2022年高考理科数学试题及答案 .pdf

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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ）1、设 z=，则 z=（）A.0 B. ? C.1 D. 22、已知集合 A=x|x2-x-20 ，则CRA =（）A、x|-1x2 B、x|-1 x2 C、x|x2 D、x|x -1 x|x 2 3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况， 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C

2、.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，若 3S3 = S2+ S4，a1 =2，则 a5 =（）A、-12 B、-10 C、10 D、12 5、设函数 f（x）=x3+（a-1）x2+ax . 若 f（x）为奇函数，则曲线y= f（x）在点（ 0，0）处的切线方程为（）A.y= -2x B.y= -x C.y=2x D.y=x 6、在?ABC中，AD为 BC边上的中线， E为 AD的中点，则EB=（）A.34AB - 14AC B. 14AB - 34AC C. 34AB + 14AC

3、D. 14AB + 34AC建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7、某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。 圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到 N的路径中，最短路径的长度为（）A. 2 17B. 2 5C. 3 D. 2 8. 设抛物线 C： y2=4x的焦点为 F， 过点（-2， 0

4、） 且斜率为23的直线与 C交于 M ， N两点，则FMFN=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9. 已知函数 f （x）= g（x）=f（x）+x+a，若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是( ) A. -1，0） B. 0，+） C. -1，+） D. 1，+）10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边 BC ，直角边 AB ，AC. ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为。在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则( ) A. p1=p2B. p1=p

5、3C. p2=p3D. p1=p2+p311. 已知双曲线 C：? - y 2=1，O为坐标原点， F 为 C的右焦点，过 F的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M ，N. 若OMN 为直角三角形，则 MN =( ) A. 32 B.3 C. D.4 12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 若 x，y 满足约束条件则 z=3x+2y 的最大值为 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

6、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 14. 记 Sn为数列 an的前 n 项和. 若 Sn = 2an+1，则 S6= . 15. 从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有种. （用数字填写答案）16. 已知函数 f（x）=2sinx+sin2x ，则 f（x）的最小值是 . 三. 解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：

7、共60 分。17. （12分）在平面四边形 ABCD 中，ADC =90， A=45， AB =2，BD =5. （1）求 cosADB ；（2）若 DC =，求 BC . 18. （12分）如图，四边形 ABCD 为正方形， E，F 分别为 AD ，BC的中点，以 DF为折痕把 ?DFC 折起，使点 C到达点 P的位置，且 PF BF . （1）证明：平面 PEF 平面 ABFD ；（2）求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

8、3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 19. （12分）设椭圆 C ：? + y 2=1的右焦点为 F，过 F 的直线l与 C交于 A，B两点，点 M的坐标为（ 2，0）. （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM的方程；（2）设 O为坐标原点，证明： OMA=OMB.20、 （12分）某工厂的某种产品成箱包装， 每箱 200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20 件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P （0P1 ） ，且各件产品是否为不合格品相互

9、独立。（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f（P） ，求 f（P）的最大值点。（2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（ 1）中确定的作为 P的值，已知每件产品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用。（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求 EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

10、 - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 21、 （12分）已知函数. （1）讨论 f （x）的单调性；（2）若 f （x）存在两个极值点x1 , x2 , 证明： . （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C?的方程为 y=kx+2.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C?的极坐标方程为 2+2 cos -3=0. （1） 求 C ?的直角坐标方程 : （2） 若 C ?与 C?有且仅有三

11、个公共点，求C?的方程. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 23. 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知 f（x）=x+1-ax-1. （1） 当 a=1时，求不等式 f（x）1 的解集；（2） 若 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

12、 - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1C 2 B 3A 4B 5D 6A 7B 8 D9C 10A 11B 12A 二、填空题13 6146315 16163 32三、解答题17解：（1）在ABD中，由正弦定理得sinsinBDABAADB. 由题设知，52,sin 45sinADB所以2sin5ADB. 由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB. （2）由题设及（ 1）知，2cossin5BDCADB. 在BCD中，由余弦定理得2222cos22582522525.

13、BCBDDCBD DCBDC所以5BC. 18解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD. （2）作PHEF，垂足为H. 由（ 1）得，PH平面ABFD. 以H为坐标原点，HFuuu r的方向为 y 轴正方向，|BFuu u r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz. 由（ 1）可得，DEPE. 又2DP，1DE，所以3PE. 又1PF，2EF，故PEPF. 可得32PH，32EH. 则(0,0,0)H，3(0,0,)2P, 3( 1,0)2D，33(1,)22DPuuu r，3(0,0,)2HPuu u r为平面AB

14、FD的法向量 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 设DP与平面ABFD所成角为，则334sin|43| |HP DPHPDPuu u r uuu ruu u ruu u r. 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34. 19解：（1）由已知得(1,0)F， l 的方程为1x. 由已知可得，点A 的坐标为2(1,)2或2(1,)2. 所以 AM 的方程为222yx或222yx. （2）当 l 与 x 轴重合时，

15、0OMAOMB. 当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB . 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)yk xk，11(,)A x y，22(,)B xy，则12x，22x，直线 MA，MB 的斜率之和为121222MAMByykkxx. 由11ykxk，22ykxk 得12121223 ()4(2)(2)MAMBkx xk xxkkkxx. 将(1)yk x代入2212xy得2222(21)4220kxk xk. 所以，22121222422,2121kkxxx xkk. 则3331 212244128423 ()4021kkkkkk

16、xxk xxkk. 从而0MAMBkk，故 MA，MB 的倾斜角互补. 所以OMAOMB . 综上，OMAOMB . 20解：（1） 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为221820()C(1)fppp. 因此2182172172020()C 2(1)18(1) 2C(1) (110 )fpppppppp . 令()0fp， 得0.1p. 当(0,0.1)p时，( )0fp； 当(0.1,1)p时，()0fp.所以()fp 的最大值点为00.1p.（2）由（ 1）知，0.1p. （）令Y 表示余下的180 件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB:，20225XY ，即402

17、5XY . 所以(4025 )4025490EXEYEY. （）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元. 由于400EX，故应该对余下的产品作检验. 21解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - （1）( )f x的定义域为(0,) ，22211( )1axaxfxxxx. （）若2a，则( )0fx ，当且仅当2a，1x时( )0fx，所以( )f x 在 (0,) 单调递减 . （）若2a

18、，令( )0fx得，242aax或242aax. 当2244(0,)(,)22aaaaxU时，( )0fx；当2244(,)22aaaax时，( )0fx. 所以( )f x 在24(0,)2aa，24(,)2aa单调递减，在2244(,)22aaaa单调递增 . （2）由（ 1）知，( )f x 存在两个极值点当且仅当2a. 由于( )f x 的两个极值点1x ，2x 满足210 xax，所以121x x，不妨设12xx ，则21x. 由于12121221212121222()()lnlnlnln2ln11221f xf xxxxxxaaaxxx xxxxxxx，所以1212()()2f x

19、f xaxx等价于22212ln0 xxx. 设函数1( )2lng xxxx，由（ 1）知，( )g x 在 (0,) 单调递减，又(1)0g，从而当(1,)x时，( )0g x. 所以22212lnxxx0 ，即1212()()2f xf xaxx. 22解：（1）由cosx，siny得2C 的直角坐标方程为22(1)4xy. （2）由（ 1）知2C 是圆心为( 1,0)A，半径为2的圆 . 由题设知，1C 是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为1l ，y轴左边的射线为2l . 由于B在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个

20、公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点. 当1l 与2C 只有一个公共点时，A到1l 所在直线的距离为2，所以2|2 |21kk，故43k或0k. 经检验，当0k时，1l 与2C 没有公共点；当43k时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点. 当2l 与2C 只有一个公共点时，A到2l 所在直线的距离为2， 所以2|2 |21kk， 故0k或43k. 经检验，当0k时，1l 与2C 没有公共点；当43k时，2l 与2C 没有公共点 . 综上，所求1C 的方程为4|23yx. 23解：（1）当1a时，( )|1|1|f

21、xxx，即2 ,1,( )2 ,11,2,1.xf xxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 故不等式( )1f x的解集为1|2x x. （2）当(0, 1)x时 |1|1|xaxx 成立等价于当(0, 1)x时 |1|1ax成立 . 若0a，则当(0, 1)x时 |1|1ax；若0a， |1|1ax的解集为20 xa，所以21a ，故 02a. 综上，a的取值范围为(0,2 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -