2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理数试题精编版（解析版）.doc

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1、注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至3页，第卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A1,0,1，Bx|1x1，则AB()A0 B1,0来源:学。科。网Z。X。X。KC0,1 D1,0,1【答案】B【解析】1,0,1x|1x11,0考点定位：本题考查集合的运算，正确进行集合的交、并、补运算.【名师点睛】本题考查集合的交集

2、运算，本题属于基础题，集合部分高考题主要以集合的概念、集合的运算为主，首先要正确解读集合，确认集合中的元素，近几年高考重点考查有限数集和无限数集的交、并、补运算，要求学生灵活运用韦恩图和数轴工具，正确求出结果，另外遇到点集时，还要利用直角坐标系.2.在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】D3. “”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【名师点睛】本题考查充要条件，本题属于基础题，充要条件问题主要命题方法有两种，一种为判断条件是结论的什么条件？第二种是寻

3、求结论成立的某种条件是什么？近几年高考充要条件命题以选填题为主，表面看很简单。但由于载体素材丰富，几何、代数、三角可以随意选材，所以涉及知识较多，需要扎实的基本功，本题以三角函数有关知识为载体，考查了三角函数有关知识和充要条件.来源:学科网ZXXK4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A1 B C D来源:Zxxk.Com【答案】C【解析】依次执行的循环为S1，i0；，i1；，i2.故选C.考点定位：本题考点为程序框图，需要掌握循环程序的运行方法,要求准确运行程序.【名师点睛】本题考查程序框图的程序运行，本题为基础题，掌握循环程序的运行方法，框图以赋值框和条件框为主，按照框图箭线方向和每

4、个框的指令要求运行，注意条件框的要求是否满足，运行程序时要准确.5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1【答案】D考点定位：本题考查函数的图像变换，主要涉及平移变换和对称变换.【名师点睛】本题考查函数的图像变换，本题属于基础题，函数的图像变换主要有三种，平移变换、伸缩变换、对称变换，本题主要涉及平移变换和对称变换.解题方法有两种，一是正向，二是“倒车”.6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为()Ay±2x BC D【答案】B【解析】由离心率为，可知ca，ba.渐近线方程为，故选B.考点定位：本题

5、考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题， 正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数的值.7.直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A B2 C D【答案】C考点定位：本题考查定积分有关知识与计算.【名师点睛】本题考查定积分有关知识与计算,本题属于基础题，直接考查定积分的几何意义，这种利用定积分求面积是备考时的常规训练题.8.设关于x，y

6、的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是()A BC D【答案】C【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含上的点，只需要可行域的边界点(m，m)在下方，也就是mm1，即.故选C.考点定位：本题考查线性规划有关知识和解题方法.【名师点睛】本题考查线性规划有关知识,本题属于基础题，近几年高考线性规划为必考基础题，线性规划考试题型有两种，一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围，本题属于第二类，对可行域提出相应的要求，求参数的取值范围.二填空题：本

7、大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.9.在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_【答案】1【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离.10.若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.【答案】22n12【解析】试题分析：由题意知.由a2a4a2(1q2)a1q(1q2)20，a12.Sn2n12.考点：

8、等比数列的通项公式,前n项和.考点定位：本题考查等比数列的有关知识与计算.名师点睛：本题考查等比数列的有关知识与计算,本题属于基础题，近几年高考选填题经常考查数列内容，大多以等差数列或等比数列为主，考查数列的通项公式和前项和公式、数列的性质，有时考查递推公式，本题重点考查等比数列的通项公式和前项和公式的应用，很重视基础.11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA3，PDDB916，则PD_，AB_.【答案】4考点：几何证明.考点定位：本题考查选学知识：与圆有关的比例线段名师点睛：本题考查选学内容平面几何选讲中的与圆有关的比例线段，本题属于基础题，与圆有关的问题涉

9、及到角的问题如：圆周角、圆心角、弦切角、圆内接四边形的外角等，与圆有关的比例线段涉及到切割线定理及其推论等，选填题大多求线段长度或求角度居多.12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_【答案】96【解析】试题分析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×96(种)考点定位：本题考查排列、组合及计数原理有关问题.名师点睛：本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，

10、也可以考查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题用除法、隔板法等，本题为先选后排问题，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，而得连号有四种可能情况发生，解决这样的问题需要学生不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.【答案】4考点定位：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方

11、程组，解出未知数的值.14.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为_【答案】考点定位：本题考查空间距离问题，重点为点到直线的距离.名师点睛：本题为空间角和空间距离计算问题，本题属于中等难度问题，计算空间角和距离有两种方法，一种是“作、证、求”传统方法，如本题的解析，这种方法适用于基础简单题，考试题中的选填题适用此法，简单快速求出结果，另一种是建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算，适用于较难的解答题.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. (本小题共13分)在

12、ABC中，a3，B2A，(1)求cos A的值；(2)求c的值考点定位：本题考查与解三角形有关的问题，重点考查正弦定理、余弦定理在解三角形时的灵活应用.名师点睛：本题考查与解三角形有关的问题，重点考查正弦定理、余弦定理，本题属于基础题，是备考时突出训练的题型，这种题学生很容易入手.近几年高考大多以考查三角函数图象与性质、三角函数图象变换、利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，有的单独考查一个考点（如本题）,有时分两步两个考点综合考查.16. (本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择

13、3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)考点定位：本题考点为概率与统计有关知识与计算，重点考查古典概型概率的求法，离散型随机变量的概率分布列及数学期望的计算，另外考查学生对统计量“方差”概念的本质的理解.【名师点睛】本题考查古典概型和离散型随机变量的概率分布列及数学期望的计算，另外考查学生对统计量“方差”概念的本质的理解.本题属于中等题，首先利用古典概型概率公式求出概率，其次分析离散型随机变量取那些值，求

14、出对应这些值的概率，列出概率分布列，进而计算数学期望；针对“方差”概念从本质去理解，当样本数据波动较大时，方差较大. 当样本数据波动较小时（稳定），方差较小，.而两个样本的方差相等时，则说明波动状态一致，根据图中所提供的数据观察，连续3天数据波动较大的为3月5，6，7日，不必死套公式，本题命题角度新颖，独具匠心.17 (本小题共14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5，(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值【答案】（1）证明间解析

15、（2）（3）考点定位：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质，利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题，重点考查学生的空间想象能力和计算能力.【名师点睛】本题考查线线、线面垂直及求二面角的相关知识及运算，本题属于中档题，熟练利用有关垂直的判定定理和性质定理进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化与证明，另外利用空间向量解题时，要建立适当的直角坐标系，准确写出空间点的坐标，利用法向量求二面角，利用空间向量数量积为零，解决线线垂直问题.18. (本小题共13分)设L为曲线C：在点(1,0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0

16、)之外，曲线C在直线L的下方【答案】解析：(1)设，则.所以f(1)1.所以L的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增来源:Z_xx_k.Com所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方考点定位：本题考点为导数的应用，包括导数的几何意义、作差法构造函数，利用导数研究函数的单调性，说明函数图象的位置关系.【名师点睛】

17、本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题，本题第一步为基础，第二步属于中等略偏难问题，首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标，写出切线方程，其次用作差法构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性说明g(x)g(1)0(x0，x1)，进而说明x1>f(x),从而说明除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方，本题除考查学生导数的应用外，还考查了数学的转化思想.来源:学科网ZXXK19. (本小题共14分)已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，O是坐标原点(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OA

18、BC是否可能为菱形，并说明理由因为k·1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形考点定位：本题考点为直线与圆锥曲线相关问题及其计算，重点考查椭圆中的内接菱形的要求，借助菱形对角线互相垂直平分解题.名师点睛：本题考点为直线与圆锥曲线相关问题及其计算，重点考查椭圆中的内接菱形的要求,本题属于中档题，圆锥曲线的内接四边形问题在高考试题中曾多次考查，本题为内接菱形，只需要求对角线互相垂直即可，题目容易入手，特别是第一步很基础，计算也不算复杂，应该得到满意的分数，第二步为探索四边形是否为菱形，可按照存在性命题的解题方法进行，先假

19、设四边形为菱形，寻求对角线的斜率，探究对角线斜率之积是否等于，进而说明四边形为菱形是否存在.20. (本小题共13分)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn.(1)若an为2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dnd(n1,2,3，)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1,2,3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.【答案】(1)d1d21，d3d43（

20、2）（3）见解析又因为a12，所以Am12，且Amam2.考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。【名师点睛】本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，题目给出新的定义：an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn ,对于数列an给出这样一个新的定义，首先要理解定义，题目的第一步，前一项的最大值为2，第一项后面的项的最小值为1，即，则，同理求出，通过第一步的计算应用新定义，加深对定义的认识进入第二步就容易一些了，第二步证明充要条件、第三步的证明就是在第一步的基础上的深化研究，毕竟是一个新的信息题，在一个全新的环境下进行思维，需要在原有的知识储备，还需要严密的逻辑思维和分析问题与解决问题的能力，有得分的机会，但得满分较难.学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp