【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.3 模拟方法-概率的应用课时提升作业 北师大版必修3.doc

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1、模拟方法概率的应用一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014辽宁高考)将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.阴影部分为半圆,其面积S阴=12=,长方形面积S=21=2.所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是=.【变式训练】有如下四个游戏盘,撒一粒黄豆,若落在阴影部分,就可以中奖,若希望中奖的机会最大,则应该选择的游戏是()【解析】选A.四个选项中中奖的概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=1-,P(D)=,故P(A)P(B)P(D)P(C),所以选A.2.(2014枣庄

2、高一检测)已知函数f(x)=log2x,x,在区间上任取一点x0,则使f(x0)0的概率为()A.1B.C.D.【解析】选C.欲使f(x)=log2x0,则x1,而x,所以x01,2,从而由几何概型概率公式知所求概率P=.3.(2014长沙高二检测)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P,则点P到点A的距离小于或等于a的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.事件“点P到点A的距离小于或等于a”构成的区域是以A为球心,a为半径的球的,故P=.4.如图,A是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A,连接AA,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为()A.B.C.D.【解

3、析】选C.当AA的长度等于半径长度时,AOA=,由圆的对称性及几何概型得P=.【误区警示】本题易忽视点A选择的对称性,考虑不周全,造成解题错误.5.一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为()A.B.1-C.1-D.1-【解题指南】求出三角形的面积;再求出距三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形,三个扇形的和是半圆,求出半圆的面积;利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率.【解析】选D.三角形ABC的面积为S1=34=6.离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=,所以其恰在离三个顶点距

4、离都大于1的地方的概率为P=1-=1-.6.(2013湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使APB的最大边是AB”发生的概率为,则=()A.B.C.D.【解题指南】本题的关键是找出使APB的最大边是AB的临界条件,首先是确定ADAB,然后作出矩形ABCD,最后分别以A,B为圆心以AB为半径作圆弧交CD于F,E,当EF=CD时满足题意.【解析】选D.如图,在矩形ABCD中,以AB为半径作圆交CD分别于点E,F,当点P在线段EF上运动时满足题设要求,所以E,F为CD的四等分点,设AB=4,则DF=3,AF=AB=4,在直角三角形ADF中,AD=,所以=.二、填空题(每小题4分

5、,共12分)7.(2013湖北高考)在区间-2,4上随机地取一个数x,若x满足|x|m的概率为,则m=_.【解题指南】解绝对值不等式,根据几何概型利用区间长度之比求解.【解析】由|x|m,得-mxm,当m2时,由题意=,m=2.5矛盾,舍去;当2m4时,由题意得=,解得m=3.答案:38.已知正方体ABCD -A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD -A1B1C1D1内任取点M,点M在球O内的概率是_.【解析】设正方体的棱长为2.正方体ABCD -A1B1C1D1的内切球O的半径是其棱长的一半,其体积为V1=13=.则点M在球O内的概率是=.答案:9.(2013南昌高二检测)如图

6、,半径为10cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆.现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上,使硬币整体随机落在纸板内,则硬币落下后与小圆无公共点的概率为_.【解析】由题意,硬币的中心应落在距圆心29cm的圆环上,圆环的面积为92-22=77(cm2),故所求概率为=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014长春高二检测)在街道旁边有一游戏:在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1cm的小圆板.规则如下:每掷一次交5角钱,若小圆板压在边上,可重掷一次;若掷在正方形内,需再交5角钱才可玩;若压在正方形塑料板的顶点上,可获得一元钱.试问:(1)小圆板

7、压在塑料板的边上的概率是多少?(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?【解析】(1)如图(1)所示,因为小圆板的中心O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的,小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1cm时,所以小圆板的中心O落在图中阴影部分时,小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接,这个范围的面积等于92-72=32(cm2),因此所求的概率是=.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1cm时,如图(2)阴影部分,四块合起来面积为cm2,故所求概率是.11.在半径为1的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直

8、径的弦,求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率.【解析】记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长,如图,不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦,当弦为CD时,就是等边三角形的边长,弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF,由几何概型公式得P(A)=.【变式训练】(2013临沂高一检测)已知平面区域=,直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点,它们围成的平面区域为M,向区域上随机投一点A,点A落在区域M内的概率为P(M),若0m1,则P(M)的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.已知直线y=mx+2m过半圆y=上一点(-2,0),当m=0时,直线

9、与x轴重合,这时P(M)=1,故可排除A,B,若m=1,如图可求得P(M)=,故选D.一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2014湖南高考)在区间-2,3上随机选取一个数X,则X1的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.基本事件空间为区间-2,3,它的度量是长度5,X1的度量是3,所以所求概率为.2.(2014临沂高一检测)如图,在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆,它落在圆内接正三角形内(阴影部分)的概率是()A.B.C.D.【解析】选D.因为S圆=R2,S三角形=32RR=R2,所以落在圆内接正三角形内的概率是=.3.(2013淄博高一检测)在面积为S的ABC的边AB上任取一点P,则PBC

10、的面积不小于的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.记事件A=PBC的面积大于等于,基本事件空间是线段AB的长度,如图,因为SPBC,则有BPCDABCD.化简即得,所以,事件A的几何度量为线段AP的长度,因为AP=AB,所以P(A)=,故选A.4.如图,在AOB中,已知AOB=60,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,则AOC为钝角三角形的概率为()A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1【解题指南】试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况,第一种ACO为钝角,第二种OAC为钝角,根据等可能事件的概率得到结果.【解析】选B.试验发生

11、包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况:第一种ACO为钝角,这种情况的边界是ACO=90的时候,此时OC=1,所以这种情况下,满足要求的是0OC1.第二种OAC为钝角,这种情况的边界是OAC=90的时候,此时OC=4,所以这种情况下,满足要求的是4OC5.综合两种情况,若AOC为钝角三角形,则0OC1或4OC5.所以概率P=0.4.【误区警示】本题易出现只考虑一种情况的错误,致使所得结果为0.2.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2014重庆高考)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:307:50到校,且每人在该时间段内的任何

12、时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_.(用数字作答)【解题指南】可设出两人到校的时刻,列出两人到校时刻满足的关系式,再根据几何概型的概率公式进行求解.【解析】设小张与小王到校的时刻分别为7:30之后x,y分钟,则由题意知小张比小王至少早5分钟到校需满足y-x5,其中0x20,0y20.所有的基本事件构成的区域为一个边长为20的正方形,随机事件“小张比小王至少早5分钟到校”构成的区域为阴影部分.由几何概型的概率公式可知,其概率为P=.答案:6.在区间-2,3上任取一个实数a,则使直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d的概率是_.【解题指南】由给出的弦长范围,求

13、出圆心到直线ax+y+1=0的距离的范围,再由点到直线的距离公式写出圆心到直线的距离,列式求出a的范围,然后用长度比求概率.【解析】如图.直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d=AB,则半弦长BC,因为圆的半径等于1,所以圆心到直线ax+y+1=0的距离OC,即,得-2a-1或1a2.又a-2,3,所以在区间-2,3上任取一个实数a,则使直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d的概率是=.答案:【误区警示】解答本题时易出现利用直线和圆的方程求弦长的解法,这样会使解答过程烦琐、易错,甚至解不出答案.通过本题的解答应该学会抓住问题的本质,适时将问题转化,养成转化与化归的意

14、识.三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知-2x2,-2y2,点P的坐标为(x,y).(1)求当x,yR时,P满足(x-2)2+(y-2)24的概率.(2)求当x,yZ时,P满足(x-2)2+(y-2)24的概率.【解题指南】(1)为几何概型,作出图形,利用几何概型的概率公式求解.(2)是古典概型,需分别求出满足-2x2,-2y2的点及(x-2)2+(y-2)24的点的个数,利用古典概型的概率公式求解.【解析】(1)如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),而满足(x-2)2+(y-2)24的点P的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的扇形区域(含边界).所以所求的概率P1=.

15、(2)满足x,yZ,且-2x2,-2y2的点(x,y)有25个,满足x,yZ,且(x-2)2+(y-2)24的点(x,y)有6个,所以所求的概率P2=.【变式训练】(2013天水高一检测)甲、乙两人约好在“五一”长假时间去天水市石马坪南山牡丹园观花游玩,决定在早晨7点半到8点半在石马坪的惠民商场门口会面,并约定先到者等候另一人15分钟,若未等到,即可离开惠民商场门口,直接去牡丹园观花,大家算一算两人会面后一起去观花的概率是多少.【解题指南】由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的所有事件对应的集合是=(x,y)|7.5x8.5,7.5y8.5,作出集合对应的图形是边长为1的正方形,写出满足条

16、件的事件对应的集合,画出图形,根据面积之比得到概率.【解析】由题意知本题是一个几何概型,因为试验发生包含的所有事件对应的集合是=(x,y)|7.5x8.5,7.5y8.5,集合对应的面积是边长为1的正方形的面积S=1,而满足条件的事件对应的集合是A=.如图:由几何图形面积公式得到SA=,所以两人能够会面的概率是=.8.如图,已知AB是半圆O的直径,AB=8,M,N,P是将半圆圆周四等分的三个分点,(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,求这3个点组成直角三角形的概率.(2)在半圆内任取一点S,求三角形SAB的面积大于8的概率.【解析】(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,一共

17、可以组成10个三角形:ABM,ABN,ABP,AMN,AMP,ANP,BMN,BMP,BNP,MNP,其中是直角三角形的只有ABM,ABN,ABP,3个,所以所取这3个点组成直角三角形的概率P=.(2)连接OM,OP,ON,MP,取线段MP的中点D,则ODMP,易求得OD=2,当S点在线段MP上时,SABS=28=8,所以只有当S点落在阴影部分时,三角形SAB的面积才能大于8,而S阴影=S扇形MOP-SOMP=42-42=4-8,所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P=.【拓展提升】求解概率问题的步骤(1)判断类型:是古典概型还是几何概型.(2)求解总的基本事件及所求事件的个数(古典概型)或总的基本事件及所求事件构成空间的长度、面积、体积或角度(几何概型).(3)利用相应概率类型的概率公式求解概率.【变式训练】设点(p,q)在|p|3,|q|3中按均匀分布出现,试求方程x2+2px-q2+1=0的两根都是实数的概率.【解析】设基本事件总数为区域D,则SD=62=36.由方程x2+2px-q2+1=0的两根都是实数得=(2p)2-4(-q2+1)0,所以p2+q21.所以当点(p,q)落在如图所示的阴影部分时,方程的两根均为实数,由图可知,所求事件构成的区域为d,则Sd=S正方形-SO=36-.由几何概型公式可得,=.- 11 -