是（）3 2 x42bxc a0A y8x21B y8x1C y8D yx【解析】 依据二次函数的定义即可做出判定,A 中y8x21符合yax的形式,

9、所以是二次函数,B C 分别是一次函数和反比例函数,D 中右边34不是整式,x2明显不是二次函数；【答案】 A【例 2】已知函数 y m 22 m x m 2 3 m 43 mx m 1 是二次函数,就 m _；【解析】 依据二次函数的定义,只需满意两个条件即可“二次项系数不为零,且 x的最高次数为 2 ”；故有 mm 22 23 m m4 02,解得 mm 1 0或 且m m2 2,综上所述, m取 1；【答案】 1【针对训练】1、如函数ym2m 2 2xmx是二次函数,就该函数的表达式为y_；考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用名师归纳总结 【例 1】已知点,a 8在二次函数y2

10、ax2的图象上,就 a 的值是（）代入二次函数yax2第 4 页,共 23 页A .2B .2yC.2D.2【解析】 由于点a8,在二次函数ax2的图象上,所以将点a8,中,可以得出a38 ,就可得a,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】A .优秀教案欢迎下载【例 2】（ 2022 ,泰 安 ）如 二 次 函 数yax2bxc的 x 与 y 的 部 分 对 应 值 如 下 表 ,就 当x1 时 , y 的 值 为 （）432x765y27133353A . 5B .3C.1327【解析】 设 二 次 函 数 的 解 析 式 为yaxh2k,因 为

11、 当x4或2 时 ,y3,由 抛 物 线 的 对 称 性 可 知h3,h5, 所 以yax325, 把3,2代 入 得 ,a2, 所 以 二 次 函 数 的 解 析 式 为y2x325, 当x3时 ,y27；【 答 案 】 C【针对训练】1、 20XX年 太 原 过0,1,3 0,2,1三 点 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 （）A .,1 2B .1, 23yC .5,1D .2, 143）x22、无论 m为何实数,二次函数2mxm的图象总是过定点（A .3,1B .0,1C .3,1D,10【例 3】（ 2022 ,石 家 庄 一 模 ）如 图 所 示 ,在 平 面 直 角 坐 标

12、 系 中 ,名师归纳总结 二 次 函 数yax2bxc的 图 象 顶 点 为A .2 ,2, 且 过 点第 5 页,共 23 页B,02, 就y与 x的 函 数 关 系 式 为 （）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A .yx22B.yx22优秀教案.y欢迎下载22D .yx2222Cx2【 解 析 】 设 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为yax222, 将B,02代 入 得yx222,20222,解 得 ：a1, 故 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 是【 答 案 】 D【针对训练】1、二 次 函 数y1x 2xbxbxc的 顶 点

13、为 2,1, 就 二 次 函 数 的 解 析 式 为 _. 2【 例 4】二 次 函 数y2c 过 点 3, 0 1, 0,就 二 次 函 数 的 解 析 式 为 _ ；考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数1 2a b c 的关系）1,就 a、b的大【例 1】（2022,兰州）已知二次函数yaxba0有最小值D 不能确定小关系为（）A .abB .abC.ab【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】由于二次函数ya x1 2ba0有最小值 1,所以a0,b1,b1,所以ab；【答案】A .【针对训练】1、二次函数y2x24x1 的最小值是23；）的图象的顶点坐标是（2、（ 2022

14、,兰州）二次函数y2x1名师归纳总结 A . ,B .1,C. ,3D .1,3第 6 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、抛物线yx x2优秀教案）欢迎下载的顶点坐标是（A .1,1 B .1,yC. ,3D. ,1 x2平移得到,就以下平移【例 2】（2022,兰州）抛物线x2 2可以由抛物线y过程正确选项（）3 个单位A 先向左平移2 个单位,再向上平移B 先向左平移2 个单位,再向下平移3 个单位C 先向右平移2 个单位,再向下平移3 个单位D 先向右平移2 个单位,再向上平移3 个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】 抛物线

15、yxx2向左平移 2 个单位可得到抛物线yx2 2,再向下平移3 个单位可得到抛物线y223；【答案】B .【针对训练】1、（ 2022,南京）已知以下函数：（1）y2x2；（2）yx2；（3）yx1 22；其中,图象通过平移可以得到函数yx2x3的图象的有（填写全部正确选项的序号）；2、（ 2022,上海）将抛物线yx22向上平移一个单位后,得到新的抛物线,那么新的抛物线的表达式是x2；）3、将抛物线y向左平移 2 个单位后,得到的抛物线的解析式是（名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - A .yx22B .y x优秀

16、教案.y欢迎下载2 2D .yx222 2Cx4、将抛物线yax2bxc a0向下平移3 个单位,在向左平移4 个单位得到抛物线y2x24x5,就原抛物线的顶点坐标是bx_；c的图象如下列图,【例 3】（2022,长沙）二次函数yax2就以下关系式错误选项（）c0C.b24ac0A .a0B .D .abc0【考点】图像与系数的关系【解析】 观看题中图象可知,抛物线的开口方向向上,抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴 上 , 与 x 轴 有 两 个 交 点 , 所 以 a 0,c 0,b24 ac 0, 且 当 x 1 时 ,y a b c 0；明显选项 A 、B、C 都正确,只有选项 D

17、 错误；【答案】D .【例 4】（2022,山西）已知二次函数 y ax 2 bx c 的图象如图所示,对称轴为直线 x 1,就以下结论正确选项（）A . ac 0B 方程 ax bx c 0 的两根是 1x 1,x 2 3 2C . 2 a b 0D 当 x 0 时,y随 x的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】 由图象可知a0,c0,故 A 错误；因对称轴为直线x1,所以b1,2a故 C 错误；由图象可知当1x0时, y 随 x 的增大而增大,故D 错误；由二次函数的对称性可知 B 选项正确,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - -

18、 - - - - - - 【答案】B.优秀教案欢迎下载【针对训练】1、（2022,呼和浩特）在同一平面直角坐标系中,函数ymxm和函数yD .mx22x2（ m是常数,且m0）的图象可能是（）C.A .B .2、（ 2022,重庆）已知抛物线yax2bxca0在平面直角坐标系中的位置如图所时, y 随 x 的增大而减小,就二次函数示,就以下结论中,正确选项（）A .a0B .b0x0C.c0D .abc03、在反比例函数中yaa0,当xyax2ax的图象大致是（）C.D.A .B.名师归纳总结 4、如下列图, 二次函数yax2bxc a0的图像经过A 1,2,且与 x 轴的交点的横第 9 页,

19、共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 坐 标 分 别 为x x , 其 中2x 1优秀教案x 2欢迎下载2 bc0； 1,01, 下 列 结 论 ： 4 a2 ab0；a1；b28 a44ac ,其中正确的选项有_；【例 5】已知关于 x 的函数yx2x3,求当1x1时函数的最大值和最小值【针对训练】1、 已知函数y2x24xx1,试求当11xx2的最大值和最小值2、 已知函数21,试求当2的最大值和最小值y2x4|【 例6 】 已 知 二 次 函 数y2 a xb xc a0其 中 a、 、c 满 足abc0和9 a3 bc0,就该二次函数的

20、对称轴是直线_；【针对训练】名师归纳总结 1、 已知A x 1, 2002、B x2, 2002是二次函数yax2bx5a0的图像上的两点, 就第 10 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当xx 1x 时,二次函数的值是优秀教案欢迎下载_. 【例 7】已知二次函数yx22mx2,当x2时, y 的值随 x 值的增大而增大,就实数 m 的取值范畴是 _；【针对训练】1、 如二次函数yxm 21,当x1时, y 随 x 的增大而减小,就m 的取值范畴是_；讲到这儿了考点四：二次函数的实际应用【例 1】（2022,重庆）某企业为重庆运算机产业

21、基地供应电脑配件,受美元走低的影响,从去年 1 至 9 月,该配件的原材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格 y（元）x与月份（1 x 9,且 x 取整数）之间的函数关系如下表：月份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格 y（元 /件）560 580 600 620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋缓,10 至 12 月每件配件的原材料价格 y 2（元）与月份 x （10x 12,且 x 取整数）之间存在如下列图的变化趋势：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - -

22、 优秀教案 欢迎下载（1）请观看题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关学问,直接写出y与x之间的函数关系式,依据如下列图的变化趋势,直接写出y与x之间满意的一次函数关系式；（2）如去年该配件每件的售价为 1000 元,生产每件配件的人力成本为 50 元,其它成本 30元,该配件在 1 至 9 月的销售量 p（万件）与月份x满意函数关系式 p 1 0 . 1 x 1 1.（1x 9,且 x取整数） 10 至 12 月的销售量 p（万件）与月份 x满意函数关系式 p 2 0 . 1 x 2 . 9（10x 12,且 x取整数）求去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润

23、；（3）今年 1 至 5 月,每件配件的原材料价格均比去年12 月上涨 60 元,人力成本比去年增加 20%,其它成本没有变化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高 a %,与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上削减 .0 a %这样, 在保证每月上万件配件销量的前提下,完成了 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务,请你参考以下数据,估算出 a的整数值（参考数据： 99 2=9901,98 2=9604,97 2=9409,96 2=9216,95 2=9025）【考点】 涉及函数模型, 把实际问题转化为函数,用函数的观点来解决问题,综合性比较强,一般仍涉及不等式,最值问题；

24、【解析】（1）把表格 （1）中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得y的解析式 把（10,730）（12,750）代入直线解析式可得y的解析式,；（2）分情形探讨得： 1x9时,利润 =p（售价 各种成本）；10x 12时,利润 =p（售价 各种成本）；并求得相应的最大利润名师归纳总结 即可；（3）依据 1 至 5 月的总利润1700 万元得到关系式求值即可；解：（1）设ykxb,第 12 页,共 23 页就kkb560,解得k20,2b580b54- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 120x优秀教案y 2欢迎下载b,就10 ab73,解得a10,54

25、0（1x9,且 x取整数）；设ax12 ab75b63y210x630（10x 12,且 x 取整数）；元 1 x 9 , 且 x 取 整 数 时（ 2 ） 设 去 年 第 x月 的 利 润 为 WWp 1 10005030y 12x216 x4182 x4 2450 x =4 时, W 最大=450 元； 10x 12,且 x取整数时,Wp2 10005030y 2x29 2 x=10 时, W 最大 =361 元；（3）去年 12 月的销售量为 0.1 12+2.9=1.7 （万件）,今年原材料价格为：750+60=810（元）=1700,今年人力成本为：50（1+20% ）=60 元5

26、1000 （1+a %） 810 60 30 1.7（1 0.1 %设ta %,整理得10 t299t100,解得t999401209401 更接近于 9409,9401 97,1t 0.1,2t 9.8,a 10或 a 2 980,1.7（1 0.1 %）1, a 10【答案】（1）y210x630（10x 12,且 x取整数）；（2） x=10 时, W 最大 =361 元；（3） a 10【针对训练】名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载1、（2022 湖北孝感） 在“母亲节 ”前夕,我市某校

27、同学积极参加“ 关爱贫困母亲 ” 的活动, 他们购进一批单价为 20 元的 “孝文化衫 ”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲；经试验发觉, 如每件按 24 元的价格销售时, 每天能卖出36 件；如每件按 29 元的价格销售时,每天能卖出21 件假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元 /件）满意一个以x 为自变量的一次函数；（1）求 y 与 x 满意的函数关系式（不要求写出 x 的取值范畴）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情形下,销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润 P 最大？【例 2】（2022,孝感）如图,已知二次函数图象的顶点坐标为（2,0）,直线yx1与二次函数的图象

28、交于 A, B 两点,其中点 A在y轴上（1）二次函数的解析式为 y =；（2）证明点 m , 2 m 1 不在（ 1）中所求的二次函数的图象上；（3）如 C 为线段 AB 的中点, 过 C 点作 CE x 轴于 E 点, CE 与二次函数的图象交于 D点 y 轴上存在点K,使以K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形,就KK 点的坐标是；P,使得SPOE2 SABD？求出 P点坐标；如不存在,请二次函数的图象上是否存在点说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【考点】考察函数的图像与性质,与

29、平面图形综合为主,一般涉及存在性问题和动点问题；【解析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为 ,2 0 ,故依据抛物线的顶点式写出抛物线解析式（2）把该点代入抛物线上,得到 m 的一元二次方程, 求根的判别式（3）由直线 y x 1与二次函数的图象交于 A, B 两点,解得 A, B 两点坐标,求出 D点坐标, 设K点坐标 0 , a,使 K , A , D , C 为顶点的四边形是平行四边形,就 KA DC,且 BA/ DK,进而求出 K 点的坐标 过点 B 作 BF x 轴于 F ,就 BF / CE / AO,又 C 为 AB 中点,求得B点坐标,可得到 S POE 2 S ABD,设 P

30、x , 1x 2x 1 ,由题意可以解出 x4（1）解：y 1x 2x 14（2）证明：设点 m , 2 m 1 在二次函数 y 1x 2x 1 的图象上,4就有：2 m 1 1m 2m 1,4整理得 m 24 m 8 0, 4 24 8 16 0原方程无解,名师归纳总结 点m ,2m1 不在二次函数y1x2x1的图象上第 15 页,共 23 页4（3）解： K0 ,3 或05,2 SABD,二次函数的图象上存在点P,使得SPOE如图,过点 B 作BFx轴于 F ,就BF/CE/AO,又 C 为 AB 中点,OEEF,由于y1x2x1和yx1可求得点B8 ,94E40,D41, ,C4 ,5

31、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AD /x轴,优秀教案欢迎下载SPOE2SABD21 2424161x22x2设Px,1x2x1 4x1x1 1 ,41 24 由题意得：S POE2SPOE2SABD321x22x2210,解得x6或x16,61 436当x6时,y当x10时,y110010116,和P 10, 164存在点P6, 16和P 10, 16,使得SPOE2 SABD【答案】（1）y1x2x1；（2）见上述解答过程；（3）存在,点P6 , 164【例3】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y8 22 xbxc 经过点A3, 0和点52B 1,

32、 2 2 ,与 x 轴的另一个交点为 C ；（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 D 在对称轴的右侧、x 轴上方的抛物线上,且 BDA DAC ,求点 D 的坐标；（3）在（ 2）的条件下,连接 BD ,交抛物线对称轴于点 E ,连接 AE ；判定四边形 OAEB的外形,并说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点 F 是 OB 的中点,点优秀教案欢迎下载M和点B不重合,当M是直线BD上的一个动点,且点BMF1MFO 时,请直接写出线段BM 的长32x73【答案】（1）y8 2x28 2x42 22522x5

33、5（2）BD/ /ACD4, 2 2（3）平行四边形；1或5 22【针对训练】1、（2022,泉州）如图, O为坐标原点,直线l 围着点A ,02旋转,与经过点C01, 的二次函数y1x2h的图象交于不同的两点P、Q4（1）求 h 的值；（2）通过操作、观看,算出POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线,与 x轴交于点 B ,试问：在直线l 的旋转过程中,四边形AOBQ是否为梯形？如是,请说明理由；如不是,请指出四边形的外形名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【基础闯关】1、 已 知 二 次 函 数yax2bxc的 图 象 如 图 所 示 , 那 么 这 个 函数 的 解 析 式 为 _名师归纳总结 2、已知二次函数y3x212x13,就函数y的最小值是 _第 18 页,共 23 页3、把抛物线y2x2向上平移 5 个单位,所得抛物线的解析式为_4 、（ 2022 , 济 宁 ） 将 二 次 函 数yx24x5化 成yxh 2k的 形 式 , 就y_5、（ 2006