第二节二重积分的计算法.ppt

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1、第二节二重积分的计算法现在学习的是第1页，共39页【复习与回顾】【复习与回顾】(2)回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积元素体积为体积为在点在点x处的平行截面的面积为处的平行截面的面积为(1)上节思考题上节思考题代替代替？不能用不能用现在学习的是第2页，共39页其中函数其中函数、在区间在区间上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型域型域【X型区域的特点】型区域的特点】穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界

2、相交不多于两个交点.1.【预备知识】【预备知识】现在学习的是第3页，共39页(2)Y型域型域【Y型区域的特点】型区域的特点】穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.现在学习的是第4页，共39页(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域如图如图在分割后的三个区域上分别都是在分割后的三个区域上分别都是X型域型域(或或Y型域型域)则必须分割则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得现在学习的是第5页，共39页(1).若积分区域为若积分区域为X型域：型域：2.【二重积分公式推导】【二重积分公式推导】【方法】

3、【方法】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平行平行截面面积为已知的立体求体积截面面积为已知的立体求体积”的方法来求的方法来求.现在学习的是第6页，共39页即得即得公式公式1现在学习的是第7页，共39页3.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程；根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。公式公式2现在学习的是第8页，共39页【说明】【说明】(1)使用公式使用公式1必须是必须是X型域，型域

4、，公式公式2必须是必须是(2)若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域,为计算方便为计算方便,可可选择积分次序选择积分次序,必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序.则有则有(3)若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域.Y型域型域.现在学习的是第9页，共39页4.【例题部分例题部分】【例【例1】【解【解】看作看作X型域型域12oxy y=xy=1Dx现在学习的是第10页，共39页【解【解】看作看作Y型域型域12oxyx=yx=2Dy12现在学习的是第11页，共39页【例【例2】【解】【解】D既是既是X型域又是型域又是

5、Y型域型域法法11 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy y现在学习的是第12页，共39页法法2注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用法的积分较繁，故应用法1 1较方便较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！现在学习的是第13页，共39页【例【例3】【解】【解】D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交点先求交点现在学习的是第14页，共39页法法1法法2视为视为X型域型域计算较繁计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！现在学习的是第15页，共39页【小结】【小结】以上三例说明

6、，在化二重积分为二次积以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积的形状，又要考虑被积函数的特性函数的特性(易积易积)现在学习的是第16页，共39页5.【简单应用】【简单应用】【例【例4】求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的的直交圆柱面所围成的立体的体积体积V.【解】【解】设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为现在学习的是第17页，共39页【例

7、【例5】【解】【解】据二重积分的性质据二重积分的性质4（几何意义）（几何意义）交点交点现在学习的是第18页，共39页6.【补充】【补充】改变二次积分的积分次序例题改变二次积分的积分次序例题【补例【补例1 1】交换下列积分顺序交换下列积分顺序【解】【解】积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域,则则现在学习的是第19页，共39页【解】【解】现在学习的是第20页，共39页【补【补例例3】【解】【解】当被积函数中有绝对值时，要考虑当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。积分域中不同范围脱去绝对值符号。分析分析现在学习的是第21页，共39页二、极坐标系下二重积

8、分的计算二、极坐标系下二重积分的计算现在学习的是第22页，共39页从而得极坐标系下的面积元素为从而得极坐标系下的面积元素为又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，故在极坐标下，二重积分化为故在极坐标下，二重积分化为现在学习的是第23页，共39页则则二重积分极坐标二重积分极坐标表达表达式式【注意】【注意】极坐标系下的面积元素为极坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为区别区别现在学习的是第24页，共39页2.二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图（1）极点极点O在区域在区域D的边界曲线之外时的边界曲

9、线之外时现在学习的是第25页，共39页若区域特征如图若区域特征如图特别地特别地现在学习的是第26页，共39页（2）极点极点O恰在区域恰在区域D的边界曲线之上时的边界曲线之上时区域特征如图区域特征如图（1）的特例的特例现在学习的是第27页，共39页3.极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积区域特征如图区域特征如图（3）极点极点O在区域在区域D的边界曲线之内时的边界曲线之内时（2）的特例的特例现在学习的是第28页，共39页【解】【解】现在学习的是第29页，共39页【解】【解】xyo的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法故本题无法【注】【注】1.由于由于用直角坐标计算用直角坐标计算.

10、现在学习的是第30页，共39页【注注】2.利用利用例例2可得到一个在概率论与数理统计中可得到一个在概率论与数理统计中以及工程上非常有用的以及工程上非常有用的反常反常积分公式积分公式事实上事实上,当当D 为为 R2 时时,利用利用例例2的结果的结果,得得故故式成立式成立.现在学习的是第31页，共39页【解解】现在学习的是第32页，共39页二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）三、小结三、小结Y型型X型型【练习】课本【练习】课本P95习题习题9-2现在学习的是第33页，共39页【思考题】【思考题】【提示】【提示】交换积分顺序后交换积分顺序后,x,y互换互换现在学习的是第34页，共39页【思考题解答】【思考题解答】现在学习的是第35页，共39页现在学习的是第36页，共39页二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）现在学习的是第37页，共39页【思考题】【思考题】即即现在学习的是第38页，共39页【思考题解答】【思考题解答】现在学习的是第39页，共39页