河南高考理科数学试题.pdf

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1、20152015 年河南高考理科数学试题年河南高考理科数学试题20152015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学注意事项：注意事项：1.1.本试卷分第卷本试卷分第卷(选择题选择题)和第卷和第卷(非选择题非选择题)两部两部分分.第卷第卷 1 1 至至 3 3 页，第卷页，第卷 3 3 至至 5 5 页页.2.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置本试题相应的位置.3.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.4.考试结束后，将本试题和答

2、题卡一并交回考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷第卷一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的.1+z（1 1）设复数设复数 z z 满足满足i i，则，则|z z|1 z(A A)1)1(B B)2(C C)3(D D)2)2(2)(2)sinsin2020coscos1010concon160160sinsin1010(A A)1133(B B)(C C)(D D)2222(3)(3)设命题设命题 P P：n nN N，n2 2n，则，

3、则P P 为为(A A)n nN N，n2 2n(B B)n nN N，n22n(C C)n nN N，n22n(D D)n nN N，n22n(4 4)投篮测试中，每人投投篮测试中，每人投 3 3 次，至少投中次，至少投中 2 2 次才能通过测试次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的已知某同学每次投篮投中的概率为概率为 0 0.6 6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A A)0 0.648648(B B)0 0.432432(C C)0 0.3636(D D)0 0.312312x2(5 5)已知已知 MM(x x

4、0 0，y y0 0)是双曲线是双曲线 C C：y2 1上的一点，上的一点，F F1 1、F F2 2是是 C C 上的两个焦点，若上的两个焦点，若2MF1MF20 0，则，则 y y0 0的取值范围是的取值范围是(A A)()(33，)33(B B)()(33，)66(C C)()(2 32 32 22 2，)(D D)()(，)3333(6)(6)九章算术九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题书中有如下问题:“今有委米依垣内角，今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺下周八尺，高五尺.问问:积及为米几何积及为米几何?”其意思为”其意思为:“在

5、屋内墙角处堆放米“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个如图，米堆为一个圆锥的四分之一圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为，米堆底部的弧度为8 8 尺，米堆的高为尺，米堆的高为5 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少多少?”已知”已知 1 1 斛米的体积约为斛米的体积约为 1.621.62 立方尺，圆周率约为立方尺，圆周率约为 3 3，估算出堆放斛的米约有，估算出堆放斛的米约有(A A)14)14 斛斛(B B)22)22 斛斛(C C)36)36 斛斛(D D)66)66 斛斛(7)(7)设设 D D 为为 ABCABC 所在平面内一点所在平面内一点BC 3CD，

6、则，则4AB AC(B B)(A A)AD 133(C C)AD 41AB AC33AD(D D)14AB AC3341AD AB AC33(8 8)函数函数 f f(x x)(A A)()(C C)()()，k k)，k k的部分图像如图所示，则的部分图像如图所示，则 f f(x x)的单调递减区间为的单调递减区间为 (b b)()(D D)()()，k k)，k k(9)(9)执行右面的程序框图，如果输入的执行右面的程序框图，如果输入的 t t0.010.01，则输出的，则输出的 n n(A A)5)5(B B)6)6(C C)7)7(D D)8)82（1010）(x2 2(A A)10)

7、10(B B)20)20(C C)30)30r r(D D)60)60r r正视正视（1111）圆柱被一个平面截去一部分后与半球）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为半径为 r r)r r图图组成一个几何体，组成一个几何体，2 2（1212）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.r r若该几何体的若该几何体的俯视俯视（1313）表面积为）表面积为 1616 2020，则，则 r r图图(A A)1)1(B B)2)2(C C)4)4(D D)8)81212.设函数设函数 f f(x x)e ex x(2 2x x1 1)axaxa a，其中，其

8、中 a a 1 1，若存在唯一的，若存在唯一的整数整数 x x0 0，使得，使得 f f(x x0 0)0 0，则，则 a a 的取值范围是的取值范围是()()x y)5的展开式中，的展开式中，x y的系数为的系数为52A A.333333，1 1)B B.,)C C.,)D D.，1 1)2e 42e 42e2e第第 II II 卷卷本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第(1313)题题 第第(2121)题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第(2222)题题 第第(2424)题未选考题，考生根据要求作答题未选考题，考生根据要求作答.

9、二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分(1313)若函数若函数 f f(x x)xlnxln(x xa x2)为偶函数，则为偶函数，则 a a(1414)一个圆经过椭圆一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在的三个顶点，且圆心在 x x 轴上，则该圆的标准方程为轴上，则该圆的标准方程为 .x1 0y(1515)若若 x x，y y 满足约束条件满足约束条件x y 0，则，则的最大值为的最大值为 .xx y 4 0(1616)在平面四边形在平面四边形 ABCDABCD 中，中，A AB BC C7575，BCBC2 2，则则 ABAB 的取值范围是的取

10、值范围是 .三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(1717)()(本小题满分本小题满分 1212 分分)S Sn n为数列为数列 a an n 的前的前 n n 项和项和.已知已知 a an n 0 0，()求求 a an n 的通项公式：的通项公式：()设设，求数列，求数列 的前的前 n n 项和项和(1818)如图，四边形如图，四边形 ABCDABCD 为菱形，为菱形，ABCABC120120，E E，F F 是平面是平面 ABCDABCD 同一侧的两点，同一侧的两点，BEBE平面平面 ABCDABCD，DFDF平面平面 AB

11、CDABCD，BEBE2 2DFDF，AEAEECEC.(1 1)证明：平面证明：平面 AECAEC平面平面 AFCAFC(2 2)求直线求直线 AEAE 与直线与直线 CFCF 所成角的余弦值所成角的余弦值(1919)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x x(单位：千元单位：千元)对年销对年销售量售量 y y(单位：单位：t t)和年利润和年利润 z z(单位：千元单位：千元)的影响，的影响，对近对近 8 8 年的年宣传费年的年宣传费 x xi i和年销售量和年销售量 y yi i(i i1 1，2 2，8 8)

12、数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.E EF FD DA AB BC C年年销销售售量量/t t年宣传费年宣传费(千元千元)xyw(x x1 1x11(w w1 1x11(x x1 1x11(w w1 1x11x)2 2w)1.61.61x12 2x)()(y yy)14691469w)()(y yy)108.8108.846.646.6 56.356.3 6.86.8289.8289.8表中表中 w w1 1()x1 1，ww118根据散点图判断，根据散点图判断，y ya abxbx 与与 y yc cd dx哪一个适宜哪一个

13、适宜作为年销售量作为年销售量y y关于年宣传费关于年宣传费x x的回归方程类型？的回归方程类型？(给给出判断即可，不必说明理由出判断即可，不必说明理由)()根据根据()的判断结果及表中数据，建立的判断结果及表中数据，建立 y y 关于关于 x x 的回归方程；的回归方程；()以知这种产品的年利率以知这种产品的年利率 z z 与与 x x、y y 的关系为的关系为 z z0 0.2 2y yx x.根据根据()的结果回答下列问题：的结果回答下列问题：（i i）年宣传费年宣传费 x x4949 时，年销售量及年利润的预报值是多少？时，年销售量及年利润的预报值是多少？（iiii）年宣传费年宣传费 x

14、 x 为何值时，年利率的预报值最大？为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据附：对于一组数据(u u1 1v v1 1)，(u u2 2v v2 2).(.(u un nv vn n)，其回归线，其回归线 v vu u 的斜率和截的斜率和截距的最小二乘估计分别为：距的最小二乘估计分别为：(u u)(v v)iii1n(u u)ii1n,vu2(2020)()(本小题满分本小题满分 1212 分分)x2在直角坐标系在直角坐标系 xoyxoy 中，曲线中，曲线 C C：y y与直线与直线 y ykxkxa a(a a 0 0)交于交于 MM，N N 两点，两点，4()当当 k k0 0 时，

15、分别求时，分别求 C C 在点在点 MM 和和 N N 处的切线方程；处的切线方程；()y y 轴上是否存在点轴上是否存在点 P P，使得当，使得当 k k 变动时，总有变动时，总有OPMOPMOPNOPN？说明理由？说明理由.(2121)()(本小题满分本小题满分 1212 分分)1已知函数已知函数 f f(x x)x3 ax,g(x)ln x4()当当 a a 为何值时，为何值时，x x 轴为曲线轴为曲线y f(x)的切线；的切线；()用用minm,n表示表示 m m，n n 中的最小值，中的最小值，设函数设函数h(x)minf(x),g(x)讨论讨论 h h(x x)(x 0)，零点的个

16、数零点的个数请考生在请考生在(22)(22)、(23)(23)、(24)(24)三题中任选一题作答三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用做第一个题目计分，做答时，请用 2 2B B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(22)(本题满分本题满分 1010 分分)选修选修 4 41 1：几何证明选讲：几何证明选讲如图，如图，ABAB 是是O O 的直径，的直径，ACAC 是是O O 的切线，的切线，BCBC 交交O O 于点于点 E EC CE ED D（I

17、 I）若若 D D 为为 ACAC 的中点，证明：的中点，证明：DEDE 是是O O 的切线；的切线；（IIII）若若 OAOA3CECE，求，求ACBACB 的大小的大小.A AO OB B(23)(23)(本小题满分本小题满分 1010 分分)选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程在直角坐标系在直角坐标系 xOyxOy 中中.直线直线C1:x x2 2，圆，圆C2：(x x1)1)2 2(y y2)2)2 21 1，以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x x轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I I）求求C1，C2的极坐标方程；的极坐标方程；（I

18、III）若直线若直线C3的极坐标方程为的极坐标方程为的面积的面积4R，设，设C2与与C3的交点为的交点为M，N，求，求C C2 2MNMN(24)(24)(本小题满分本小题满分 1010 分分)选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲已知函数已知函数|x x1|1|2|2|x xa a|，a a0.0.()当当 a a1 1 时，求不等式时，求不等式f f(x x)1)1 的解集；的解集；()若若 f f(x x)的图像与的图像与 x x 轴围成的三角形面积大于轴围成的三角形面积大于 6 6，求，求 a a 的取值范围的取值范围a2n2an 4Sn320152015 年普通高等学校招生全

19、国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案理科数学试题答案选择题答案选择题答案一、一、选择题选择题（1 1）A A（2 2）D D（3 3）C C（4 4）A A（5 5）A A（6 6）B B（7 7）A A（8 8）D D（9 9）C C（1010）C C（1111）B B（1212）D DA A、B B 卷非选择题答案卷非选择题答案二、填空题二、填空题325（1313）1 1（1414）(x)2 y2（1616）24（1515）3 3二、二、解答题解答题（1717）解：）解：22（I I）由）由an2an 4Sn3，可知，可知an12an1 4Sn13.22可得可得ana1

20、n2(an1a)4an1即即222(an1an)an1an(an1a)(an1a)由于由于an 0可得可得an1an 2.又又a122a1 4a13，解得，解得a1 1(舍去)，a13所以所以an是首相为是首相为 3 3，公差为，公差为 2 2 的等差数列，通项公式为的等差数列，通项公式为an 2n1.（II II）由）由an 2n1bn11111().ana1(2n1)(2n3)2 2n12n3设数列设数列bn的前的前 n n 项和为项和为Tn，则，则Tnb1b2bn(11)()2n12n31 1111()()23557n.3(2n3)（1818）解：）解：（I I）连结）连结 BDBD，设

21、，设 BDBDAC=GAC=G，连结，连结 EGEG，FGFG，EF.EF.在菱形在菱形 ABCDABCD 中不妨设中不妨设 GB=1.GB=1.由由ABC=120ABC=120，可得可得 AG=GC=AG=GC=3.由由BEBE平面平面 ABCD,AB=BCABCD,AB=BC可知可知 AE=EC.AE=EC.又又 AEAEECEC，所以，所以 EG=EG=3，且，且 EGEGAC.AC.在在 RtRtEBGEBG 中，中，可得可得 BE=BE=2故故 DF=DF=26.在在 RtRtFDGFDG 中，可得中，可得 FG=FG=.222，2在直角梯形在直角梯形 BDFEBDFE 中，由中，由

22、 BD=2BD=2，BE=BE=2，DF=DF=可得可得 FE=FE=又又AC3 2.从而从而EG2 FG2 EF2,所以EG FG2FG G,可得EG 平面AFC.因为因为EG 平面AEC所以平面所以平面AEC 平面AFC（IIIIII）如图，以如图，以 G G 为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以 GBGB，GCGC 的方向为的方向为 x x 轴，轴，y y 轴正方向，轴正方向，GB为单位长，建立空间直角坐标系为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz.G-xyz.2由（由（I I）可得）可得A(0，3,0),E(1，0，2),F(1，0，),C(0，3,0)所以所以2AE (1，3 2),

23、CF (1，3,AECF32).故故cos AE,CF .23AECF3.3所以直线所以直线 AEAE 与直线与直线 CFCF 所成直角的余弦值为所成直角的余弦值为（1919）解：）解：（I I）由散点图可以判断，）由散点图可以判断，y cdx适宜作为年销售适宜作为年销售量量型型2 2 分分（II II）令）令wx，先建立，先建立 y y 关于关于 w w 的线性回归方程。的线性回归方程。由于由于dy y关关 于于 年年 宣宣 传传 费费x x的的 回回 归归 方方 程程 类类。(w w)(y y)iii1n(w w)ii1n2108.8 681.6。方方程程为为。563686.8100.6

24、y dwc 100.668w，所以所以 y y 关于关于 w w 的线性回归方程为的线性回归方程为y因此因此 y y 关于关于x x的的回回归归 100.668 xy6 6 分分（IIIIII）（i i）由（）由（II II）知，当）知，当 x=49x=49 时，年销售量时，年销售量 y y的预报值的预报值 100.668 49 576.6y年利润年利润 z z 的预报值的预报值 576.60.249 66.32z。9 9 分分（ii ii）根据（）根据（II II）的结果知，年利润）的结果知，年利润 z z 的预报值的预报值 0.2(100.668 x)x x13.6 x 20.12z所以当

25、所以当值值故年宣传费为故年宣传费为 46.2446.24 千元时，千元时，年利润的预报值年利润的预报值最大。最大。1212 分分（2020）解：）解：xx2（I I）有题设可得）有题设可得M(2 a,a),N(2 a,a),或M（-2 a,a）.又又y=，故y 在x 2 a24x 13.6 6.82，即，即 x=46.24x=46.24 时，时，z 取得最大取得最大处处 的的 导导 数数 值值 为为a，C C在在 点点(2 a,a)出出 的的 切切 线线 方方 程程 为为ya a(x2 a),即 ax ya 0 x2y 在x 2 a，即，即ax ya 0.4股所求切线方程为股所求切线方程为ax

26、 ya 0和 ax ya 0（IIIIII）存在符合题意的点，证明如下：存在符合题意的点，证明如下：设设 P(0P(0，b)b)为符合题意的点，为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)M(x,y),N(x,y)直线直线 PMPM，PNPN 的斜率分别为的斜率分别为k1,k2y kxa代入C的方程得x24kx4a 0.故故x1 x2 4k,x1x2 4a.从而从而kxa代入C的方程得x24kx4a 0.故x1 x2 4k,x1x2 4a.从而k1k2 y1by2bx1x22kx1x2(ab)(x1 x2)x1x2k(a b)a当当 b=-ab=-a 时，有时，有k1k2 0,则直线PM的倾角与

27、直线PN的倾角互补，故OPM=OPN，所以点P(0,-a)符合题意（2121）解：）解：(x0,0)则f(x0)0,f(x0)0即13x0ax0 0（I I）设曲线）设曲线 y=f(x)y=f(x)与与 x x 轴相切于点轴相切于点423x a 0013解得x0,a 243因此，当因此，当a 时，x轴为曲线y f(x)的切线4（II II）当）当x(1,)时，g(x)1nx0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,)无零点55当x 1时，若a 则f(1)a 0,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x 445是是h(x)的零点；若a ,则f(1)0,h(1

28、)=minf(1),g(1)f(1)0,故x 1不是h(x的的 零零 点点4当x(0,1)时，g(x)1nx 0.所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数（i）若a -3或a 0,则f（x）=3x2+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调15f(0),f(1)a,所以当a -3时，f(x)在（0,1）有一个零点；当a 0时f(x)在（1,0）没有零点44aa(ii)若3 a 0,则f(x)在（0，)单调递减，在（,1）单调递增，故在（0,1）中33a2aa1当x a时，f(x)取得最小值，最小值为f()33334a3若f()0.即 a 0,f(x)在（0,1）无零点；34a3若f(

29、)=0,即a=-则f(x)在(0,1)有唯一零点34a3153若f()0,即3 a ,由于f(0),f(1)a a 344445时，f(x)在（0,1）有两个零点；当-3a -时，f(x)在(0,1)有一个零点.4综上，当综上，当3535a 或a-时，h(x)有一个零点；当a 或a 时，h(x)有两个零点444453当 a 时，h(x)有三个零点.44（2222）解：）解：（I I）链接）链接 AEAE，由已知得，由已知得，AE BC AC AB在在RtAEC中，由已知得，中，由已知得，DE=DCDE=DC 故故DEC DCE链接链接 OEOE，则，则OBE=OBE=OEBOEB 又又ACB+

30、ACB+ABC=90ABC=90所以所以DEC+DEC+OEB=90OEB=90o故故OED 90，DEDE 是是O得切线得切线12x24（II II）设）设 CE=1CE=1，AE=XAE=X，由已知得，由已知得AB 2 3，BE 由摄影定理可得，由摄影定理可得，AE=CE.BEAE=CE.BE，所以，所以x可得可得x 3，所以，所以ACB 60o2 12x2即即x x212 0（2323）解：）解：（I I）因为）因为x cos，y sin，所以，所以C的极坐标方程为的极坐标方程为1cos 2，C2的的极极坐坐标标方方程程为为22cos4sin4 0。，得得，5 5 分分（II II）将将

31、代入代入4解得解得 2 2，1222cos4sin4 023 24 02C2。故。故122，即，即MN 2。C2MN由由 于于12的的 半半 径径 为为 1 1，所所 以以的的 面面 积积 为为。1010 分分（2424）解：）解：（I I）当）当a 1时，时，fx1化为化为x1 2 x1 1 0，当当x 1时，不等式化为时，不等式化为x 4 0，无解；，无解；x 1；当当1 x 1时，不等式化为时，不等式化为3x 2 0，解得，解得23当当x 1时，不等式化为时，不等式化为x 2 0，解得，解得1 x 2。所所2x x 23以以fx1的的解解集集为为。5 5 分分（II II）由题设可得，）由题设可得，x12a,x 1,fx3x12a,1 x a,x12a,x a,所以函数所以函数fx的图像与的图像与 x x 轴围成的三角形的三个轴围成的三角形的三个22a1ABC顶点分别为顶点分别为A，的面积为的面积为,0B 2a1,0C a,a1a1。332由题设得由题设得2a12 6，故，故a 2。3所所以以a a的的取取2,1010 分分值值范范围围为为