第15讲 连续型随机变量.pdf

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1、 第15讲 连续型随机变量 连续型随机变量 定义定义 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x), , 若存若存 在一个非负的函数在一个非负的函数f(x), , 对任何实数对任何实数x, , 有有 x dttfxF)()( 称称X为为连续型随机变量连续型随机变量, , 称称f(x)为为X的的概率密概率密 度函数度函数, , 简称简称概率密度概率密度. .也可记为也可记为 ( ). X fx f (x) t 0 y x 连续型随机变量 由定义由定义, , 可得下面两个结论可得下面两个结论 (1)(1)连续型随机变量的分布函数一定是连续的；连续型随机变量的分布函数一定是连续的； (2)

2、(2)对对f(x)的连续点的连续点, , 有有 ( )( ) ( )( ) x Fxf x F xf t dt F(x)与与f(x)可以互推可以互推. . 概率密度的性质 ( ) f (x) 0, () ( )1.f x dx ()( )1.Ff x dx x dttfxF)()( 这两条是判定函数这两条是判定函数 f (x) 是否为概率密是否为概率密 度函数的充要条件度函数的充要条件. . ( )yf x y x 0 面积是面积是1 概率密度的性质 iii( 2 1 1221 ()()()( ). x x P xXxF xF xf x dx 1 x 2 x 12 ()P xXx x 0 f(

3、x) x dttfxF)()( y 连续型随机变量 连续型随机变量取任一指定值的概率为连续型随机变量取任一指定值的概率为0 0， 即即 P ( X = a ) = 0. 这是因为这是因为 由由F(x)连续得连续得 0()() ( )(), 0. P XaP axXa F aF axx 0 lim( )()0 x F aF ax ()0.P Xa 连续型随机变量 ()() ()(). P aXbP aXb P aXbP aXb ()0P Xa().Xa ( )0,P AA 同同理理不不能能推推出出 ( )1.P BBS不不能能推推出出 连续型随机变量 f(x)的值是如何反应概率呢？的值是如何反应

4、概率呢？ 若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则 0 () lim x P xXxx x .)(xxfxxXxP ( ,) ( ). Xxx xx f xx 表表明明 落落在在 附附近近领领域域的的概概率率 约约等等于于 21 ()()f xf x 1 xx 2 ()f x 2 x 0 ( )f x 1 ()f x 0 ()( ) ( )( )lim x F xxF x f xF x x 0 ( ) lim. xx x x f t dt x 例例1 1 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度的概率密度 求求(1) 系数系数c；(2) X的分布函数的分布函数F(x)； (3) P( 0

5、.5 X 0.3 ). 解解 0.5 2 0 1( )()f x dxcxx dx 0.5 32 0 1 32 c xx 1 , 248 c 21.c (00.5)1.PX 2 ,00.5, ( ) 0,. cxxx f x 其其他他 (2) ( )()( ) x F xP Xxf t dt x x0.50 x 0 10( )00; x xF xdt 当当时时， 0 02 0 30.5( )0(21) x xF xdttt dt 当当0 0时时， 32 7/ 2;xx 2 21,00.5, ( ) 0, xxx f x 其其它它. . 0 20.5( )()1.xF xP Xx当当时时, ,

6、(00.5)1.PX由由 32 00, ( )7/ 2,00.5, 1, 0.5. x F xxxx x ， 即即， 0.30.3 2 0.50 (3) ( 0.50.3)( )(21)PXf x dxxx dx 2 21,00.5, ( ) 0, xxx f x 其其它它. . 320.3 0 (7/ 2)0.234.xx ( 0.50.3)(0.3)( 0.5)PXFF或或 32 7 (0.3)(0.3) / 200.234. 例例2 2 设设随机变量随机变量X的分布函数为的分布函数为 解解 求求X的概率密度的概率密度. . 2 ,01, ( )( ) 0, xx f xFx 其其他他.

7、. 2 0,0 ( ),01 1,1. x F xxx x ， ， 几种重要的连续型随机变量 均匀分布均匀分布(Uniform) 定义定义 若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为 1 , ( ) 0, axb f xba 其其他他. . 称称X在区间在区间a, b上服从均匀分布上服从均匀分布, ,记为记为X Ua, b. ().ab 1 ( )1. b a f x dxdx ba ( )0;f x 满足概率密度性质满足概率密度性质. . ( )f x 0 b xa 1 b a 均匀分布 均匀均匀的含义是的含义是等可能等可能 若若X Ua, b, (x1, x2)为为a, b中的任一子区

8、间中的任一子区间, , 则则 说明：说明：X落在落在长度相等长度相等的各个子区间的的各个子区间的可能可能 性是相等的性是相等的. .属于属于几何概率几何概率. . 2 1 1221 1 ()(). x x dx P xXxxx baba , ,()1.X U a bP aXb若若则则 概率密度的性质 若若X Ua, b，则则X的分布函数为的分布函数为 ( )( ). x F xf t dt 0, ( ), 1,. xa xa F xaxb ba xb ( )F x 0 b xa 1 均匀分布的用途 设通过某站的汽车设通过某站的汽车1010分钟一辆分钟一辆, , 则乘客候则乘客候 车时间车时间X

9、在在 0 0, ,1010 上服从均匀分布；上服从均匀分布； 某电台每隔某电台每隔2020分钟发一个信号分钟发一个信号, ,我们随手打我们随手打 开收音机开收音机, ,等待时间等待时间X在在 0 0, ,2020 上服从均匀分布；上服从均匀分布； 随机投一根针于坐标纸上随机投一根针于坐标纸上, ,它和坐标轴的夹它和坐标轴的夹 角角X在在 0 0, , 上服从均匀分布上服从均匀分布. . 2 10 xXx例例3 设随机变量设随机变量XU(1,6), 求方程求方程 有实根的概率有实根的概率. 解解 由由XU(1,6)得得X的概率密度为的概率密度为 2 040X 方方程程有有实实根根 22,XX 或

10、或 故故, ,方方程程有有实实根根的的概概率率为为 6 2 14 (2)(2)0. 55 P XP Xdx 1 , 16 ( )5 0, . x f x ， 其其他他 指数分布(Exponential) 定义定义 若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度的概率密度 称称X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. .记为记为 分布函数分布函数为为 ,0, ( ) 0, 0. x ex f x x (0). .( )XE 1,0, ( ) 0, 0. x ex F x x 0. 0 ( )0,( )1. x f xf x dxedx 满满足足： 指数分布常用来近似地表示各种指数分布常用来近

11、似地表示各种寿命寿命的分布的分布. . 指数分布的无记忆性 , = | P Xst Xs P Xs P Xst Xs 1() = 1( ) P XstF st P XsF s e e e () (). s t t s P Xt ( )0,0,XEst ， 1,0, ( ) 0, 0. x ex F x x (|)().P Xst XsP Xt 因为因为 例例4 4 设机器相邻两次故障的时间间隔设机器相邻两次故障的时间间隔( (小时小时) ) X服从参数为服从参数为1/51/5的指数分布的指数分布, , 求在机器已经求在机器已经 无故障工作了无故障工作了8 8小时的情况下，再无故障工作小时的情况下，再无故障工作 1010小时的概率小时的概率. . 解解 已知已知 e /5 1,0, ( ) 0, 0. x x F x x (18|8)(10)1(10)P XXP XP X (1/ 5).XE e)=e=e 10/510/52 1(10)=1(1.F 谢谢 谢！谢！