2022年高考湖南理科数学试题 .pdf

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1、2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分150 分.考试用时120 分钟.第卷（选择题）一、选择题：本大题共10 小，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数 zii2i3i4的值是（）A 1B0C1Di2函数 f(x)x21的定义域是（）A(，0B0，)C（，0）D（，）3已知数列 log2(an1)（nN*）为等差数列，且a13，a25，则nnnaaaaaa12312lim111(=（）A2B23C1D214、已知点 P（x，y）在不等式组022,01,02yxyx表

2、示的平面区域内，则zxy 的取值范围是（）A、2，1B、2，1C、1，2 D、1，2 5、如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，O 是底面A1B1C1D1的中心，则O 到平面 AB C1D1的距离为（）A、21B、42C、22D、236设 f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则 f2005(x)（）AsinxBsinxCcosxD cosx7已知双曲线22ax22by1（a0，b0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，A1CBAB1C1D1DO名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -O

3、AF的面积为22a（O 为原点），则两条渐近线的夹角为（）A30oB45oC60oD90o 8集合 Ax|11xx0，Bx|x-b|a，若“a1”是“AB”的充分条件，则 b 的取值范围是（）A 2b0B0b2C 3b 1D 1b2 94 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100 分，答错得 100 分；选乙题答对得90 分，答错得 90 分.若 4 位同学的总分为0，则这 4 位同学不同得分情况的种数是（）A48B36C24D18 10设 P是 ABC内任意一点，SABC表示 ABC的面积，1ABcPBCSS，2ABCPCASS，3A

4、BCPABSS，定义 f(P)=(1,3),若 G 是 ABC 的重心，f(Q)（21，31，61），则（）A点 Q 在 GAB内B点 Q 在 GBC内C点 Q 在GCA内D点 Q 与点 G 重合第卷（非选择题）二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分（第 15 小题每空2 分），共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11一工厂生产了某种产品16800 件，它们来自甲乙丙3 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲乙丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品.12在（1 x）（1x）2（1x）6的展开式中，x2项的系数是.（用

5、数字作答）13已知直线axbyc0 与圆 O：x2y21 相交于 A、B两点，且|AB|3，则OBOA.14 设函数 f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f1(x)，f(4)0，则 f1(4).15设函数 f(x)的图象与直线x=a，x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -面积，已知函数ysinnx 在0，n上的面积为n2（nN*），（i）ysin3x 在0,32上的面积为；（ii）ysin（3x）1 在3，34上的面积为.三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，

6、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12 分）已知在 ABC 中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C 的大小.17、（本题满分12 分）如图 1，已知 ABCD是上、下底边长分别为2 和 6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。（）证明：AC BO1；（）求二面角O AC O1的大小。18（本小题满分14 分）某城市有甲、乙、丙3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求的分布及数学期望；（）记“函

7、数f(x)x23x1 在区间 2，)上单调递增”为事件A，求事件 A的概率.19（本小题满分14 分）已知椭圆 C：22ax22by1（ab0）的左右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：yex a 与 x 轴y 轴分别交于点A、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P是点 F1关于直线l 的对称点，设AMAB.（）证明：1e2；（）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形.A B C D O O1 A B O C O1 D 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -20（本小题满分14 分）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考

8、察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用 xn表示某鱼群在第n 年年初的总量，nN*，且 x10.不考虑其它因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（）求xn+1与 xn的关系式；（）猜测：当且仅当x1，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设a2，b1，为保证对任意x1（0,2），都有 xn0，nN*，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论.21（本小题满分14 分）已知函数 f(x)lnx，g(x)21ax2bx，a0.（）若b2，且 h(x)f(x)g(x)存在单调递

9、减区间，求a 的取值范围；（）设函数f(x)的图象 C1与函数 g(x)图象 C2交于点 P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点 M、N，证明 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线不平行.2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：15：BACCB 610：CDDBA 二、填空题：115600 1235 132114 2 1534，32三、解答题：16解法一由0sin)cos(sinsinCBBA得.0)sin(cossinsinsinBABABA所以.0sincoscossincossinsinsinBABABABA即.0

10、)cos(sinsinAAB因为),0(B所以0sin B，从而.sincosAA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -由),0(A知.4A从而43CB.由.0)43(2cossin02cossinBBCB得即.0cossin2sin.02sinsinBBBBB亦即由此得.125,3,21cosCBB所以,4A.125,3CB解法二：由).223sin(2cossin02cossinCCBCB得由B0、c，所以.22223CBCB或即.22232BCCB或由0sin)cos(sinsinCBBA得.0)sin(cossinsinsinBABABA所以.0si

11、ncoscossincossinsinsinBABABABA即.0)cos(sinsinAAB因为0sin B，所以.sincosAA由.4),0(AA知从而43CB，知 B+2C=23不合要求.再由212BC，得.125,3CB所以,4A.125,3CB17解法一（I）证明由题设知OAOO1，OBOO1.所以 AOB是所折成的直二面角的平面角，即 OA OB.故可以 O 为原点，OA、OB、OO1 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图 3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，3）O1（0，0，3）.从而.0333),3,3,0(),3,1,

12、3(11BOACBOAC所以 ACBO1.（II）解：因为,03331OCBO所以 BO1OC，由（I）ACBO1，所以 BO1平面 OAC，1BO是平面 OAC的一个法向量.设),(zyxn是 0 平面 O1AC 的一个法向量，由,3.0,033001zyzyxCOnACn取得)3,0,1(n.A B O C O1 D x y z 图 3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -设二面角OACO1的大小为，由n、1BO的方向可知n，1BO，所以 coscosn，1BO=.43|11BOnBOn即二面角 OACO1的大小是.43arccos解法二（I）证明由题

13、设知OAOO1，OBOO1，所以 AOB是所折成的直二面角的平面角，即 OA OB.从而 AO平面 OBCO1，OC是 AC在面 OBCO1内的射影.因为3tan11OOOBBOO33tan111OOCOOCO，所以 OO1B=60，O1OC=30，从而 OCBO1由三垂线定理得ACBO1.（II）解由（I）ACBO1，OCBO1，知 BO1平面 AOC.设 OC O1B=E，过点 E作 EF AC于 F，连结 O1F（如图 4），则 EF是 O1F在平面 AOC 内的射影，由三垂线定理得O1FAC.所以 O1FE是二面角 OACO1的平面角.由题设知 OA=3，OO1=3，O1C=1，所以1

14、3,3221212121COAOACOOOAAO，从而1332111ACCOAOFO，又 O1E=OO1sin30=23，所以.413sin111FOEOFEO即二面角 OACO1的大小是.43arcsin18解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件 A1，A2，A3.由已知 A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.P（=3）=P（A1A2A3）+P（321AAA）=P（A1）P（A2

15、）P（A3）+P（)()()321APAPA）=20.4 0.5 0.6=0.24，P（=1）=10.24=0.76.所以的分布列为A B O C O1 D 图 4 1 3 P 0.76 0.24 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -E=1 0.76+3 0.24=1.48.（）解法一因为,491)23()(22xxf所以函数),2313)(2在区间xxxf上单调递增，要使),2)(在xf上单调递增，当且仅当.34,223即从而.76.0)1()34()(PPAP解法二：的可能取值为1，3.当=1时，函数),213)(2在区间xxxf上单调递增，当=3时，

16、函数),219)(2在区间xxxf上不单调递增.0 所以.76.0)1()(PAP19（）证法一：因为A、B 分别是直线l：aexy与 x轴、y 轴的交点，所以A、B 的坐标分别是2222222.,1,).,0(),0,(baccbycxbyaxaexyaea这里得由.所以点 M 的坐标是（abc2,）.由).,(),(2aeaabeacABAM得即221eaabeacea解得证法二：因为A、B 分别是直线l：aexy与 x 轴、y 轴的交点，所以A、B 的坐标分别是).,0(),0,(aea设M的坐标是),(),(),(0000aeayeaxABAMyx得由所以.)1(00ayeax因为点

17、M 在椭圆上，所以,1220220byax即.11)1(,1)()1(22222222eebaaea所以,0)1()1(2224ee解得.1122ee即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -（）解法一：因为PF1l，所以 PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即.|211cPF设点 F1到 l 的距离为 d，由,1|1|0)(|21221ceecaeacedPF得.1122eee所以.321,3122ee于是即当,32时PF1F2为等腰三角形.解法二：因为PF1l，所以 PF1F2=90+BAF1为钝角，

18、要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点 P的坐标是),(00yx，则.1)1(2,13.220102202200000eaeyceexacxeyecxy解得由|PF1|=|F1F2|得,41)1(21)3(2222222ceaecece两边同时除以4a2，化简得.1)1(2222eee从而.312e于是32112e.即当32时，PF1F2为等腰三角形.20解（I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为.(*)*),1(.(*)*,1212NncxbaxxNncxbxaxxxcxnnnnnnnnn即因此（II）若每年年初鱼群总量

19、保持不变，则xn恒等于 x1，nN*，从而由（*）式得.0*,0)(11cbaxcxbaNncxbaxnn即所以恒等于因为 x10，所以 ab.猜测：当且仅当ab，且cbax1时，每年年初鱼群的总量保持不变.（）若b 的值使得 xn0，nN*由 xn+1=xn(3bxn),nN*,知0 xn3b,nN*,特别地，有0 x13b.即 0b0.又因为 xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+110，nN*，则捕捞强度b 的最大允许值是 1.21解：（I）xaxxxhb221ln)(,22时，则.1221)(2xxaxaxxxh因为函数h(x)存在单调递减区间，所以)(xh0 时，则 ax2+2x1

20、0 有 x0的解.当 a0 时，y=ax2+2x1 为开口向上的抛物线，ax2+2x10 总有 x0 的解；当 a0 总有 x0的解；则=4+4a0,且方程 ax2+2x1=0 至少有一正根.此时，1a0.综上所述，a 的取值范围为（1，0）（0，+）.（II）证法一设点 P、Q 的坐标分别是（x1,y1），（x2,y2），0 x1x2.则点 M、N 的横坐标为,221xxxC1在点 M 处的切线斜率为,2|1212121xxxkxxxC2在点 N 处的切线斜率为.2)(|212221bxxabaxkxxx假设 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线平行，则k1=k2.即bxxaxx2

21、)(22121，则)2()(2)()(2)(21212221221222112bxxabxxaxxbxxaxxxx=.lnln1212xxyy所以.1)1(2ln121212xxxxxx设,12xxt则.1,1)1(2lntttt名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -令.1,1)1(2ln)(tttttr则.)1()1()1(41)(222ttttttr因为1t时，0)(tr，所以)(tr在,1）上单调递增.故.0)1()(rtr则ttt1)1(2ln.这与矛盾，假设不成立.故 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线不平行.证法二：同证法一得).(2)ln)(ln(121212xxxxxx因为01x，所以).1(2ln)1(121212xxxxxx令12xxt，得.1),1(2ln)1(tttt令.11ln)(,1),1(2ln)1()(tttrtttttr则因为22111)1(lntttttt，所以1t时，.0)1(lntt故tt1ln在1，+)上单调递增.从而011lntt，即.0)(tr于是)(tr在1，+)上单调递增.故.0)1()(rtr即).1(2ln)1(ttt这与矛盾，假设不成立.故 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线不平行.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -