完整第二章(1).doc

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1、三、模典范题分析例1设在处可导，求分析所求极限与的定义式子特不相似，那么由的定义即可求解解=错歪曲答令，那么，=1=2错解分析式1用到在点的导数；式2用到在点连续但是题目只是给出在处可导的条件，而在的邻域内是否可导以及在处是否连续都未知因此上述做法中的式1与式2有可以不成破例2设，其中在上有定义且在点处可导试求分析求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数在该点的函数值，但在此题中函数的可导性未知，故只能用定义来求解事前，=因此=事前，综上所述，=例3设函数，其中的一阶导函数有界求分析求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也可先求出二阶

2、导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在此题中函数的可导性未知，故只能用定义来求解由于，那么有又=,因此=错歪曲答由于，因此=错解分析此解法差错的根源在于的一阶导函数有界并不克不迭保证二阶可导而上述求解却要用到注此题用到如下结论：a有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；b可导必连续例4设的一阶导数在处连续且，那么A在处的二阶导数不存在B肯定存在CD解由于，因此，由于在处连续，故又由于，因此选C例5设在的某个邻域内有定义，、为该邻域内任意两点且称心条件：1；2试证在上述邻域内分析此处无法用求导公式跟求导法那么证明由于的表达式未给出，故只能考虑从定义出发假定用条件2，那么需先求出证明由于在的某个邻域

3、内有定义，记该邻域为，那么对任意、，有令，那么因此对任意，当及时，考虑以下极限=，故，例604研设函数连续，且，那么存在，使得A在内单调增加B在内单调增加C对任意的有D对任意的有解由导数定义知按照极限的保号性，知存在，事前，有因此事前，有；事前，有，应选C注函数只在一点的导数大年夜于零，一般不克不迭推导出单调性，题设告诉函数在一点可导时，一般应遥想到用导数的定义停顿讨论例7设不恒为零的奇函数在处可导试说明为函数的哪一类连续点解由题设知，令可得那么=，因此在处有极限从而是的可去连续点例8设函数可导，那么是在处可导的A充分需求条件B充分条件但非需求条件C需求条件但非充分条件D既非充分条件又非需求条

4、件分析表达式中含有绝对值标志，又要调查函数在一点的导数的存在性，因此要考虑函数的左右导数解由导数定义，知，可见存在，即应选A例901研设，那么在点可导的充要条件为A存在B存在C存在D存在分析此题要紧调查导数的定义，不的也调查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号解留心到，且假定存在那么因此A成破只保证存在，而不是存在的充分条件假定存在，那么，故B是存在的充要条件关于C，留心到，因此假定存在，那么由右边推知右边极限存在且为零假定右边极限存在，那么由知上式右边极限可以不存在，故可以不存在至于D，假定存在，上述右边拆项分不求极限均存在，保证了右边存在而右边存在，不克不迭保证右边拆项后极限也分不存在应选B

5、例1099研设，其中是有界函数，那么在处A极限不存在B可导C连续但弗成导D极限存在但不连续解由于=，=，应选B例11曾经明白在处可导且求分析题目条件是在处可导，肯定有在处连续，从而可知该极限属于型解在处可导那么且当充分大年夜时故=注此题用到事前，例12讨论函数的可导性分析的表达式含有绝对值标志，应先去丢掉绝对值标志，本质上为分段函数解法1由可得或由得因此，可求得，由于=，=，因此，即在处可导而=，=，那么在处弗成导综上所述在处弗成导，在上均可导解法2依题意，是初等函数，且仅在跟处可以弗成导故只需讨论在这两点的状况1时，由于，故2时，由于不存在，故只在处弗成导，在上均可导解法3由于，由导数定义可

6、知，在处弗成导，而在处一阶可导，因此，在任意点处均可导，再只需调查的可导性由导数定义可知，仅仅在处弗成导，故仅在处弗成导，在上均可导例13设，讨论的可导性分析先应求出的表达式本质上为分段函数解由于，那么有显然当或时，函数可导下面讨论时的可导性由于=，=，因此，从而可知仅在处弗成导例1405研设函数，那么在内A四处可导B恰有一个弗成导点C恰有两个弗成导点D至少有三个弗成导点解由于=易求得，那么，故为弗成导点同理也为弗成导点应选C例15设的定义域为，其中，试讨论的可导性假定可导，求其导数分析本质上是分段函数即，由此可知需先解出不等式与解由即解得，现在而由即解得，现在那么有且事前，=，=，即，因此在

7、处弗成导故例16设函数，假定要为可导函数，应怎么样选择？解显然当及时，可导，故要使为可导函数，只需使其在处可导由可导与连续的关系，该当起首选择，使其在连续因，故破即时，在连续又，因此事前，存在，从而为可导函数例17设，求，分析三个函数中都有导数灯号，其中表示函数对求导，求得后再与复合；表示函数对求导，即对求导，而；表示复合函数关于自变量求导解，那么=，=，以及=例18设求分析此题既可开门见山由复合函数求导法那么求导，也可使用微分的方法波动性先求出，然后可得解法1开门见山由复合函数求导法那么，令，那么=解法2使用一阶微分的方法波动性=故=例19设，求分析为幂函数；为指数函数与幂函数复合而成的函数

8、；而也为复合函数，它是指数函数与指数函数复合而成的函数解=例20假定存在，求分析可以先求出，也可使用微分的方法波动性求一阶微分解法1=，因此=解法2=例21设求解法1在的单方微分，得，即，化简得令，那么因此可得，解法2由于，因此，其中因此，注此题作变卦，那么恳求故在最后需指明是的定义域例22设且有二阶导数求解=，=例23曾经明白函数存在任意阶导数且那么当为大年夜于的正整数时是ABCD分析曾经明白应求出，用数学归纳法推出阶导数解事前，=，以及=，=应选B例24设，那么使存在的最高阶数为ABCD解逐阶打算导数来验证，记，易见都存在，再记，那么由求导公式跟定义，有，,即，那么有由在弗成导，知不再存在

9、，即，选C例25设求分析求函数的高阶导数一般先求一阶导数，再求二阶，三阶，寻出阶导数的法那么，然后用数学归纳法加以证明或者是通过恒等变形或者变量代换，将恳求高阶导数的函数转换成一些高阶导数公式曾经明白的函数或者是一些随便求高阶导数的方法用这种方法恳求记取内容提要中所给出的一些稀有函数的高阶导数公式解法1=那么，故=解法2使用公式=由，得=，故=解法3使用幂级数展开式=，故=注解法3用到了幂级数展开式，这是第十章无穷级数的内容例26设求分析先求出，假定接着求导，将特不难归纳出阶导数的表达式此类有理分式函数，常常是将其分析为局部分式之跟，再使用已有的公式解由于，那么=例27设函数由方程判定，求分析

10、由方程判定的隐函数的求导素日有两种方法，一是只需将方程中的看作中间变量，在单方同时对求导，然后将解出即可；二是使用微分方法波动性，方程单方对变量求微分，解出，那么前的函数即为所求解法1在方程单方同时对求导，有，因此解法2在方程单方求微分，得，即，从而，因此例28设函数由方程所判定求，解将代入方程，得先求，下面用两种解法求解法1对方程单方关于求导，可得将，代入上式中可求得解法2对方程单方关于微分得即化简得将，代入上式中求得下面求对等式单方关于求导，得=，将，代入上式解得注求时，也可将等式单方对求导求得，或使用对数求导法请读者自行完成这两种方法，并比较一下孰优孰劣例29设函数是由方程所判定，其中存

11、在二阶导数且求解法1对方程单方关于求导，得，即=，上式中间再对求导得=解法2方程中间取对数得，对其中间关于求导那么有，解得=以下同解法1注使用原方程简化导数表达式是隐函数求导常用的方法之一，在求隐函数的高阶导数时尤其显得要紧例30求函数的导数分析所给函数为幂指函数，无求导公式可套用求导方法一般有两种：对数求导法跟使用恒等式，将幂指函数化为指数函数解法1对数求导法对等式单方取自然对数得，单方对求导得，解得解法2使用恒等式，因此=注一般的可导幂指函数均可采用上述两种方法求导例31求由方程所判定的函数的导数分析此题为幂指函数跟隐函数求导数的综合征询题解法1对方程单方取自然对数得，中间对求导，那么有，

12、解得解法2原方程可变为，即对上式单方微分：即，因此有，由此解得例32求函数的导数分析该题属于求多个函数的乘积或幂的导数，用对数求导法较好解法1中间先取绝对值，再取对数得，单方对求导，得因此解法2=例33设，那么_分析这是恳求由参数方程判定函数的二阶导数，需求先求一阶导数解=，=错歪曲答=，=错解分析出错的缘故在于疏忽了=是的函数，为参数且是中间变量，而题目的恳求是求因此，在求这类函数的二阶或三阶导数时要留心避免这类差错发生例34设，且求解=，=例35设是由所判定求分析此题为隐函数求导与由参数方程所判定函数的求导的综合征询题解法1在单方对求导得由得，对方程单方关于求导得=那么有，=故=，因此=解

13、法2由得，又，=，故=，=，因此=解法3使用公式=随便求出，对单方分不关于求一阶导数，得从而，对单方分不关于求一阶导数，得，由此可得因此将，代入公式=，得=例3604研曲线上与直线垂直的切线方程为_分析求切线方程，需先求歪率即求一阶导数，使用两直线不平行坐标轴垂直的关系：歪率互为负倒数解直线的歪率为，由得，由得，从而切点为，因此所求切线方程为，即为所求例3797研求对数螺线在点处的切线的直角坐标方程分析求切线方程，需先求歪率即求一阶导数，而对数螺线的方程为极坐标方法，故应先化为参数方程方法解由知，点的直角坐标为又由=可知，事前故所求切线方程为即为所求例38曾经明白曲线在点处的切线与轴的交点为求

14、分析先求出切线方程，然后求出该切线与轴的交点坐标即可解曲线在处的切线歪率为，故切线方程为令，得该切线与轴的交点的横坐标为因此=例39曾经明白是周期为的连续函数，其在的某个邻域内称心关系式，其中是事前比高阶的无穷小且在处可导求曲线在点处的切线方程分析求在处的切线方程，需求与切线歪率，而由=，可得跟，从而故征询题转化为求与解由题设条件有，从而，得又，从而，即令，那么有,即因此由=，可得那么，故所求切线方程为，即为所求例40现有一深为cm顶部直径为cm的正圆锥漏斗，内盛满水，下接不时径为cm的圆柱形水桶，水由漏斗进入水桶试征询当漏斗中水深为cm且其水面着落速度为cm/min时，圆柱形水桶中水面上升的速度为多少多?(其中cm表示厘米，min表示分钟)分析设在时刻时刻漏斗水平面的高度为cm，水桶水平面的高度为cm关键在于树破与之间的函数关系，然后用导数的物理意思即可求解而由题设可知如上等量关系：在任何时刻，漏斗中的水量与水桶中的水量之跟等于原本漏斗中的水量，据此征询题不难求解解设在时刻时漏斗中的水量与水桶中水量分不为、，那么，由于在任何时刻，均应等于开始时漏斗中的水量，即，即，解得对该等式单方关于求导得，将cm，厘米/分钟代入上式那么求得水桶中水平面上升的速度为厘米/分钟