重积分的计算法第二次.ppt

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1、利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分第二节第二节 二重积分二重积分的计算法的计算法一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分 积分区域积分区域D为：为：积分区域积分区域D为：为：又是能否进行计算的问题又是能否进行计算的问题.计算二重积分时计算二重积分时,恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题,而且而且例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域:原式原式=例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程且这两个圆柱面的方程分

2、别为分别为 及及 解解 求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.两相邻弧半径平均值两相邻弧半径平均值.内取圆周内取圆周上一点上一点其直角坐标为其直角坐标为则则二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分:ir rir rr r=iiiq qr rh hsin=根据二重积分的定义：根据二重积分的定义：现在研究，在极坐标系内，上述极限的形式现在研究，在极坐标系内，上述极限的形式得得 即即极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素iiiq qr rh hsin=将直角坐标中的二重积分转化为极坐标系的二重积将直角坐标中的二重积分转化为极坐标系的二重积分，只要将分，只要将x,y分别变为分别变

3、为 ，并把，并把dxdy变变为为 即可。即可。注意：现在仅仅是将直角坐标中的注意：现在仅仅是将直角坐标中的二重二重积分转化为积分转化为极坐标中的极坐标中的二重二重积分积分，为了计算极坐标系中的，为了计算极坐标系中的二重二重积分还要进一步转为积分还要进一步转为二次二次积分积分。从直角坐标到极坐标，要做哪些改变？从直角坐标到极坐标，要做哪些改变？怎么转化？怎么转化？(1)积分区域积分区域D:(2)积分区域积分区域D(曲边扇形曲边扇形):)(q qj jr r=)(q qj jr r=(3)积分区域积分区域D:注注一般一般,在极坐标系下计算在极坐标系下计算:极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积)

4、(q qj jr r=解解a计算计算例例其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.若在直角坐标下计算若在直角坐标下计算无法计算！无法计算！解解 在极坐标系下在极坐标系下a例例 计算计算其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解求反常积分求反常积分例例显然有显然有对对称称性性质质夹逼定理夹逼定理即即所求反常积分所求反常积分第一卦限内的立体，以第一卦限内的立体，以 为底，为底，？解解 例例 求球体求球体 被圆柱面被圆柱面 所截得的立体的体积所截得的立体的体积由对称性由对称性所求体积所求体积V是第一卦限内的立是第一卦限内的立体体积的体体积的4倍，倍，？顶为顶为所以所以 二重积分的计算规律二重积分的计算规律将重积分化为累次积分将重积分化为累次积分1.画出积分区域画出积分区域D的草图，分析的草图，分析D，写出，写出描述积分区域的不等式描述积分区域的不等式,这时注意选取合适的积分顺序。这时注意选取合适的积分顺序。2.如被积函数为如被积函数为圆环域时圆环域时,或积分域为或积分域为 圆域、扇形域、圆域、扇形域、则则先先将之化为极坐标中的重积分，将之化为极坐标中的重积分，再再分析积分区域，化为累次积分。分析积分区域，化为累次积分。