全国高考理科数学试题.pdf

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1、1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)总分值120分 一、选择题：本大题共15小题；每题3分，共45分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的把所选项前的字母填在题后括号内(1)sin=54，并且是第二象限的角，那么tg的值等于()(A)34(B)43(C)43(D)34(2)焦点在(1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是()(A)y2=8(x+1)(B)y2=8(x+1)(C)y2=8(x1)(D)y2=8(x1)(3)函数y=cos4xsin4x的最小正周期是()(A)2(B)(C)2(D)4(4)如果把两条异面

2、直线看成“一对，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有()(A)12 对(B)24 对(C)36 对(D)48 对(5)函数y=sin(2x+25)的图像的一条对称轴的方程是()(A)x=2(B)x=4(C)8x(D)45x(6)如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心(7)an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于()(A)5(B)10(C)15(D)20(8)如果圆锥曲线的极坐标方程为=cos3516，那么它的焦点的

3、极坐标为()(A)0，0，6，(B)(3，0)，(3，0)(C)0，0，3，0(D)(0，0)，(6，0)(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，那么不同的取法共有()(A)140 种(B)84 种(C)70 种(D)35 种(10)如果AC0且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(11)设甲、乙、丙是三个命题如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()(A)丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)丙

4、不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12)511)(411)(311(limnn(121n)的值等于()(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间7，3上是()(A)增函数且最小值为5(B)增函数且最大值为5(C)减函数且最小值为5(D)减函数且最大值为5(14)圆x2+2x+y2+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个(15)设全集为R，f(x)=sinx，g(x)=cosx，M=x|f(x)0，N=x|g(x)0，那么集合 x|f(x)g(x)=0等于()

5、(A)NM (B)NM (C)NM (D)NM 二、填空题：本大题共5小题；每题3分，共15分把答案填在题中横线上(16)arctg31+arctg21的值是_ (17)不等式226xx1，那么a=(20)在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa那么这个球面的面积是 三、解答题：本大题共6小题；共60分(21)(本小题总分值8分)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合(22)(本小题总分值8分)复数z=1i,求复数1632zzz的模和辐角的主值(23)(本小题总分值10分)ABCD是边长为4的正

6、方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求点B到平面EFG的距离(24)(本小题总分值10分)根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=x3+1在(，+)上是减函数 (25)(本小题总分值12分)n为自然数，实数a1，解关于x的不等式 logaxlog2ax12log3axn(n2)1nlognax3)2(1nloga(x2a)(26)(本小题总分值12分)双曲线的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于 P、Q 两点假设 OPOQ，|PQ|=4，求双曲线的方程 1991 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医

7、类)参考解答及评分标准 说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细那么 二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继局部时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面局部的给分，但不得超过后面局部应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分 三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤 四、解答右端所注分数，表示考

8、生正确做到这一步应得的累加分数 五、只给整数分数 一、选择题此题考查根本知识和根本运算每题 3 分，总分值 45 分(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6)D (7)A (8)D (9)C (10)C (11)A (12)C (13)B (14)C (15)D 二、填空题此题考查根本知识和根本运算每题 3 分，总分值 15 分(16)4 (17)x|2x1 (18)314 (19)1+510 (20)3a2 三、解答题(21)本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质总分值8分 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2xcos2x)2sinxcosx

9、+2cos2x 1分=1sin2x(1cos2x)3分=2sin2x+cos2x=2+2sin(2x+4)5分 当sin(2x+4)=1时y取得最小值22 6分 使y取最小值的x的集合为x|x=k83，kZ 8分(22)本小题考查复数根本概念和运算能力总分值8分 解：1632zzz=116)1(3)1(2iii=ii23 2分=1i 4分 1i的模r=22)1(1=2 因为1i对应的点在第四象限且辐角的正切tg=1，所以辐角的主值=47 8分(23)本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力总分值10分 解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、

10、BD分别交AC于H、O 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EFBD，H为AO的中点 BD不在平面EFG上否那么，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾 由直线和平面平行的判定定理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离 4分 BDAC，EFHC GC平面ABCD，EFGC，EF平面HCG 平面EFG平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线 6分 作OKHG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离 8分 正方形ABCD的边长为4，GC=2，AC=42，HO=2，H

11、C=32 在RtHCG中，HG=2222322 由于RtHKO和RtHCG有一个锐角是公共的，故RtHKOHCG OK=111122222HGGCHO 即点B到平面EFG的距离为11112 10分 注：未证明“BD不在平面EFG上不扣分 (24)本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力总分值10分 证法一：在(，+)上任取x1，x2且x1x2 1分 那么f(x2)f(x1)=3231xx=(x1x2)(222121xxxx)3分 x1x2，x1x20 4分 当x1x20；6分 当x1x20时，有222121xxxx0；f(x2)f(x1)=(x1x2)(222121xxxx)

12、0 8分 即 f(x2)f(x1)所以，函数f(x)=x3+1在(，+)上是减函数 10分 证法二：在(，+)上任取x1，x2，且x1x2，1分 那么 f(x2)f(x1)=x31x32=(x1x2)(222121xxxx)3分 x1x2，x1x20 又 x21x2221(x21x22)|x1x2|x1x2 222121xxxx0，f(x2)f(x1)=(x1x2)(222121xxxx)0 8分 即 f(x2)3)2(1nloga(x2a)当n为奇数时，3)2(1n0，不等式等价于 logaxloga(x2a)因为a1，式等价于 axxaxx2200 002axxaxx 24112411ax

13、aax 6分 因为2411a24a=a，所以，不等式的解集为x|ax2411a 8分 当n为偶数时，3)2(1nloga(x2a)因为a1，式等价于 axxaxx2200 002axxaxx 2411axax 或 2411axax 10分 因为，aaaa24241102411 12分 所以，不等式的解集为x|x2411a 综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是x|2411axa；当n为偶数时，原不等式的解集是x|2411ax(26)本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等根本知识，以及综合分析能力总分值12分 解法一：设双曲线的方程为2222byax=1 依题意知，点

14、P，Q的坐标满足方程组 222222531baccxybyax其中 将式代入式，整理得(5b23a2)x2+6a2cx(3a2c2+5a2b2)=0 3分 设方程的两个根为x1，x2，假设5b23a2=0，那么ab=53，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b23a20 根据根与系数的关系，有 22221356abcaxx 222222213553abbacaxx 6分 由于P、Q在直线y=53(xc)上，可记为 P(x1，53(x1c)，Q(x2，53(x2c)由OPOQ得11)(53xcx 22)(53xcx=1，整理得3c(x1+x2)8

15、x1x23c2=0 将，式及c2=a2+b2代入式，并整理得 3a4+8a2b23b4=0，(a2+3b2)(3a2b2)=0 因为 a2+3b20，解得b2=3a2，所以 c=22ba=2a 8分 由|PQ|=4，得(x2x1)2=53(x2c)53(x1c)2=42 整理得(x1+x2)24x1x210=0 将，式及b2=3a2，c=2a代入式，解得a2=1 10分 将a2=1代入b2=3a2 得 b2=3 故所求双曲线方程为x232y=1 12分 解法二：式以上同解法一 4分 解方程得x1=222235403ababca，x2=222235403ababca 6分 由于P、Q在直线y=53(xc)上，可记为P(x1，53(x1c)，Q(x2，53(x2c)由OPOQ，得x1 x253(x1c)53(x2c)=0 将式及c2=a2b2代入式并整理得 3a4+8a2b23b4=0，即 (a2+3b2)(3a2b2)=0 因a2+3b20，解得b2=3a2 8分 由|PQ|=4，得(x2x1)2+53(x2c)53(x1c)2=42 即(x2x1)2=10 将式代入式并整理得(5b23a2)216a2b4=0 10分 将b2=3a2代入上式，得a2=1，将a2=1代入b2=3a2得b2=3 故所求双曲线方程为 x232y=1 12 分