河南高考理科数学试题5512.pdf

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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设复数 z 满足1+z1zi，则|z|(A)1 (B)2 (C)3 (D)2(2)sin20cos10con160sin10 (A)32 (B)32 (C)12 (D)12(

2、3)设命题 P：nN，2n2n，则P 为 (A)nN，2n2n (B)nN，2n2n (C)nN，2n2n (D)nN，2n2n (4)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 (5)已知M(x0，y0)是双曲线C：2212xy 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若12MF MF0，则 y0的取值范围是 (A)(33，33)(B)(36，36)(C)(2 23，2 23)(D)(2 33，2 33)(6)九章算术

3、是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 (7)设 D 为 ABC 所在平面内一点3BCCD，则(A)1433ADABAC (B)1433ADABAC(C)4133ADABAC (D)4133ADABAC (8)函数 f(x)的部分图像如图所

4、示，则 f(x)的单调递减区间为(A)()，k (b)()，k(C)()，k (D)()，k (9)执行右面的程序框图，如果输入的 t0.01，则输出的 n(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 （10）25()xxy的展开式中，52x y的系数为(A)10 (B)20 (C)30 (D)60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，（12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的（13）表面积为 16 20，则 r (A)1(B)2(C)4(D)8 12.设函数 f(x)ex(2x1)axa，其中 a 1，若存在唯一的 整数 x0，使得 f(x0)

5、0，则 a 的取值范围是()A.32e，1)B.33,24e)C.33,24e)D.32e，1)第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分(13)若函数 f(x)xln(x2ax)为偶函数，则 a (14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 .2r r 正视图俯视图 r 2r(15)若 x，y 满足约束条件10040 xxyxy，则yx的最大值为 .(16)在平面四边形 ABCD 中，ABC75，BC2，则

6、AB 的取值范围是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 12 分)Sn为数列an的前 n 项和.已知 an0，()求an的通项公式：()设，求数列的前 n 项和(18)如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面 AEC平面 AFC(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 (19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的年

7、宣传费 xi和年销售量 yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w 11x(x1x)2 11x(w1w)2 11x(x1x)(yy)11x(w1w)(yy)46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1 x1，w 18111xw()根据散点图判断，yabx 与 ycdx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)()根据()的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；()以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z0.2yx.根据()的结果回答下列问题：A

8、B C F E D 年宣传费(千元)年销售量/t（i）年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2).(un vn)，其回归线 vu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niiiniiuu vvvuuu (20)(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y24x与直线 ykxa(a0)交于 M，N 两点，()当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；()y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由.(21)(本小

9、题满分 12 分)已知函数 f(x)31,()ln4xaxg xx ()当 a 为何值时，x 轴为曲线()yf x 的切线；()用min,m n 表示 m，n 中的最小值，设函数()min(),()(0)h xf x g xx，讨论 h(x)零点的个数 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(本题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲 如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E （I）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O

10、 的切线；（II）若 OA3CE，求ACB 的大小.(23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线1C:x2，圆2C：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M，N，求C2MNC D A E B O 的面积 (24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数|x1|2|xa|，a0.()当 a1 时，求不等式f(x)1 的解集；()若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 2a24

11、3nnnaS 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 选择题答案 一、选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A、B 卷非选择题答案 二、填空题 （13）1 （14）22325()24xy （15）3 （16）二、解答题（17）解：（I）由2243nnnaaS，可知2111243.nnnaaS 可得221112()4nnnnaaaaa 即 2211112()()()nnnnnnaaaaaa aa 由于0na 可得12.nnaa 又2111243aaa，解得111()3aa 舍去，所以

12、na是首相为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为21.nan（II）由21nan 111111().(21)(23)2 2123nnba annnn 设数列 nb的前 n 项和为nT，则 12nnTbbb 1111111()()()()235572123.3(23)nnnn （18）解：（I）连结 BD，设 BDAC=G，连结 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由ABC=120，可得 AG=GC=3.由 BE平面 ABCD,AB=BC 可知 AE=EC.又 AEEC，所以 EG=3，且 EGAC.在 RtEBG 中，可得 BE=2故 DF=22.在 RtFDG 中，可

13、得 FG=62.在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE=2，DF=22，可得 FE=3 22.从而222,EGFGEFEGFG所以 又,.ACFGGEGAFC可得平面因为EGAEC 平面 所以平面AECAFC 平面 （III）如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向，GB为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz.由（I）可得2(03,0),(102),(10),(03,0)2AEFC，所以 2(13 2),(13,).2AECF，故3cos,.3AE CFAE CFAE CF 所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为33.（19）解：（I）由散

14、点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型。2 分 （II）令wx，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于 121()()108.8681.6()niiiniiww yydww 56368 6.8100.6cydw。所 以y关 于w的 线 性 回 归 方 程 为100.668yw，因 此y关 于x的 回 归 方 程 为100.668yx。6 分 （III）（i）由（II）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 100.668 49576.6y 年利润 z 的预报值 576.60.24966.32z。9 分 （ii）根据（II）的结果知，年利润 z 的

15、预报值 0.2(100.668)13.620.12zxxxx 所以当13.66.82x，即 x=46.24 时，z取得最大值 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大。12 分 （20）解：（I）有题设可得(2,),(2,),Ma aNa aMa或（-2,a）.又2=y224xxyxa，故在 处 的 导 数 值 为a，C在 点(2,)a a出 的 切 线 方 程 为a(2),0ya xaaxya即 224xyxa 在，即0axya.股所求切线方程为0a0axyaxya和（III）存在符合题意的点，证明如下：设 P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线 PM，PN

16、的斜率分别为12,k k 2440.ykxaCxkxa代入 的方程得 故12124,4.xxk x xa 从而2440.kxaCkxa代入 的方程得x 12124,4.xxk x xa 故 12112121212b22()()yybkkxxkx xab xxx x从而 ()k aba 当 b=-a 时，有 120,=kkPM则直线的倾角与直线PN的倾角互补，故OPMOPN，所以点P(0,-a)符合题意（21）解：（I）设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点000300200(,0)()0,()01043013,24xf xf xxaxxaa 则即解得x 因此，当3xy()4af x 时，轴为曲

17、线的切线（II）当 x(1,)()10,(),()()0,h()(1,)g xnxf x g xg xx 时，从而h(x)=min故在无零点55x1(1)0,(1)min(1),(1)(1)0,x44afahfgg 当时，若则故 是5()a,(1),(1)(1)0,1(4h xfgfxh x 的零点；若则f(1)0,h(1)=min故不是的 零 点x(0,1)g()10.fxnx 当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数 2iaaf（）若-3或0,则（x）=3x+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调 15f(0),(1),faf44fa所以当a-3时，(x)在（0,1）有一个

18、零点；当0 时(x)在（1,0）没有零点aa()30,f()0),133iiax若则在（，单调递减，在（）单调递增，故在（0,1）中 321()f()3334aaaaxf x当时，取得最小值，最小值为 3()0.0,()343faf()(0,1)343153()0,3,(0),(1)34444afaf xaxafaffaa 若即在（0,1）无零点；若()=0,即=-则在有唯一零点若即由于 5()f()(0,1).4f xx时，在（0,1）有两个零点；当-3a-时，在有一个零点 综上，当 3535aa-()aah()4444h xx 或时，有一个零点；当或时，有两个零点53h().44ax 当时

19、，有三个零点（22）解：（I）链接 AE，由已知得，AEBCACAB 在Rt AEC中，由已知得，DE=DC 故DECDCE 链接 OE，则OBE=OEB 又ACB+ABC=90所以DEC+OEB=90 故90oOED，DE 是O得切线（II）设 CE=1，AE=X，由已知得2 3AB，212BEx 由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以2212xx即42120 xx 可得3x，所以60oACB （23）解：（I）因为cosx，siny，所以1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4 sin40。5 分 （II）将4代入22cos4 sin40，得23 240，解得12 2，2

20、2。故122，即2MN。由于2C的半径为 1，所以2C MN的面积为12。10 分 （24）解：（I）当1a 时，1f x 化为12110 xx ，当1x 时，不等式化为40 x，无解；当11x 时，不等式化为320 x，解得213x；当1x 时，不等式化为20 x，解得12x。所以 1f x 的解集为223xx。5 分（II）由题设可得，1 2,1,31 2,1,12,xa xf xxaxaxa xa 所以函数 f x的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03aA，21,0Ba，,1C a a，ABC的面积为2213a。由题设得22163a，故2a。所以 a 的取值范围为2,10 分