2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册同步讲义第8讲离散型随机变量的期望方差及其性质3种题型（解析版）.pdf

《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册同步讲义第8讲离散型随机变量的期望方差及其性质3种题型（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册同步讲义第8讲离散型随机变量的期望方差及其性质3种题型（解析版）.pdf（18页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 8 讲离散型随机变量的期望方差及其性质3 种题型【考点分析】考点一：离散型随机变量的期望期望的含义：一般地，若离散型随机变量&的概率分布为4X2储PPlP lPi则称+x“p”+为&的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.随机变量=试+人的数学期望：Er)=Ea+b)=aE+b单点分布：E0=cx l=c其分布列为：P(J=l)=c.两点分布：=Ox+lxp=p,其分布列为：(p+q=l)g0ipqp二项分布：E&=5 k.-pk-q-k n p其分布列为J B(,P).(P 为发生4 的概率)几何分布：E =-其分布列为 q(A,P).(

2、P 为发生4 的概率)P考点二：离散型随机变量的方差、标准差当已知随机变量1的分布列为P(4=x)=p(k=l,2,)时，则 称”=(x E%+(xEg)2p2+(xE匐 2Pli+为 g 的 方 差.显 然 故&=匹 .售 为&的 根 方 差 或标准差.随机变量&的方差与标准差都反映了随机变量&取值的稳定与波动，集 中 与 离 散 的 程 度 移小，稳定性越高，波动越小.向方差的性质.随机变量？=若+人的方差(喈+加=3 久(a、b 均为常数)期望与方差的关系.(1)如 果 和 E都存在，则 E e v)=E J土设 和袱是互相独立的两个随机变量，则EG)=E J E小+V)=%+叫期望与方

3、差的转化：Dg=E$-(E&EG-Eg)=E-E(EM(因 为 转 为 一 常 数)=E J-E 4 =O.【题型目录】题型一：离散型随机变量的期望题型二：离散型随机变量的方差题型三：离散型随机变量的期望方差的性质【典型例题】题型一：离散型随机变量的期望【例 1】在采用五局三 胜 制(先取得三局胜利的一方，获得最终胜利)的篮球总决赛中，当甲队先胜 2 场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲、乙两队水平相当，每场甲、乙 胜 的 概 率 都 为 总 决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲队应分得的奖金为()万元.A.80 B.70 C.50 D.40 答案B【3

4、 析】奖金额X 的值为。和 8 0,计算出概率后由期望公式计算出期望即得.【详解】设甲队应分得的奖金为X 万元，则 X=0,80,P(X=0)=(l-=g,P(X=80)=l-(l-g)=1,E(X)=0 x+80 彳=70.故选：B.【例 2】一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有.3个白球，2 个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1 分，摸到一个红球记2 分，则小明总得分4的数学期望 等 于（）A.3.8 分 B.4 分 C.4.2 分 D.4.4 分【答案】C【分析】确定&的取值，求出概率，由期望公式计算期望.【详解】由题意J 的取值是3,4,5,尸4 =3)=G =_

5、LC；1 034）=詈*尸（）=嘴HE（a=3 x +4xA+5 x =4.2,1 0 1 0 1 0 1 0故选：C.【例 3】从一批含有6件正品和4件次品的1 0 件产品中随机抽取2件产品进行检测，记随机变量X为抽检结果中含有的次品件数，则随机变量X 的期望E（X）=4【答案】y#0.8【分析】根据题意，确定随机变量X 的可能取值，再求出每个变量对应的概率即可求解.【详解】由题意可知：X 的可能取值为0 1,2,诙。）噌喘T P（X =1）=管啜啥尸（X=2）啜吟/所以 E（X）=0 x g+l x 2+2 1=1,4故答案为：【例 4】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后

6、可获利1 2%,一旦失败，一年后将丧失全部资金的5 0%,下表是过去2 0 0 例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败1 9 2 次8次则 该 公 司 一 年 后 估 计 可 获 收 益 的 期 望 是 （元）.【答案】4 7 6 0【分析】设可获收益为x万元，先求出投资成功与失败的概率和收益，再计算收益的期望即得.【详解】设可获收益为x 万元，如果成功，x的取值为5 x 1 2%,如果失败，x的取值为-5 x 5 0%,一年后公司成功的概率估计 为1器9 2 =言2 4 ，失败的概率估计 为8意=上1，所以一年后公司收益的期望为E（x）=f 5 x l 2%x 1 1-5 x 5 0%x

7、 1|x l 0 0 0 0 =4 7 6 0 （元）.故答案为：4 7 6 0.【例 5】电 机（或变压器）绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级，电机与变压器中常用的绝缘材料耐热等级分为如下7 个级别：耐热等级YAEBFHC绝缘耐温（）9 0,1 0 5)1 0 5,1 2 0)1 2 0,1 3 0)1 3 0,1 5 5)1 5 5,1 8 0)1 8 0,2 0 0)2 0 0,2 3 0)某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从两种工艺生产的产品中各随机抽取5 0 件，测量各件产品的绝缘耐温（单位：。C）,其频率分布直方图如下：频率/组距0.0 7 r；

8、-T；0.0 6 一上十一|r；0.0 5 -；0.0 4 ；：0.0 3 -J-；-j0.0 2 Lj-18 1 8 0/2 左2 1 0 与0绝缘耐耻（C ）甲(1)若 1 0 月份该企业采用甲工艺生产的产品为6 5 万件，估计其中耐热等级达到C级的产品数；(2)若从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机选择1 件，用频率估计概率，求 2 件产品中耐热等级达 到 C级的产品数的分布列和数学期望.7【答案】(1)5 2 万件；(2)分布列见解析；期望为二【分析】(1)根据频率分布直方图可知耐热等级达到。级的频率，从而可估计6 5 万件产品中达到。级的产品数；(2)根据频率分布直方图可知甲、乙两种

9、产品耐热等级达到C级的概率，各随机选择1 件产品可能为两个都达到C级，恰有一个达到。级，两个都没达到C级，分别计算它们的概率，列出分布列，计算期望.【详漏】(1)由频率分布直方图可知，6 5 万件产品中，耐热等级达到6级的产品数为6 5 x(0.0 6 x 1 0+0.0 2 x 1 0)=5 2 (万件),故耐热等级达到C级的产品数约为5 2 万件.(2)设采用甲工艺生产的产品中耐热等级达到C级的产品数为X,采用乙工艺生产的产品中耐热等级达到C级的产品数为匕则耐热等级达到C级的产品总数为X+K 由频率分布直方图可知，4随机选择I 件采用甲工艺的产品耐热等级达到。级的概率为0.06X10+0.

10、02X10=0.8=,3随机选择1 件采用乙工艺的产品耐热等级达到。级的概率为0 0 2 x 1 0 +0.0 4 x 1 0 =0.6 =.1?2x+丫 所有可能的取值为0,1,2,则 p（x +y=o）=p（x=o且 y =o）=g x（=A，13 4 2 1 1p（x+y=i）=p（x=o _ a y=i）+p（x =i K y=o）=-x-+-x-=,5 5 5 5 2 54 3 1 2p（x +y =2）=p（x=i _ a r=i）=-x-=.5 5 2 5分布列如下表所示:X+Y012P22 511251 22 5_,.2 1 1 _ 1 2 7石(X+y)=0 x F1 x F

11、 2 x =一.2 5 2 5 2 5 5【例 6】现有甲、乙、丙、丁等6 人去参加新冠疫苗的接种排队，有 A、B、C、0 4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候.(1)求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；(2)设随机变量X表示在窗口 A排队等候的人数，求随机变量X的期望.1 3(答 案 二;(2)1 3 2【分析】(1)先利用排列组合求出事件得总数及甲乙排在一起的情况得数量，再根据古典概型及对立事件得概率公式即可得解；(2)先写出随机变量X的取值，再求出对应随机变量的概率，再根据期望公式进行求解E(X).【详解】(1)解：总数为其中甲乙排在一起的情况为：（C；+C；）A：=2

12、40,故甲、乙两人在不同窗口等候的概率 为 粤 泮=工1560 13（2）解:X 可取L2,3,P（X=2）=C：C；A；一 91560 26尸（X=3）=C：A；=11560 13P（X=1）=1-尸（X=2）-P（X=3）=,所以 E（X）=lx 玄15+2x9 卷+3 x164=5ZO Zo 13 Z【题型专练】1.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1 分，负者得0 分，比赛进行到有一人比对方多2?1分或打满6 局时停止，设甲在每局中获胜的概率为彳，乙在每局中获胜的概率为：，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望E（X）为（）【答案】B【分析】由已知，根据题意设出事件，

13、求出对应的概率，然后直接求解期望即可.【详解】由题意，随机变量X 的可能取值是2,4,6,设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，所以 P（X=2）1,p（X=4）=-x-=,9 9 81所以期望为E（X）=2 x,+4x当+6 x =誉.9 ol ol ol故选：B.2.某车间打算购买2 台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个 280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数

14、X 的分布列为：X678p0.40.50.1若购买2 台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这 2 台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（）A.1716.8 元 B.206.5 元 C.168.6 元 D.156.8 元 答案D【3 析】由题意2 台设备使用期间需更换的零件数可能取值为12、13、14、15、1 6,再求出它们对应的概率，进而求2 台设备另需购买易损零件所需费用可能值及其概率，最后求期望即可.【详解】记 丫 表示2 台设备使用期间需更换的零件数，则 丫 的可能取值为12,13,14,15,16,p（y=12）=0.42=0.16,P（y=13）=2x04x0.5=0.

15、4,尸（y=14）=0.52+2x04x0.1=0.33,P（y=15）=2x0.5x0.1=0.1,=16）=O.I2=O.OI.若购买2 台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2 台设备另需购买易损零件所需费用为 Z 元，则 Z 的可能取值为O 280,560,840,p（Z=0）=P（K 1-2 5【分析】由题意可知C2C 54即可求J 14m，由X=0,1,2,利用古典概型的概率求法求P（X=0）、尸（X=l）、P（X=2）,即可求E（x）.【详解】由题意知:=3,c =5C,；+514整 理 得+9加一36=(?+12)(?-3)=0(m 0),由 X=0,l,2，贝”(X

16、=0)=詈=*，P(X=1)=鬟=弟尸(X=2)=磐=得,(X)=0 xP(X=0)+1 x P(X=l)+2 x P(X=2)=0+-+-=-.28 7 4故答案为：Y.4.农历五月初五是我国的传统节日端午节，为纪念伟大的爱国诗人屈原，民间有吃粽子的习惯,粽子也就成为了我们生活中的一种美食.设一盘中装有6 个粽子，其中豆粽、肉粽、白粽各2 个，这三种粽子的外观完全相同.小 明从中任取2 个吃，吃完这2 个，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是还没吃到肉粽，就再从剩下的4 个中任取1个吃，吃完这个不管是否吃到肉粽都不再吃了.求小明吃到肉粽的概率；（2）设 X表示取到的肉粽个数，求 X 的分布列与数学

17、期望.【答案】4:（2）分布列见解析，-13【分析】（1）根据先吃的两个有无肉粽计算出迟到肉粽的概率.（2）根据吃到肉粽的个数以及古典概型概率计算公式计算出分布列并求得数学期望.【详解】小明吃到肉粽的概率 为 与 三+冬、=察+2（=%!=C；C；4 15 15 2 5 5 5（2）X 的所有可能取值为0,1,2,且叩。）喑!PS吟+|七,如2吟4；.X 的分布列为X012PJ511151T?E(X)=0 x l+lx +2x =.5 15 15 155.某人花了。元预定2023年杭州亚运会开幕式门票一张，另外还预定了两张其他门票，根据亚奥理事会的相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，

18、这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的。元门票未成功时，系统自动使他进入元开幕式门票的预定.假设获得。元开幕式门票的概率是0，若未成功，仍有0.2的概率获得元开幕式门票的机会，获得其他两张门票中的每一张的概率均是0.5,且获得每张门票之间互不影响.(1)求这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率；假设这个人获得门票总张数是X ,求 X的分布列及数学期E(X).【答案】(1)0.2 8；(2)分布列见解析;E(X)=1.2 8【分析】(1)由独立事件概率乘法公式即可求得获得开幕式门票的概率；(2)由题意确定X的可能取值，再利用独立事件概率乘

19、法公式求得X每个取值对应的概率，从而求得X的分布列，进而求得数学期E(X).【详解】(1)依题意得，获得。元开幕式门票的概率为0，则未获得。元开幕式门票的概率为0.9,获得b元开幕式门票概率为0.2,则获得开幕式门票的概率为0.1+0.9X0.2=0.28.(2)依 题 意 得,X的可能取值为0,1,2,3,则 P(X =0)=(1 0.2 8)x 0.5 x 0.5 =0.1 8,P(X =1)=0.2 8 x 0.5 x 0.5 +(1 -0.2 8)x 0.5 x 0.5 x 2 =0.4 3 ,P(X =2)=2 x 0.2 8 x 0.5 x 0.5 +(1-0.2 8)x 0.5

20、x 0.5 =0.3 2,P(X =3)=0.2 8 x 0.5 x 0.5 =0.0 7 ,故 X的分布列为：则风 X)=0 x 0.1 8 +1 x 0.4 3 +2 x 0.3 2 +3 x 0.0 7 =1.2 8.X0123P0.1 80.4 30.3 20.0 76.中国男子篮球职业联赛 简称C B A”半决赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.同时比赛采用主客场制，比赛先在4队的主场进行两场比赛，再移师B队主场进行两场比赛(有必要才进行第二场)，如果需要第五场比赛，则回到4队的主场进行，已

21、知A队在主场获胜的概率为:，在客场获胜的概率为假设每场比赛的结果相互独立.(1)第一场比赛B队在客场通过全队的努力先赢了一场，赛后B队的教练鼓励自己的队员说“胜利的天平己经向我们倾斜”，试从概率大小的角度判断B队教练的话是否客观正确；(2)每一场比赛，会给主办方在门票，饮食，纪念品销售等方面带来综合收益3 0 0 万元，设整个半决赛主办方综合收益为鼻求4的分布列与期望，【答案】(1)从概率大小的角度判断8 队教练的话是客观正确的.分布列见解析，E(/=1 225 万元.【分析】(1)计算B队获胜的情况的概率判断即可；(2)由题知J 的可能取值为9 0 0,1 20 0,1 5 0 0,再计算概

22、率求解分布列,期望即可.【详解】(1)由题知，8 队获胜的情况有三种，第一种情况，比 赛：场获胜，其概率为第二种情况，比赛四场获胜，则第二场或第三场8 队失败，故其概率为5=|x；xg +g x g x；=；第三种情况，比赛五场获胜，则 8 队在第二场，第三场，第四场中赢得一场比赛，第五场比赛获胜,具 率为 P、=x x x H x x x x 2=,3 223 3 223 3 6所以，8 队在第一场比赛获胜的情况下，赢得比赛的概率为5+一3 66 +9 +53 6=+=1 1-+6 420 5 1=一3 6 9 2所以，从概率大小的角度判断8 队教练的话是客观正确的.(2)由题知，至少举办3

23、场球赛，至多举办5场球赛，所以4的可能取值为9 0 0,1 20 0,1 5 0 0,2 2 1 1 I 1所以，当举办3 场球赛时，A 队 获 胜 的 概 率 为 B 队获胜的概率为J J 4 J J 4所以，P（/=900）=-2x-2x-14-1-x1-x1l =5；7 3 3 2 3 3 2 189111 9?1 1 2 7当举办4 场球赛时，A 队获胜的概率为广；*丁 丁 2+丁 才 丁=.=不3 3 2 2 3 3 2 2 36 9B队获胜的概率为|X G X G X，X2+，X，XX:=:,3 3 2 2 3 3 2 2 36（八 1200）=17+京5 413，9 36 361

24、Q 5 13所以，P =1500)=l-P(=1200)-P =900)=l-J-=-J,DO 1O 30所以，g 的分布列为：49001200150()P5Ts133613365 13 13所以，E =900 x，+1200 x +1500 x，=1225 万元18 36 367.某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第4 件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第4 件时已检查到不合格品，则拒绝通过且认为这批产品不合格.且每件产品质检费用为80元.设这批产品的数量足够大，并认为每次检查中查到不合格品的概率都为P,即每次抽查的产品是相互独

25、立的.（1）求这批产品能够通过检查的概率；（2）记对这批产品的质检个数记作X,求 X 的分布列和数学期望；（3）已知100批此类产品，若 p e （）.05,0，则总平均检查费用至少需要多少元？（总平均检查费用=每批次平均检查费用x批数）【答案】（2）分布列见解析，E（X）=-p3+4p2-6p+4；（3）27512元【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算；（2）由题可知X=1,2,3,4,分别求概率，可得分布列和期望；（3）设/（）=-/+4/-6 p+4,求导，利用导数求最值，进而可得结果.【详解】（1）记事件A 为“这批产品能够通过检查“，则由题意知：P（A）=（l-p）（

26、2）由题可知 X=1,2,3,4,P(X=l)=p,=2)=(1-/?)/?,尸(X=3)=(l 同)，P(X=4)=(l-/7)3,所以X 的分布列为：X1234PP(l-p)p(I-。)(1-PY故X 的数学期望为：（X）=p+2（l-p）p+3（l-y p+4（l-p）,=-03+4 p 2-6 p+4.（3）设4P2 _ 6 p+4,则/，（同=_ 3/+8 _ 6,因为A=64 72 0,目 J （p）开口向下，则 r（P）(X )=(0 -0.6)2 X 0.4 +(1 -0.6)2 X 0.6 =024)故选:C.【例 2】已知随机变量。(i =1,2)的分布列如下表所示：1?若

27、 0 R 5 P 2E&),。&)。(与)B.E )。6)C.E Q E&),/)&)&)D.【答案】A【分析】通过计算期望和方差来求得正确答案.详解E 4)=0 x；+l x p|+2 x 1|_ p J =g _ p 1,由于所以E )E ).)=(。一：+巧)x；+(l -g+p j x p i+0 g+p j 功1Q同理可得O )=-P；-支+余(。)一2)=4 _ ：+；(。2 _ 历)=(。2 四)(，2+历+；)0,所以。(幻 。).故选：A【例 3】(多选题)设0?20.6,故从采购商的角度考虑，应该采用第二种方案.（3）用分层抽样的方法从这10 0 个水果中抽取10 个，则标

28、准果、优质果、精品果、礼品果应抽取的个数分别为1,3,4,2,即 4 个精品果，6个非精品果，由题意可得：X的可能取值有：0 ,2,3,则有：唳=。）吟=/依1）=詈=.（X=2）=詈得始=3）啜X的分布列如下:X0123P623T o130h i l l F（X）=0 x i +|x i +2x +3x ,人.6 2 10 30 5。）=吟6 +2）25210|x =l iI 30 25x3+3 465【例 6】为迎接20 22年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1 小时免费，超 过 1 小时的部分每小时收费标准为4 0 元（不 足 1

29、小时的部分 按 1 小时计算）.有 甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1 小时离开的概率分1 1 1 2别为1 小时以上且不超过2小时离开的概率分别为:，:；两人滑雪时间都不会超过3小时.4 6 2 3（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量0 求 4 的分布列与均值E,方差。.【答案】（哈；答案见解析【分析】（1）由题意两人所付费用相同，相同的费用可能为0,4（）,80 元，然后求出相应的概率即可；（2）确定4的所有可能取值，计算相应的概率，得出分布列，进一步求解均值和方差即可.【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0

30、,4 0,80 元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1 -5 ：=1 一（一 1=5 两人都付0元的概率为P/=工,4 6 2 4I 2 I两人都付4 0 元的概率为P 2=y x j=1,两人都付80 元 的 概 率 为 X =,4 6 2 4则两人所付费用相同的概率为P=妥+(+签号(2)。的所有可能取值为0,40,80,120,160,则%=0)=：,=,4 6 24P(C=40)=-x|+l x l =i,4 3 2 6 4P(=80)=-x-+-x|+-x-=,4 6 2 3 4 6 12P(f=I20)=yxl+i x|=i2 6 4 3 4,/八 1 1 1P(

31、C=160)=-x-=.4 6 24所以E的分布列为04080120160P12445nj_4124E(X)=162X0.1+62X0.2+42X0.7 =4 4.购进17个时，当天的利润为y=(14x5-3x5)x0.1+(15x5-2x5)x0.2+(16x5-1x5)x0.16+17x5x0.54,=76.4因为7 6.4 7 6,所以应购进17个.6.冬奥会志愿者有6 名男同学，4 名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取4名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).

32、(1)求选出的4 名同学是来自互不相同的大学的概率；(2)设 X 为选出的4 名同学中女同学的人数，求随机变量X 的期望和方差.【答案M 呜4Q E(x)=y,D(X)80【分析】(I)求出选出的4 名同学是来自互不相同大学的情况种类，除以从10名学生选出4 名的情况种类即为答案；(2)求出X 的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出对应的概率，写出分布列，求出期望和方差(1)设”选出的4 名同学是来自互不相同大学”为事件A,则尸(A)=+c；c；_ 4C：)14所以选出的4 名同学是来自互不相同大学的概率为1;(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3,4.P(X=&)=W(&=0,l,

33、2,3),.P(X=0)=警1$,P(X=1)=等哈jo I q Iqo尸(X=2)售C2C2 3 P(x =3)=普c3c,*,4尸(1=簧c4r0/1所以随机变量X 的分布列是：E(X)=0X01234P11 482?27435121014 21X1+1XA+2X3+3X+4X_ L=835 210 588782824821(X)=I 0-I +I 11421+-I 2-I+I 3-I +2104-1575)355i嘏7.甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，

34、甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为X,且每场比赛双方获胜的概率都为 求 P(X=2)和尸(X=3)；(2)求 X 的标准差.【答案】(1)P(X=2)=4，P(X=3)=!；(2)且2 4 4【分析】(1)分析X=2,X=3 两种情况下的胜负关系，再根据概率的公式求解即可；(2)根据题意可得X 可能的取值为2,3,4,再求解x=4 的概率，进而根据均值和方差的公式求解即可(1)X=2：甲胜乙，甲胜内，结果甲胜；乙胜甲，乙胜丙，结果乙胜.P(X=2)=x +x =；2 2 2 2 2X =3：甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，结果丙胜；乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，结果丙胜.P(X=3)=L L L2 2 2

35、 2 2 2 4(2)根据题意可得X可能的取值为2,3,4.X=4：甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，结果甲胜;甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，乙胜甲，结果乙胜；乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，结果甲胜；乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，乙胜甲，结果乙胜；P(X=4)=4 x x x x =.2 2 2 2 4(X)=2 x l +3 x l +4 x l =,2 4 4 4D(X)=22x l +32x l +42xl-=1 1,所以标准差为 疯 为=乎.题型三：离散型随机变量的期望方差的性质【例 1】已知随机变量X满足E(2 X+3)=7,O(2 X+3)=1 6,则下列选项正确的是()7 1 3A.(X)=

36、-,(%)=B.E(X)=2,O(X)=42 2C.E(X)=2,O(X)=8 D.E(X)=-,D(X)=84【答案】B【分析】由数学期望与方差的性质求解【详解】E(2 X +3)=2 E(X)+3 =7,得 E(X)=2,O(2 X+3)=4 O(X)=1 6,得 O(X)=4,故选：B【例 2】设随机变量J的分布列为尸 =幻=(4=1,2,5),4/?,E(g),C e)分别为随机变量J的k+1数学期望与方差，则下列结论正确的是()2A.P(0 3.5)=1 B.(3 +2)=7 C.。=2 D.0(3+1)=6【答案】C【分析】利用分布列的性质概率之和为1,得出。=1,利用概率的性质可

37、判断A选项，再利用均值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可.【详解】因为随机变量孑的分布列为P C =%)=/(%=1,2,5),由分布列的性质可知，Z +1%=1)+蛇=2)+蛇=5)=:+=+=1,解得 a =l,2 3 6对丁A,P(O J 3.5)=PC=1)+PC=2)=：+!=J,故 A 不正确;2 3 6对于 B,E()=l x l +2 x 1 +5 x l =2,;.E(3 J +2)=3 E C)+2 =3 x 2 +2 =8,故 B 不正确：对于 C,D()=X(1-2)2+X(2-2)2+1X(5-2)2=2,故 C 正确；2 3 6对于 D,D()=2,.D(3（

38、X）=1C.E（X）=-1,Z）（X）=4 D.E（X）=-1,D（X）=1 答案D【彳析】根据方差和期望的性质即可求解.【详解】根据方差和期望的性质可得：E（2-2 X）=-2E（X）+2=4 n E（X）=-l.O（2-2 X）=4）（X）=4 n D（X）=l,故选：D2.已知随机变量仪40）满足E（2 3J）+E 2q）=6,则 E =（）A.-1 或 4 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】根据均值的性质可得醺 2-3/=3 E ,则 E（2-3/+E?=6 即为炉 -3E-4=0,解方程求得答案.【详解】因为E（2-3为+必 =6,所以税 3 4=0,解得E q）=4 或 E=

39、一1 （舍去）,故选：D3.离散型随机变量X 的分布为：X01245Pq0.30.20.20.1若离散型随机变量y 满足y=2 x+i,则 下 列 结 果 正 确 的 为.E（X）=2；E（Y）=4；。（X）=2.8；（7）=14.【答案】【分析】根据分布列的性质，求得9=0.2,利用期望和方差的公式，求得E（X）,D（X）的值，进而根据 Y=2 X+1,进而求得E（y）,D（y）的值，即可求解.【详解】由离散型随机变量X 的分布列的性质，可得4=1-0.3-0.2-。.2-0.1=02,则 E（X）=（）x0.2+lx0.3+2x（）.2+4x（）.2+5x（）.l=2,Z）（X）=（O-2

40、）2xO.2+（l-2）2xO.3+（2-2）2xO.2+（4-2）2xO.2+（5-2）2xO.1 =2.8,所以正确；又由离散型随机变量y 满足y=2 x+i,所以E（y）=2E（x）+i=4+i=5,O（y）=22o（X）=4x2.8=I1.2,所以 错误，故答案为：.4.对于随机变量X,它的数学期望E（X）和方差D（X）,下 列 所 有 正 确 的 序 号 是.E（X）是反映随机变量的平均取值；。（X）越小，说明X 越集中于E（X）；E（oX+6）=aE（X）+。；D（a X+b）=a2D（X）+b.【答案】【分析】根据离散型随机变量期望与方差的意义，以及期望与方差的性质依次判断即可.

41、【详解】离散型随机变量的期望反映J随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，则正确；E（a X+b）=aE（X）+b,D（a X+b）=a2D（X）,则正确，错误.故答案为：.5.某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为x（O x0；当x e(0.1,l)时，r(x)0.所以“X)在(0。1)上单调递增；在(。)上单调递减.所 以 的 最 大 值 点 为 =0.(2)解：由(I)知，x=0.1.令y 表示余下的90件产品中的不合格品件数，依题意知：Y 8(90,0.1),所以E(y)=90 x0.1=9,且 X=10 x2.5+201,即X=25+20K所以 E(X)=E(25+207)=25+20E(K)=25+20 x9=205.如果对余下的产品作检验，则这一-箱产品所需要的检验费为250元.由于E(X)=2()525(),故不应该对该箱余下的产品作检验.