第二节二重积分的计算.ppt

《第二节二重积分的计算.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二节二重积分的计算.ppt（81页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二节二重积分的计算现在学习的是第1页，共81页一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体：曲顶柱体：现在学习的是第2页，共81页柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积现在学习的是第3页，共81页演示文稿演示文稿1.ppt播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求分割、近似、求和、取极限和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示现在学习的是第4页，共81页步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱

2、体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积现在学习的是第5页，共81页2。直角坐标系下的积分微元我们利用直角坐我们利用直角坐标网分割标网分割D D让分割充分细，取让分割充分细，取D D的被坐标网割出的一的被坐标网割出的一个典型子区域个典型子区域，设它是如图的矩形，设它是如图的矩形，其面积为其面积为现在学习的是第6页，共81页 先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值次定积分求得二重积分的值.现在学习的是第7页，共81页如果积分区域如果积分区域 D 可

3、表示为：可表示为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分1、x型区域型区域则则 D 称为称为 x型型 区域区域.x型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相轴的直线与区域边界相交不多于两个交点交不多于两个交点.现在学习的是第8页，共81页设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为任取任取平面平面故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为截面积为截面积为截柱体的截柱体的曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算现在学习的是第9页，共81页如果积分区域如果积分区域 D 可表示为：可表示为：其中函数其中函数 、在区间在

4、区间 上连续上连续.2、y型区域型区域则则 D 称为称为 y型型 区域区域.y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界轴的直线与区域边界相交不多于两个交点相交不多于两个交点.现在学习的是第10页，共81页同样同样,曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算现在学习的是第11页，共81页例例1 1解解 将将 D 看作看作 x 型区域型区域,则则D=(x,y)|0 y x，0 x 1 ,现在学习的是第12页，共81页例例1 1解解 将将 D 看作看作 y 型区域型区域,则则D=(x,y)|y x 1，0 y 1 ,现在

5、学习的是第13页，共81页如果积分区域如果积分区域 D 可表示为可表示为 x型型 区域又可表示为区域又可表示为 y型型 区域区域，且，且 f(x,y)在在D 上连续，则有：上连续，则有：为计算方便为计算方便,可可选择积分次序选择积分次序,采用哪一种次序积分采用哪一种次序积分通常取决于被积函数的结构通常取决于被积函数的结构.必要时还可以必要时还可以交换积分次序交换积分次序.现在学习的是第14页，共81页解解 将将 D 看作看作 y 型区域型区域,则则D=(x,y)|y x 1，0 y 1 ,现在学习的是第15页，共81页现在学习的是第16页，共81页3、一般情形、一般情形如果积分区域如果积分区域

6、 D 不是不是 x型型 区域也不是区域也不是 y型型 区域区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割为若干个分割为若干个x型型或或y型型区域，在每个小区域上计算二重积分，在各个区域，在每个小区域上计算二重积分，在各个小区域上的积分之和就是小区域上的积分之和就是D 上的二重积分上的二重积分.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.现在学习的是第17页，共81页计算二重积分的几点说明：计算二重积分的几点说明：1)化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、化二重积分为二次积分的关键是：

7、确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域下限，而二次积分中的上、下限又是由区域 D 的几何形的几何形状确定的，因此计算二重积分应先状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域画出积分区域 D 的的图形图形.2)第一次积分的上、下限是第一次积分的上、下限是函数或常数函数或常数，而第二次积，而第二次积分中的上、下限一定是分中的上、下限一定是常数常数，且下限要小于上限，且下限要小于上限.3)积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单区域的划分要尽量地简单.现在学习的是第18页，共81页解解将将 D 看作看作 y 型区域

8、型区域,则则两曲线两曲线的交点的交点现在学习的是第19页，共81页例例4 4解解 将将 D 看作看作 x 型区域型区域,则则现在学习的是第20页，共81页解解注意：正确选择积分次序相当重要注意：正确选择积分次序相当重要.现在学习的是第21页，共81页解解积分区域如图积分区域如图如何变换积分次序：将给定的二次积分化为二重积如何变换积分次序：将给定的二次积分化为二重积分，然后再将二重积分化为另一个次序的二次积分分，然后再将二重积分化为另一个次序的二次积分.如何变换积分次序：根据所给积分写出如何变换积分次序：根据所给积分写出 D 的边界曲线，的边界曲线，再写出另一个区域表示式，即可写出另一个次序的再

9、写出另一个区域表示式，即可写出另一个次序的二次积分二次积分.现在学习的是第22页，共81页解解积分区域如图积分区域如图现在学习的是第23页，共81页解解原式原式现在学习的是第24页，共81页解解:积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为y 型区域型区域,则则练习：练习：交换下列积分顺序交换下列积分顺序现在学习的是第25页，共81页解解说明说明:有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序还需交换积分顺序.现在学习的是第26页，共81页解解说明说明:有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序还需交换积分顺序.现在学习的是第27页，共81页 当二

10、重积分的被积函数中含有绝对值函数、当二重积分的被积函数中含有绝对值函数、取大或取小函数取大或取小函数(max 或或 min)等特殊函数时，如等特殊函数时，如何计算二重积分的值？何计算二重积分的值？一般是将积分区域适当分块，使被积函数一般是将积分区域适当分块，使被积函数在各子块上都表示为初等函数形式，然后分别在各子块上都表示为初等函数形式，然后分别计算计算.现在学习的是第28页，共81页例例1010解解先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图现在学习的是第29页，共81页现在学习的是第30页，共81页小结：用直角坐标小结：用直角坐标计算二重积分计算二重积分x型型y型型确定积分次序时要注意确定

11、积分次序时要注意:1 1、考虑积分区域的特点，分块越少越好、考虑积分区域的特点，分块越少越好.2 2、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积出，、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积出，并能为第二次积分的计算创造有利条件并能为第二次积分的计算创造有利条件.现在学习的是第31页，共81页利用积分域和被积函数的对称性利用积分域和被积函数的对称性 计算二重积分计算二重积分现在学习的是第32页，共81页现在学习的是第33页，共81页现在学习的是第34页，共81页现在学习的是第35页，共81页A现在学习的是第36页，共81页现在学习的是第37页，共81页一、重积分的换元积分法 定理1：设f（x，y）在

12、有界闭区域D连续，在D上具有一阶连续偏导数的函数把把D映射为映射为uv平面的区域平面的区域D，其逆变换记成，其逆变换记成又设又设 行列式行列式 则则现在学习的是第39页，共81页例例1 f(x，y)在闭区域在闭区域Dxy连续，则极坐标变换连续，则极坐标变换它把它把 变成变成 ，行列式行列式故故现在学习的是第40页，共81页三、利用极坐标系计算二重积分三、利用极坐标系计算二重积分现在学习的是第41页，共81页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）1、极点、极点O在在D的外部的外部区域特征如图区域特征如图现在学习的是第42页，共81页区域特征如图区域特征如图现在学习的是第43

13、页，共81页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图2、极点、极点O在在D的边界上的边界上现在学习的是第44页，共81页极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图3、极点、极点O在在D的内部的内部现在学习的是第45页，共81页思考思考:下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x,y 轴相切于原点轴相切于原点,试问试问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(1)(2)(2)现在学习的是第46页，共81页现在学习的是第47页，共81页现在学习的是第48页，共81页法

14、二法二:积分区域关于积分区域关于 x 轴对称轴对称,现在学习的是第49页，共81页解解现在学习的是第50页，共81页解解现在学习的是第51页，共81页解解现在学习的是第52页，共81页解解现在学习的是第53页，共81页解解由于由于 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法用故本题无法用直角坐标计算直角坐标计算.现在学习的是第54页，共81页解解利用例利用例7 7可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式现在学习的是第55页，共81页同理同理 现在学习的是第56页，共81页现在学习的是第57页，共81页解解现在

15、学习的是第58页，共81页现在学习的是第59页，共81页二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）三、小结三、小结y型型x型型（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）现在学习的是第60页，共81页二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）现在学习的是第61页，共81页计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分次序确定积分次序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便积分域分块要少积分域分块要少累次

16、积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式(可利用对称性可利用对称性)现在学习的是第63页，共81页三、二重积分的应用三、二重积分的应用曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为：2求非均匀薄片的质量求非均匀薄片的质量现在学习的是第65页，共81页利用二重积分可以计算空间立体的体积利用二重积分可以计算空间立体的体积.例例1 1 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为现在学习的是第66页，共81页则所求体积为则所求体积为现在学习

17、的是第67页，共81页被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的解解:设设由对称性可知由对称性可知例例2 求球体求球体(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积.现在学习的是第68页，共81页思考题思考题1现在学习的是第69页，共81页思考题解答思考题解答现在学习的是第70页，共81页现在学习的是第71页，共81页思考题思考题2现在学习的是第72页，共81页思考题解答思考题解答现在学习的是第73页，共81页练练 习习 题题现在学习的是第74页，共81页现在学习的是第75页，共81页现在学习的是第76页，共81页现在学习的是第77页，共81页练习题答案练习题答案现在学习的是第78页，共81页现在学习的是第79页，共81页练练 习习 题题现在学习的是第80页，共81页现在学习的是第81页，共81页