第二节二重积分的计算法课件.ppt

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1、第二节二重积分的计算法第1页，此课件共39页哦【复习与回顾】【复习与回顾】(2)回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积元素体积为体积为在点在点x处的平行截面的面积为处的平行截面的面积为(1)上节思考题上节思考题代替代替？不能用不能用第2页，此课件共39页哦其中函数其中函数、在区间在区间上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型域型域【X型区域的特点】型区域的特点】穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多

2、于两个交点.1.【预备知识】【预备知识】第3页，此课件共39页哦(2)Y型域型域【Y型区域的特点】型区域的特点】穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.第4页，此课件共39页哦(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域如图如图在分割后的三个区域上分别都是在分割后的三个区域上分别都是X型域型域(或或Y型域型域)则必须分割则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得第5页，此课件共39页哦(1).若积分区域为若积分区域为X型域：型域：2.【二重积分公式推导】【二重积分公式推导】【方法】【方法】根据二重积分

3、的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平行截平行截面面积为已知的立体求体积面面积为已知的立体求体积”的方法来求的方法来求.第6页，此课件共39页哦即得即得公式公式1第7页，此课件共39页哦3.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程；根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。公式公式2第8页，此课件共39页哦【说明】【说明】(1)使用公式使用公式1必须是必须是X型域，型域，公式公式2必须是必须是(2)若

4、积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域,为计算方便为计算方便,可可选择积分次序选择积分次序,必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序.则有则有(3)若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域.Y型域型域.第9页，此课件共39页哦4.【例题部分例题部分】【例【例1】【解【解】看作看作X型域型域12oxy y=xy=1Dx第10页，此课件共39页哦【解【解】看作看作Y型域型域12oxyx=yx=2Dy12第11页，此课件共39页哦【例【例2】【解】【解】D既是既是X型域又是型域又是Y型域型域法法11 11 11 1x xo

5、oy=xy=xD Dx xy y第12页，此课件共39页哦法法2注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用法的积分较繁，故应用法1 1较方便较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！第13页，此课件共39页哦【例【例3】【解】【解】D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交点先求交点第14页，此课件共39页哦法法1法法2视为视为X型域型域计算较繁计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！第15页，此课件共39页哦【小结】【小结】以上三例说明，在化二重积分为二次积分以上三例说明，在化二重积分为二次积分

6、时，为简便见需恰当选择积分次序；既要时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的形状，又要考虑被积函数的特性的特性(易积易积)第16页，此课件共39页哦5.【简单应用】【简单应用】【例【例4】求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体的直交圆柱面所围成的立体的体积积V.【解】【解】设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为第17页，此课件共39页哦【例【例5】【解】【解】据二重积分的性质据二重积分的性质4（几何意义）（

7、几何意义）交点交点第18页，此课件共39页哦6.【补充】【补充】改变二次积分的积分次序例题改变二次积分的积分次序例题【补例【补例1 1】交换下列积分顺序交换下列积分顺序【解】【解】积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域,则则第19页，此课件共39页哦【解】【解】第20页，此课件共39页哦【补【补例例3】【解】【解】当被积函数中有绝对值时，要考虑当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。积分域中不同范围脱去绝对值符号。分析分析第21页，此课件共39页哦二、极坐标系下二重积分的计算二、极坐标系下二重积分的计算第22页，此课件共39页哦从而得极坐标系下的面积

8、元素为从而得极坐标系下的面积元素为又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，故在极坐标下，二重积分化为故在极坐标下，二重积分化为第23页，此课件共39页哦则则二重积分极坐标二重积分极坐标表达表达式式【注意】【注意】极坐标系下的面积元素为极坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为区别区别第24页，此课件共39页哦2.二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图（1）极点极点O在区域在区域D的边界曲线之外时的边界曲线之外时第25页，此课件共39页哦若区域特征如图若区域特征如图特别地特别地第26页，此课件共39

9、页哦（2）极点极点O恰在区域恰在区域D的边界曲线之上时的边界曲线之上时区域特征如图区域特征如图（1）的特例的特例第27页，此课件共39页哦3.极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积区域特征如图区域特征如图（3）极点极点O在区域在区域D的边界曲线之内时的边界曲线之内时（2）的特例的特例第28页，此课件共39页哦【解】【解】第29页，此课件共39页哦【解】【解】xyo的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法故本题无法【注】【注】1.由于由于用直角坐标计算用直角坐标计算.第30页，此课件共39页哦【注注】2.利用利用例例2可得到一个在概率论与数理统计中可得到一个在概率论与数理统计中以及

10、工程上非常有用的以及工程上非常有用的反常反常积分公式积分公式事实上事实上,当当D 为为 R2 时时,利用利用例例2的结果的结果,得得故故式成立式成立.第31页，此课件共39页哦【解解】第32页，此课件共39页哦二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）三、小结三、小结Y型型X型型【练习】课本【练习】课本P95习题习题9-2第33页，此课件共39页哦【思考题】【思考题】【提示】【提示】交换积分顺序后交换积分顺序后,x,y互换互换第34页，此课件共39页哦【思考题解答】【思考题解答】第35页，此课件共39页哦第36页，此课件共39页哦二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）第37页，此课件共39页哦【思考题】【思考题】即即第38页，此课件共39页哦【思考题解答】【思考题解答】第39页，此课件共39页哦